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求函数值域的几种方法 求函数值域的问题 也是高中数学中常见的题型 下面举例说明求函数值域的几种常用的方法 1 利用配方法求函数的值域对函数y f x 如果f x a x 2 b 并且 x 0有实根 则当a 0时 f x 的值域是 b 当a 0时 它的值域是 b 例1求y 2x2 4x 5 x R 的值域 解 y 2 x 1 2 3 由于2 x 1 2 0 y 3 函数的值域为 3 注 对于二次函数 都可以用这种配方的方法求函数的值域 2 利用换元法求函数的值域 y 1 函数的值域为 1 这时若得y 1 则是错误的 事实上 因为t 0 所以 t 1 2 1 3 利用 x 的值域求f x 的值域如果函数y f x 是关于 x 的复合函数 而 x 的值域是易求的 则可由原函数中先解出 x 而后由 x 的值域确定f x 的值域 解 由于x2 2x x 1 2 1 1 解得y 1或y 0 函数的值域为 y y 1或y 0 2020 3 18 7 可编辑 4 利用反函数的定义域求函数的值域若一个函数有反函数 则它的反函数的定义域就是原函数的值域 注 对于分式函数 如果它的分子和分母都是x的一次式 一般用这种方法求值域比较方便 5 利用函数单调性求值域设函数y f x 在某一区间上是单调的 且函数在两个端点处的函数值 或左 右极限 为a b 则a b就是这个函数的最大 最小值 或上 下确界 a b也可能是 解 显然此函数的定义域为 1 当x 1时 函数单调递增 6 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数的值域 因函数的定义域非空集 故上述关于x的一元二次方程一定有实根 注 若一个函数是分式函数 且其分子分母都是不超过二次的多项式函数 且其中至少有一个是二次多项式 则这样的函数就可以用上述方法求值域 另外 等我们学习了
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