数学中的“有限与无限”的思想.docVIP

数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列在中，,其中为常数，则的值是 .【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即)来解决新的极限问题.【答案】由知，是公差为4的等差数列，故，解得，从而.2. 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.（）求当为何值时；（）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（）若，求的取值范围.【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列an的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（）问是把对无限个都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（） () 解法一：,当时, ,当时,当时,.一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.下面用数学归纳法证明.当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列假设当时,得到一个含有项的有穷数列,其中,则时, 由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,其中由(1),(2)知,对一切,命题都成立.解法二：故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.（）即,所以要使,当且仅当它的前一项满足.由于,所以只须当时,都有由,得, 解得.3在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）.（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：【解析】第（）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（）由条件得，由此可得猜测 下面用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，,所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立 （）n2时，由（）知 故.综上，原不等式成立三、名校试题1.数列中， (为常数，) ，且（1）求的值；（2） 证明：； 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较与的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项后可得的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（）依题意，由，得，解得，或（舍去）. （） 证明：因为，当且仅当时，.因为，所以，即 (). 数列有极限,且 . （）由，可得，从而.因为，所以 所以因为，由（） 得 (). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立. 当时，由，显然结论成立.假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增， 所以.即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立. （*）根据（*）及（*）得 . 由 及， 经计算可得所以，当时， ；当时，； 当时，由，得所以. 2数列的首项=1，前项和为满足（常数，）（1）求证：数列是等比数列.（2）设数列的公比为，作数列，使，（2，3，4，）求数列的通项公式；（3）设，若存在，且；使（），试求的最小值【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出的最小值.【答案】 解：（1）当时，得，即 由, ，又符合上式，是以1为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，（），.又，即，数列是为1首项，为公比的等比数列，（3）由（2）知，则.=，. ，.又，的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1设等差数列的公差是2，前项的和为，则 【解析】本题设出首项，表示出通项和前和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识和，其中为常数.【答案】设首项为，则，.2.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第行所有项的和【解析】第（）问从无穷数列中抽出它的一个无穷的子数列，由与的递推关系式消去，从而证明是无穷的等差数列. 第（）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和.【答案】（）证明：由已