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拉格朗日中值定理的一些应用 摘 要： 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它有众多应用，本文阐述了拉格朗日中值定理的一些应用. 关键词： 拉格朗日中值定理 极限 不等式 恒等式 零点 一、拉格朗日中值定理 若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点，使f（）= . 二、拉格朗日中值定理的应用 1.求极限 例1：求 . 解：令f（x）=tanx，则 = = = sec =sec =1（介于x与之间） （介于与之间） 2.证明不等式 例2：证明 0）. 证明：设f（x）=ln（1+x）.则f（x）在0，+）上连续，在（0，+）内可导. 对？坌x0，在0，x上运用拉格朗日中值定理可知： f（x）-f（0）=ln（1+x）=f（）x= x，（0，x） 于是 ln（1+x）= xx. 3.证明恒等式 例3：证明arctanx+arccotx= （xR）. 证明：令f（x）=arctanx+arccotx，对？坌xR，有f（x）= - =0，于是f（x）=c（c为常数）.任取一实数，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以结论成立. 4.讨论函数零点的个数 例4：证明：方程x +x-1=0有唯一正根. 证明：令f（x）=x +x-1，显然f（x）在0，1上连续，在（0，1）内可导，f（0）f（1）=-10，不妨设x x ，则f（x）在x ，x 上满足拉格朗日中值定理条件，于是存在（x ，x ）使f（）= =0（x 0矛盾，于是该方程只有一个正根. 5.函数的单调性 例5：证明：若函数f（x）在0，a）可导，f（x）单调递增，且f（0）=0，则函数 在（0，a）单调递增. 证明：对任意x ，x （0，a），且x x ，则f（x）在0，x 与x ，x 均满足拉格朗日中值定理条件，于是存在0 x x ，使 f = = ，f（ ）= ， 因为f（x）单调增加，于是f（ ）f（ ），所以 ， 从而 ， 即函数 在（0，a）内单调递增. 参考文献： 1同济大学数学系.高等数学（第五版）M.北京：高等教育出版社，2001：139-145. 2华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.北京：
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