序列傅里叶变换课程设计.doc

武汉理工大学信号分析与处理课程设计任务书目录1序列傅里叶变换21.1序列傅里叶变换的定义21.2序列傅里叶变换的基本性质31.3序列傅里叶变换的对称性质42仿真程序与仿真波形图92.1仿真192.2仿真2123结果分析144心得体会155参考文献161序列傅里叶变换1.1序列傅里叶变换的定义傅立叶分析: 建立以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的某种关系,在1822年, 由法国科学家 Fourier(1, 2)提出,基本思想: 任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和, 即频谱分析。离散周期序列的傅里叶级数(DFS)，x(n)=x(n+N)，习惯上： 以上两式称为离散周期序列的傅立叶级数（DFS），在时域周期为NTs、频域的周期Ws = 2/Ts=N W0，并离散。在DFS的基础上, 只对时域和频域取一个周期, 构成离散傅立叶变换对，即DFT：DFT的另一种表示：1.2序列傅里叶变换的基本性质1线性若 则 式中，为常数。2时移与频移若 则 为任意整数3时域卷积定理若 则4频域卷积定理若 则5帕斯维尔（Parseval）定理1.3序列傅里叶变换的对称性质 序列傅里叶变换的对称性质对于简化运算与求解很有帮助，在下一章（离散傅里叶变换，DFT）中，将这些对称性加以扩展，对DFT的计算可起很大作用。1共轭对称序列与共轭反对称序列（1）共轭对称序列设序列满足下式：则称为共轭对称序列。特殊地，如果是实序列，上式变成：即此时的共轭对称序列就是偶对称序列（偶函数）。为研究共轭对称序列具有什么性质，将用其实部与虚部表示：对等式两边取共轭，得：再将代入，得：根据共轭对称序列的定义式，有：说明共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。（2）共轭反对称序列设序列满足下式：则称为共轭反对称序列。特殊地，如果是实序列，上式变成：即此时的共轭反对称序列就是奇对称序列（奇函数）。将用其实部与虚部表示：对等式两边取共轭，得：再将代入，得：根据共轭反对称序列的定义式，有：说明共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。2任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和将上式两边取共轭，并用代替，得：上面两式相加，得：上面两式相减，得： 很容易看出，这样得到的和分别满足共轭对称定义式和共轭反对称定义式。3序列的傅里叶变换可表示为共轭对称分量与共轭反对称分量之和 其中， 显然，是共轭对称的，即满足； 是共轭反对称的，即满足；4三个基本性质（1）若，则 证明：（2）若，则 证明：（3）若，则 证明：5序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量 证明： 6序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量 证明： 7序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部 证明： 8序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部乘j 证明： 9序列为实序列的情况（1） 为偶对称序列、偶函数：为奇对称序列、奇函数：（2） 即实序列的傅里叶变换满足共轭对称性，证明提示：（3）由（2）得出： 所以，实序列的傅里叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。（4）表示成极坐标形式： 对实序列来说，必有： 幅度是的偶函数 幅角是的奇函数（5）实序列的偶对称分量和奇对称分量的傅里叶变换分别为序列傅里叶变换的实部和虚部乘j，即：（6）若为实因果序列 根据：和可表示为：2仿真程序与仿真波形图复正弦序列 余弦序列 正弦序列 2.1仿真1 分别对和计算以上序列的点DFT，并绘出幅频特性曲线，最后用DFT理论解释为何两种值下的DFT结果差别如此之大。N=15;n=0:N;x1=exp(j*pi/8).*n);x2=(n=0)&(n=0)&(i=0 & n4; % 产生序列x(n)Xk1=fft(xn,8); % 计算序列x(n)的8点DFTXk2=fft(xn,16); % 计算序列x(n)的16点DFTsubplot(3,1,1);plot(w/pi,abs(Xw); % 绘制序列x(n)的DTFT的幅频曲线xlabel(n);grid;title(序列x(n)的幅频曲线|X(ejomega)|);subplot(3,1,2); % 绘制的8点stem(k1*2/N1,abs(Xk1),.); xlabel(k);ylabel(abs(xk1); grid;title(序列x(n)的8点DFT);subplot(3,1,3);stem(k2,abs(Xk2),.); % 绘制的8点 xlabel(k);ylabel(abs(xk2);grid;title(序列x(n)的16点DFT)图2.4 序列的幅频曲线及其8点与16点DFT3结果分析如上图，第一行分别为复正弦序列 ，余弦序列，正弦序列 N=16时的DFT幅频特性曲线；第二行分别为三个序列N=8时的DFT幅频特性曲线。两种N值下的DFT结果差别如此之大是因为：X (n)的DFT结果与变换区间长度N的取值有关，变换区间长度N不同，表示对X(ejw)在0,2区间上的采样间隔和采样点不同。N=16时，X1(n), X2(n), X3(n)正好是三个序列的一个周期，X1(n), X2(n), X3(n)的周期延拓序列就是这三个单一频率的正弦序列。N=8时，X1(n), X2(n), X3(n)是三个序列的半个周期。X1(n), X2(n), X3(n)以N为周期的周期延拓序列不再是单一频率的正弦序列，其中含有丰富的谐波成分，其DFT结果与N=16时差别很大。因此，对周其信号进行谱分析时，一定要截取整数个周期。否则，得到的将是错误的频谱。4心得体会5参考文献1姚天任，江太辉.数字信号处理（第二版）.武汉：华中理工大学出版社，20002王世一.数字信号处理