函数单调性和奇偶性 总结 复习.doc

课次教学计划（教案） 课题函数的单调性和奇偶性教学目标1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性教学策略重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学策略：讲练结合，查漏补缺函数的单调性1.例1：观察y=x2的图象，回答下列问题问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1x2时，f(x1) f(x2).结论：这时，说y1= x2在0，+上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。3.例2.己知函数f（x）x22x3,画出函数的图象;根据图象写出函数f(x)的单调区间;利用定义证明函数f（x）x22x3在区间(-,1上是增函数;当函数f(x)在区间(一,m上是增函数时,求实数m的取值范围.1、 用定义判断单调性：A 设且；B计算f(x)f(x)=几个因式的乘积形式C判断上述差的符号； D.下结论。如果，则函数是增函数；如果，则函数是减函数用定义法判断单调性1试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取(0,1)，且. 则. 由于，故，即. 所以，函数在（0，1）上是减函数. 【扩展】判断函数在的单调性，并用定义证明之判断函数在的单调性，并用定义证明之求单调区间1. 判断函数yx26x10在区间（2，4）的单调性_2. 已知，指出的单调区间_.根据图像判断单调性 （看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；）1 已知函数（1） 画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间1已知点都在二次函数的图像上，则AB C D （ ）根据单调性求参数的取值范围1.若函数在上为增函数，求实数a的取值范围_2. 如果函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围3 设函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。4.若与在区间上都是减函数，则的取值范围是_。5.若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 （ ） .利用单调性判断函数值例6.己知函数y=f(x)在0,十)上是减函数,试比较f()与f(a2一a十1)的大小.函数的值域二、新知导航：1. 函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，称M是函数的最大值【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ 2. 注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法1（1）配方法 （2）换元法 （3）数形结合法【例2】求函数在区间2，6 上的最大值和最小值【例3】求函数的最大值三、经典范例：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】1. 已知函数，求出函数的最值_；2. 已知函数，求出函数的最值_；3. 已知函数，求出函数的最值_;【扩展】 已知函数在上是减函数，在上是增函数，求实数m的值；并根据所求的m的值求函数在上的最值已知函数（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值已知函数（1）试讨论函数在上的单调性，并证明之；（2）由（1）试求函数在上的最值【例3】求函数的最小值. 解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，则，所以，在时是增函数，当时，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，. 所以函数的最大值为4,最小值为.四、课堂练习1. 已知函数，下列说法中正确的是（ ）（A）函数有最大值2 （B）函数有最小值2（C）当时函数有最大值2 （D）当时函数有最大值22. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，求实数m的值；并根据所求的m的值求函数在上的最值_3. 已知函数，求该函数的最值_4. 已知函数（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值6. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）. A B C D 7. 的最大（小）值情况为（ ）. A. 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1 C. 有最小值1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值8. 函数的最大值是 .9. 已知函数在区间0，1上的最大值为2，求实数a的值.函数的奇偶性1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转，能够与另一图形重合）这节课我们来研究函数的另外一个性质奇偶性1.偶函数（1）观察函数y=x2的图象（如右图）图象有怎样的对称性？从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，即 f(-1)= f(1)，由于（-x）2=x2 f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。（2）定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。例如：函数,等都是偶函数。2.奇函数（1）观察函数y=x3的图象（投影2）当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？也是一对相反数。这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。（2）定义一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。例如：函数都是奇函数。3.奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。例1.判断下列函数的奇偶性。（1）f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;(4) f(x)=x2,x; (5) f(x)=; (6) f(x)=x+;分析： 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（xR或x(-a,a).a0）既是奇函数又是偶函数。 从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例2、判断下列函数的奇偶性（1） ； (2） 判断下列分段函数的奇偶性(1) (2) f(x)=x|x|+x3 例3.函数f(x)x的图象关于() （判断图像性质）Ay轴对称B直线yxC坐标原点对称 D直线yx例4、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在是增函数。证明y=f(x)在上也是增函数。4.结论： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y轴对称;奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.利用函数奇偶性的定义和性质求参数例1.若函数是奇函数，则 例2.若函数是奇函数，则3、如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_4.已知函数,是偶函数,则 5.已知，其中为常数，若，则_ 6.若函数是偶函数，则的单调递减区间是_;7. 已知函数（1）若函数为奇函数，求实数a，b，c满足的条件；（2）若函数为偶函数，求实数a，b，c满足的条件【总结】若函数是奇函数，则_;若函数是偶函数，则_; 求函数表达式：2. 已知是偶函数，时，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为. 是偶函数， 其图象关于y轴对称. 作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致， 时，.【扩展】若函数是奇函数，当时，试求函数在时的解析式若函数是奇函数，当时，试求函数的解析式判断抽象函数的奇偶性1.设是上的任意函数，下列叙述正确的是（）是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）A.是偶函数 B.是奇函数C. 是偶函数 D.是奇函数利用函数的图像比较函数值的大小例 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有则的大小关系是_.利用奇偶图像判断单调性以及解不等式（数形结合）1. 若奇函数在3, 7上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ）.A. 增函数且最小值是1 B. 增函数且最大值是1 C. 减函数且最大值是1 D. 减函数且最小值是12.若为奇函数，且在(0,+)内是增函数，又,则的解集为_.3.已知奇函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为，则不等式的解集是（ ） 1 1 A. B. C. D.题型5：抽象函数的单调性和奇偶性（一般是代入特殊值0,1）例1 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）