圆锥曲线(大题)应该这样复习 文数、理数适用.doc

圆锥曲线综合题应该这样复习（文数、理数适用）广东高考研究中心 程剑彪广东高考数学卷，20题和21题是试卷的最后两道题，其中一道必定是圆锥曲线综合题，另外一道必定是函数与导数的综合题，两道题次序不分先后。毫无疑问，这两道题都是压轴题，难题较大。由于圆锥曲线综合题在试卷中所处的位置，加上平时老师反复地告知圆锥曲线综合题是难题，我们很多同学都还没开始学（复习）圆锥曲线的内容，就已经产生了畏惧情绪。这种畏惧情绪使得我们的同学在面对圆锥曲线综合题时毫无信心，无从下手。当解不出来成为了一种习惯，我们很多同学就会采取消极态度，厌恶圆锥曲线综合题，甚至一碰到圆锥曲线综合题就想到了放弃。圆锥曲线综合题给予我们同学的往往就一个词：迷茫。其实圆锥曲线综合题没我们想象得那么难，只要你熟悉了套路，掌握了常用方法，熟悉了出卷者的意图，耐心一些，不贪多，不求快，你会发现圆锥曲线综合题很有味道，最终你一定会笑着感叹：也不过如此！下面，我们把圆锥曲线知识划块分类，再针对每一类介绍常用方法，做到思路清晰，有条有理。一、求轨迹方程广东卷圆锥曲线综合题第一问，通常是让你求圆锥曲线的方程，一般是通过已知条件（比如已知离心率，已知曲线过某个已知点等），来确定椭圆或双曲线的a,b值，或抛物线的p值。难度较小，这要求我们熟悉这几种曲线的定义以及方程中参数的关系。此外，同学们有必要进一步学习圆锥曲线求轨迹方程的常用的方法，常用方法有四种：直接法、定义法、代入法、参数法。1、直接法。根据已知条件及一些基本公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线的斜率公式等），直接列出动点满足的等量关系，从而求得轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称“直接法”。例：已知两定点A（-c,0）和B（c,0）,c0,Q为一动点，QA与QB两直线的斜率乘积为，求Q的轨迹方程。解：设Q（x,y）,k=,k=,得：，整理得，。故轨迹是双曲线（除两顶点）。2、定义法。当动点轨迹符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），即可根据定义写出轨迹方程，这种方法叫“定义法”。例：已知圆C：内一定点A（1,0），点P是圆C上一动点，若PA的垂直平分线交CP于一点Q，当点P运动时，求点Q的轨迹方程。解：依题意，|QC|+|QA|=r (r=4为定值)，符合椭圆轨迹定义，所以Q的轨迹为一椭圆，左焦点为C，右焦点为A，轨迹方程为3、代入法。代入法就是根据动点轨迹上的点（x,y）与已知轨迹上的点（）的关系，用x,y分别代替代入已知曲线方程，得到动点轨迹方程。例：定点A（3,0）为圆x+y=1外一定点，P为圆上任一点，POA的平分线交PA于Q，求Q的轨迹方程。解：设Q（x,y）,P（）,则： 由，所以，所以代入圆方程整理得：4、参数法。设动点为（x,y）,x和y分别用参数表示，而参数又可以通过运算消掉，得到动点轨迹方程。例：已知线段AB的长度a，点P分AB为AP:PB=2:1两部分，当点A在y轴正半轴上运动，点B在x轴正半轴上运动时，求动点P的轨迹方程。解：设P（x,y）,则有 利用消去参数得： 二、两大工具韦达定理与点差法在深入学习圆锥曲线综合题之前，你不得不先学习两大解题工具韦达定理和点差法。下面通过一个简单的例子来学习韦达定理的运用：例：已知一条直线y=2x+1与椭圆相交于两点A、B两点，求线段AB的长。解:设A（x,y）,B(x,y)，则AB的长d=所以只要求出的值和的值即可。显然的值和的值能通个韦达定理求出。联立方程 消去y得：，所以=-，=-代入即可求出d=如例题，通过联立方程把和的值整体求出，这就是韦达定理在圆锥曲线综合题中的运用。同理，如果题目需要，我们也可以把和的值求出。通过这个例题，我们还能发现，直线y=kx+b与曲线相交与两点A（x,y）,B(x,y)，其弦长d=这就是直线与圆锥曲线相交的弦长公式，弦长公式适用于椭圆、双曲线、抛物线、圆。因为它是根据两点间距离公式和直线方程推导而来，与曲线方程无关。下面，我们再通过一个例子来学习点差法的运用。例：已知椭圆，一条不过原点的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B的中点为M，原点为O，设AB所在的直线斜率为K，OM所在的直线的斜率为K，证明K K为一个定值。证明：设A（x,y）,B(x,y)，则中点M（）A、B点代入曲线方程得： 两式相减得：即： 方程两边同时除以得=0，所以K K=，为一个定值。这就是“点差法”的运用，“点”指的是“中点”，“差”指两端点代入曲线方程后作差。“点差法”适用于中点问题，尤其是与斜率有关的中点问题，因为和能够整体求出。三、圆锥曲线综合题常考类型直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线综合题的主角，考法主要分以下3类：对称问题、最值与范围问题、定值定点问题。常规思路是：设点联立直线方程与曲线方程消元得到一元二次方程由韦达定理得到和的值（或和的值）根据解题需要运用这些值得到结果。第一类：对称问题圆锥曲线的对称问题包括中心对称、轴对称两类问题。中心对称问题常利用中心坐标公式求解，轴对称问题主要抓住以下两个条件：垂直，1即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；中点，即连接已知点与对称点的线段的中心在对称轴上。例1：判断椭圆上是否存在两点关于P（4,2）中心对称，若存在，求出两点所在直线L的方程：若不存在，说明理由。解：假设存在这样两点（x,y）,(x,y)，则， 设直线方程为y-2=k(x-4)。由 两式相减得两边同时除以得： 解得k=-直线方程为：x+2y-8=0,故存在这样的直线L例2：已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=。（1） 求椭圆E的方程。（2） 求FAF的平分线所在的直线L的方程。（3） 在椭圆E上是否存在关于直线L对称的相异两点？若存在，请找出，若不存在，说明理由。解：（1）（2）设角平分线与x轴交点为B（,0）,易知B（，0），所以L的方程为：2x-y-1=0.（3）假设存在这样两点（x,y）,(x,y)，两点代入曲线方程得：两式相减得：，两边同时除以得：因为=-，=2-2,所以上式化为：，解得，=4，即可看出中点坐标为（2,3），与A点重合，假设存在矛盾，故不存在关于直线L对称的相异两点。（第3问的思路是假设存在符合条件的两点，利用点差法求出这两点的中点，但这个中点恰好与A点重合，假设不成立。）当然，你也可以不用点差法，用常规的韦达定理法也可以解：假设存在两点设点（x,y）,(x,y)设过这两点的直线方程y=-x+b直线y=-x+b与曲线方程联立消y得到一元二次方程由韦达定理得到=b和=b所以中点为（），而中点又在2x-y-1=0上，代入即可解出b=4。解出，两点与A点重合，假设不成立）例3：已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：设点A（x,y）,B(x,y)，设直线L为y=k(x+1)联立方程：消y得一元二次方程：得到根与系数关系：=-, ,再设AB的垂直平分线L的方程为： 过即过 代入解得b=所以L方程为：令y=0,x= (k)，所以（此题中规中矩地利用韦达定理法得到结果。可能有同学会问，这道题属于对称问题，能不能用点差法来解，然后你情不自禁的尝试了一下，发现解着解着，又绕回到运用韦达定理，反而走了弯路。这时可能你内心会产生一丝疑惑，到底什么时候用点差法，什么时候用韦达定理？这个问题你千万不要等到考试时再来困惑，现在你就要明确了：有明确的中点，或者出现中点与原点连线的斜率时，用点差法，否则其他对称问题都用韦达定理法。）第二类：最值与范围问题解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图像性质来解决，这就是几何法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。在利用代数法解决最值与范围范围问题时常从以下四个方面考虑：利用判别式构造不等式，从而确定参数范围。利用已知参数范围，确定未知参数范围，这种情况两个参数之间要建立等量关系。利用基本不等式求出参数范围。利用函数求值域的办法来确定参数的范围。例1：已知抛物线的方程为，在此抛物线上求一点P，使点P到直线y=4x-5的距离最短。代数法解：设P，根据点到直线距离公式：d=当时，d最小值为几何法解：平移直线与曲线相切，则两平行线间距离为所求距离。 令8x=4得，所以切点为（）由点到直线距离公式得d=例2：已知m1,直线L:,椭圆C：，分别为椭圆C的左右焦点。（1）当直线L过右焦点时，求直线L的方程；（2）设直线L与椭圆C交于A，B两点，、的重心分别为G、H。原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。解：（1）直线L过（，代入解得m=,所以直线方程为：（2）设点A（x,y）,B(x,y)联立方程消去x得，得到根与系数关系：且需满足由向量知识已知G（），H（）要使得O在以线段GH为直径的圆内，则必有所以所以解之得，-2m2。由 得，1m0，所以c=。所以椭圆方程为：。（2）设点M，N联立方程消去y得一元二次方程：由得，由根与系数关系得：，MN的中点P，即P由APMN得，K=，所以由式得，第三类：定值定点问题求定点、定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值（或探求出定点），再证明这个值（点）与变量无关。（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值（定点）。例1：（2014嘉定区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1 ，)在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量 (2 ， 1)的直线L交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|+|PB|为定值解：（1）由已知条件，椭圆C的方程为（2）设点A，B。设直线方程为：，令y=0，得P（m,0）联立方程消去y得到一元二次方程：根据根与系数关系：|PA|+|PB|=所以|PA|+|PB|为定值例2：已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C过点( )（I）求椭圆C的方程；（II）过点(，0)作直线L交椭圆C于M，N两点（直线L与x轴不重合），A为椭圆C的右顶点，试判断以MN为直径的圆是否恒过点A，并说明理由解：（1）由已知条件，椭圆方程为：（2）设M，N ，设直线方程为：联立方程：消去x得到一元二次方程：得根与系数关系：， ， =所以， 所以。所以以MN为直径的圆是否恒过点A。例3：（2014广州一模）已知双曲线E： （a0）的中心为原点O，左右焦点分别为，离心率为，点P是直线上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足=0.（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上。(1)解：由已知条件，a=(2)证明：由（1）知，直线x=，点F=（3,0）。设点P，Q，由=0，得：。所以。因为Q在双曲线上，所以，即：所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值。（3）设直线方程为：，设点M（），N（）联立方程消去y得由根与系数关系得，设H（x,y），由，得即所以化简，,又因为H在直线上，联立消去k得。所以H恒在定直线上。四、解圆锥曲线综合大题需要克服两种心理1、面对题目太长，信息量大的题，静不下心来读题。产生这种情绪人之常情，2个小时的考试，一路攻下来，心情已经复杂得很，再加上所剩时间可能不多了，却来一道又长又臭的题目，这个点又跟那个点，这点又在那个轨迹运动，M、N、P、Q、H一大堆字母，乱七八糟，感觉又陌生又晕，解题的兴趣都没有了。如果你想成为考试高手，你一定要克服这种心理。越是碰到这样的题，越是要静得下心，因为只有静得下心，题目的信息你才能接收到脑子里去。你一定要坚信，题目越长，给的信息量越大，题目往往越好解，因为这样的题，引起你联想所学知识的地方越多，引导性的话语也越多。无非就是你学的一些题型，要么是对称问题，要么是最值范围问题，要么是定值定点问题，你明确了它的类型后，再去联想这个类型的常用解题办法。2、列出的式子太复杂，运算量太大，根本没有信心运算下去。有些圆锥曲线综合题可能感觉不难，思路你也很明确，但是当你列出了式子后，看到式子一大堆，你的心又开始没底了，别说要把答案算出来，压根连计算下去的勇气都没有！你要明白，所谓的压轴题，命题者的目的不可能是考你的计算能力，考查计算能力应该放在小学考试，而不是高考。命题者其实是想考你处理数据的能力，尤其是处理复杂式子的能力。复杂的式子往往通过巧妙的处理能整体消掉，达到化繁为简的目的。这要求你在处理式子时要做到：1、善于观察；2、保持敏感；3、保持头脑清醒。只有这样，你才能最快最准确地得到答案，而不会绕来绕去，浪费掉大量的时间。要做到这点需要的是经验，处理数据的经验。可能解这类题的时候，你的老师反复跟你强调要细心，但我告诉你，最重要的不是细心而是经验，就算你是个非常细心算数的人，你往往也解不出复杂的代数式。同样复杂的代数式，有的同学能够有条不紊地解出了答案，但有些同学却手忙脚乱，半天也弄不出个所以然，你说他们之间的差别在哪里，不是细不细心，而是有没有经验，解题的经验！但经验不会凭空就有，需要反复地练习