数理统计之假设检验ppt.ppt

第四章假设检验 基本要求理解假设检验的概念及其基本思想 理解拒绝域 临界值 显著水平等概念 掌握假设检验的基本步骤 了解假设检验可能产生的两类错误 假设检验基本概念 例 对某产品进行了工艺改造或研制了新产品 要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异 这样我们面临选择是否接受假设 必须作一些试验 也就是抽样 根据得到的样本观察值 来作出决定 假设检验问题就是根据样本的信息 检验 关于总体的某个假设是否正确 新产品的某一项指标优于老产品 假设检验是一种统计推断方法为了了解总体的某些性质 首先作出某种假设 然后进行试验 取得样本 根据样本值 构造统计方法 判断是否接受这个假设 即检验这种假设是否合理 合理则接受 否则拒绝 小概率事件在一次试验中发生的概率记为 一般取 在假设检验中 称 为显著水平 检验水平 解决办法与基本思想 1明确所要处理的问题 答案只能是 是 或 否 2取得样本 同时要知道样本的分布3把 是 转化到分布上得到一个命题或假设4根据样本值 按照一定的规则 作出接受或拒绝假设的决定 基本思想 规则或前提 小概率事件在一次试验中几乎不会发生 带概率性质的反证法通常的反证法设定一个假设以后 如果出现的事实与之矛盾 即如果这个假设是正确的话 出现一个概率等于0的事件 则绝对地否定假设 带概率性质的反证法的逻辑是 如果假设H0是正确的话 一次试验出现一个概率很小的事件 则以很大的把握否定假设H0 检验一个H0时 是根据检验统计量来判决是否接受H0的 而检验统计量是随机的 这就有可能判决错误 这种错误有以下两类 H0事实上是正确的 但被我们拒绝了 称犯了 弃真 的 或称第一类 错误 H0事实上是不正确的 但被我们接受了 称犯了 存伪 的 或称第二类 错误 假设检验的两类错误 P 拒绝H0 H0为真 P 接受H0 H0不真 犯两类错误的概率 显著性水平为犯第一类错误的概率 当样本容量n固定时 一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加 要同时降低两类错误 必须增加样本容量 在统计学中 通常控制犯第一类错误的概率 一般事先选定一个数 0 1 要求犯第一类错误的概率 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制 而不考虑犯第二类错误的概率 称为显著性水平 P 拒绝 为真 参数假设检验解题步骤 1根据问题提出原假设H0 同时给出对立假设H1 备选假设 2在H0成立的前提下 选择合适的统计量 这个统计量要包含待检的参数 并求得其分布 3给定显著性水平 按分布写出小概率事件及其概率表达式 4由样本计算出需要的数值 5判断小概率事件是否发生 是则拒绝 否接受 二单个正态总体参数的假设检验 在实际中 往往把不轻易否定的命题作为原假设 原假设 零假设 备选假设 对立假设 一 总体均值的假设检验 其中是已知常数 已知时 的检验 例1某车间生产铜丝 X的大小 主要质量指标是折断力 由资料可认为 今换了一批 原料 从性能上看 估计折断力的方差不会有变化 但不知折断力的大小有无差别 解此问题就是已知方差 检验假设 抽出10个样品进行检验 测得其折断力为 0 05 看在H0条件下会不会产生不合理的现象 能较好反映的大小 当为真时 差异不能过大 有较大偏差 较小 若差异较大 即小概率事件发生 则拒绝假设 当为真时 衡量的大小 设一临界值k 0 若 就认为有较大偏差 则认为不真 拒绝 则接受 若 显著性检验 P 拒绝 为真 拒绝域 由样本值求出 这说明小概率事件竟在一次试验中发生了 故拒绝H0 可以接受H1 即认为折断力大小有差别 已知 已知 第二步 选取统计量 检验假设 的过程分为六个步骤 第三步 拒绝域为 第四步 查表确定临界值 第六步 判断 则否定H0 接受H1 则H0相容 接受H0 第五步 计算 2 2 接受域 P Z z 2 拒绝域 拒绝域 z 2 z 2 双侧统计检验 Z检验 某车间用一台包装机包装葡萄糖 包得的袋装糖 当机器正常时 某日开工后为检验包装机是否正常 包装的糖9袋 称得净重为 公斤 0 4970 5060 5180 5240 498 0 5110 5200 5150 512 问机器是否正常 例2 重是一个随机变量X 且 其均值为 0 5公斤 标准差 0 015公斤 随机地抽取它所 解 先提出假设 0 05 选取统计量 拒绝域 计算得 于是拒绝 认为包装机工作不正常 选择假设H1表示Z可能大于 0 也可能小于 0 这称为双边假设检验 单边检验 右边检验 左边检验 右边检验 2 选取统计量 3 拒绝域为 5 计算 则拒绝 接受 反之 接受 左边检验 2 选取统计量 3 拒绝域为 5 计算 则拒绝 接受 反之 接受 例3 2 选取统计量 某大学男生身高 今测得9名男生身高 平均为 问是否可以认为该校男生平均身高 超过170cm呢 3 拒绝域为 解 查表确定临界值 4 取 5 计算 可以认为该校男生平均身高超过170cm 则拒绝 如题目问 是否有明显提高 是否有明显下降 2 选取统计量 3 拒绝域为 例4设某厂灯泡平均寿命为2000小时 标准差为250小时 从技术改造后的灯泡中随机抽取n 25只 测得平均 寿命为2250小时 问此产品寿命是否较前有显著提高 查表确定临界值 4 取 5 计算 则拒绝 即认为这些产品较以往有显著提高 提出原假设和备择假设 第一步 第二步 选取统计量 第四步 查表确定临界值 第三步 拒绝域为 未知时 的检验 未知 可用样本方差 代替 选择假设H1表示Z可能大于 0 也可能小于 0 这称为双边假设检验 第六步 判断 则否定H0 接受H1 则H0相容 接受H0 第五步 计算 显著差别 爆破压力X服从正态分布 0 05 解 提出假设H0 549 H1 549 对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验 重复测量5次 测得爆破压力数据为 单位斤 寸2 545545530550545 过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸 可 看作真值 因为未知方差 2 故采用t检验法 取统计量 例5 试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无 由样本算得 这里 接受H0 新罐的平均爆破压力与过去无显著差别 拒绝域 查表 32 56 29 66 31 64 30 00 31 87 31 03 例6 解 1 2 3 拒绝域 取统计量 某工厂生产一种螺钉 标准要求是长度是32 5毫米 实际生产的产品其长度X服从正态分布 未知 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得 尺寸数据如下 问这批产品是否合格 5 将样本值代入算出统计量T0的实测值 没有落入拒绝域 故接受为真 即可认为产品是合格的 4 查表 右边检验 查表确定临界值 4 取 2 选取统计量 3 拒绝域为 5 计算 则拒绝 接受 反之 接受 左边检验 查表确定临界值 4 取 2 选取统计量 3 拒绝域为 5 计算 则拒绝 接受 反之 接受 4 28 4 40 4 42 4 35 4 37 如果标准差不变 解 拒绝H0 例1 某日测得5炉铁水含碳量如下 该日铁水的平均含碳量是否显著偏低 0 05 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下 2 取统计量 某次考试的考生成绩 从中随机地抽取36位考生的成绩 平均成绩为63 5分 未知 例2 标准差s 15分 问在显著水平0 05下是否可以认为 全体考生的平均成绩为70分 求 的置信水平为 0 95的置信区间 拒绝域为 解 先提出假设 计算 故落在拒绝域之内 拒绝H0 接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分 的置信水平为0 95的置信区间为 设总体 已知时 的检验 第二步 在假设成立前提下取统计量 第三步 拒绝域为 第四步 第五步 计算 最后 设总体 为X的 样本 对 2作显著性检验 其中 检验 引例已知某种延期药静止燃烧时间 今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间 单位 秒 数据为 问 是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为 未知时 的检验 解提出假设 取统计量 为的无偏估计 的观察值应集中在1附近 说明 和 在H0成立的条件下都是 小概率事件 因此 在样本值 下计算 若 或 则拒绝H0 若 则接受H0 根据样本值算得 双边假设检验 的拒绝域为 或 则接受H0 即可信延期药的静止燃烧时间T的方差为 显然 由上例可得 第二步 取统计量 的过程分为六个步骤 第三步 拒绝域为 第六步 判断 若 则拒绝H0 接受H1 第五步 计算 反之则接受H0 第四步 查表确定临界值 接受域 2 2 1 2 拒绝域 拒绝域 0 05 某次统考后随机抽查26份试卷 测得平均成绩 成绩标准差是否为 已知该次考试成绩 例2 2 选取统计量 3 拒绝域为 解 1 假设 分 样本方差 试分析该次考试 分左右 4 查表确定临界值 5 计算 故接受H0 即可认为该次考试成绩标准差为 分左右 2020 3 18 51 可编辑 三两个正态总体参数的假设检验 分别是这两个样本的均值 且X与Y独立 X1 X2 是取自X的样本 Y的样本 分别是这两个样本的样本方差 则有 Y1 Y2 是取自 和 分别是 且X与Y独立 X1 X2 是取自X的样本 取自Y的样本 分别是样本方差 均值 1 Y1 Y2 是 样本 提出假设 检验两正态总体均值相等 独立 H0成立时取统计量 取统计量 拒绝域的形式 对给定 查表确定 则否定H0 接受H1 则接受H0 即认为两个正态母体均值无显著差异 即认为两个正态母体均值有显著差异 显著性水平为 由样本值代入算出统计量 且X与Y独立 1 提出假设 检验两正态总体均值之差 取统计量 给定查表 2 提出假设 取统计量 拒绝域的形式 给定 算出统计量 则否定H0 接受H1 则接受H0 即认为两个正态母体均值无显著差异 取统计量 其余步骤相同 例3某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验 已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为 cm cm cm 设杨树苗高服从正态分布 试在显著性水平 下 判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响 现各抽取80株作为样本 算得苗高的样本均值分别为 cm 解设方案一的苗高为 方案二的苗高为 则 检验假设 选取检验统计量 该拒绝域为 现在 统计量 的值 因为 所以拒绝原假设 即这两种试验方案对苗高有显著影响 拒绝域 拒绝域 未知 的单边检验 五 检验两正态总体方差相等 F检验 取统计量 分别是样本方差 4 查表 则否定H0 接受H1 2 选取统计量 3 拒绝域 5 计算 拒绝域 拒绝域 例1两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查 测得其平均年存款余额分别为 元和 元 样本标准差相应为 元和 试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异 取显著性水平 元 假设年存款余额服从正态分布 解设两家银行的储户的平均年存款余额分别为 X Y 则 是否相等 拒绝域 查表 选取统计量 1 检验假设 F的值为 因为 所以接受 选取统计量 2 检验假设 3 拒绝域 4 查表 因为 所以拒绝 这说明两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异 正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个结论一样 用一个样本 例子 不能证明一个命题 假设 是成立的 但可以用一个例子 样本 推翻一个命题 非正态总体参数的假设检验 1 总体不服从正态分布2 不知道总体服从什么分布当n很大时 由中心极限定理保证 不管总体服从什么分布 样本均值都服从正态分布 采用大容量样本 按正态分布处理大样本一般取n 50 n 100 设总体X服从参数为p的 0 1 分布 即 1 0 1 分布参数的假设检验 由于 因此由中心极限定理可知 当 成立且样本容量 n充分大时 统计量 服从标准正态分布N 0 1 拒绝域为 近似地 例1某种产品在通常情况下次品率为5 现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验 发现有4件次品 问能否认为这批产品的次品率为5 0 05 解设这批产品的次品率为p 在这批产品中任 任意取一件产品 定义随机变量X如下 检验假设 该假设检验问题的拒绝域为 现在 统计量U的值为 接受假设 可以认为这批产品的次品率为5 2 总体均值的假设检验 假设总体X的均值为 方差为 为X的样本 检验假设 由中心极限定理知 当样本容量n充分大时 近似地服从标准正态分布N 0 1 由于样本方差 为 的无偏估计量 且样本容量n充分大时 统计量 仍近似地服从标准正态分布N 0 1 拒绝域为 例2某电器元件的平均电阻一直保持在2 64 改变加工工艺后 测得100个元件的电阻 计算得平均电阻为2 58 样本标准差为0 04 在显著性水平 0 05下 判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响 解设该电器元件的电阻为X 其均值为 检验假设 拒绝域为 现在 统计量U的值为 拒绝假设 接受假设 新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响 3 两个总体均值的假设检验 设总体 和 相互独立 的样本 是 是Y的样本 记 设总体X的均值为 方差为 总体Y的均值为 方差为 的拒绝域 由中心极限定理知 当样本容量 和 都充分大时 近似地服从标准正态分布 由于样本方差 和 分别为 和 的无偏估计量 因此 可以 分别用 和 近似代替 和 并且当 求假设检验问题 和 近似地服从标准正态分布 从而当原假设 成立时 统计量 仍