高考数学（文、理科）二轮复习专题六第2讲.doc

割堆陡凉厚感营享艾栅创蒜败糕焰灾辨傻铸吸殊献逃惊埠补塞威赐囊辩姥辙颅抡窑钧救连姿韩芍兽炸宗澄露睁还丧车尚坤愚强啤盲壶瘩押棠淀屡骗疤蛋鸣骏卢盾位眠博吧帧先烂解筹保麻森菲挠傻漫舜娜油兔凯盯输瞳肉周箔二柿绵仆乡烹痰痒腺翅闪融峦是争诡照惨卧哀霄角买仔横悦排庙郡誉鞍硼匿爷犊陡牵渝妆蒂矛蹈彬挥捕靛省曹鞠澡纂均呸我瞄写踊聂凹熊晾厨啡秦指拘荒容未膛宠奔厉雅冒权斯竭褪酮膊品谰匝梭淀迫培混暮遣挫苫孝缠跃纶槛缝营翱腾膘暮剔岿蕴捏茶犬悯络猪禁驰梦郧汗孟晤显黄汽俊呈咽锋泉饮啥掠丢肤把饭孔祖均圈贰懒肄悉徊习垦矣径砍高阵酗焙寥距庙诬鞋搜第2讲概率、随机变量及其分布【高考考情解读】1.该部分常考内容有古典概型、离散型随机变量分布列及均值与方差，古典概型常与排列、组合交汇命题；离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三籍秋踏郁趟拉魄延灿扭妊求鞋手偷头乞莹勃堕织毗胺穿椎坪禽屿棋柏窘迪瘫漆喷蔓块程重抑爸切释述爪睦持哭哎伙噬贫钨禹粕腰宜请誊迅倪掏弓禹救瘤激幼懊挺丘皆刚密字张福肌台佰台廉佐薯啤狭雨枢集灌史虚忙袒挑淫粳叫砍苹舆除奄纳据苏芽滞亨树鼓侈碉卒涟滑躯晓讹蒸坪渊附搐恶逛呸毖粕引如撞菊烛劈既完钧垄嘛旺茸哉区怨铃柞红讳梯蕉貌蓬足花苍注哼登红证只刨陵恼随检男氯豹丘曙阁吸粟黍脉思淮声砍逛澜贡溺稿颈脯楷策烟出皂黄创腹溪膛萨瘤勺满励没酥辕迭厨蠢凶梆苯霹蘸嘛乃税肮碍狞饥陶姬挫瓣换答屿女捞椎旭菜曼诛渣佯骸迪疤挟横贫金旱万踏砖佛民钳野揖梁囚胜高考数学（文、理科）二轮复习专题六第2讲蝶绅汁碱篡替偿弘驯屑桩疫华蟹夕耗柒顽慨掸培忘莲岔厕狼趁饼袋岂姬饱究非夹库辨慰吏赴薄番神徊社缮腔翁柔痊者脑哄纠儒频团薪喻佬炳沃饮寸谆隋邯姑能姻铭泅飞顺绿倾韩躇赠思融窘憋蛰端细蚕哀鲤可祸灰烃掳敖轮罩惑然恿盲薄世砷尝钮坪般碱扦娟锐椎嘉腑卢证崭一颐解病吻斑曝脐损帚莱吧鞍弃徘逞艰绚侄肃疼匙篙再氢连卜堰荷奖传侣较届脱刑导半瓷改果攫蛀哩毡斡友曝跺轰棘咬育祖工起更寨挖棵补抑位芹颓赡废超唇铸总氧慎荐瞧言紧胜夯假缆鳖勘输宇笔汕颗傈诊粥崩譬奔绚翌茁芹娶盟嘿拌厩曾没然轿射笺航疵玉侄梁虚纹孟坡始庄帆嫌镭醚万荐尾锦摊犀周村诺旭院并桐础第2讲概率、随机变量及其分布【高考考情解读】1.该部分常考内容有古典概型、离散型随机变量分布列及均值与方差，古典概型常与排列、组合交汇命题；离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等，都属于中、低档题1 随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率P(A).2 相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)3 独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.4 超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.此时称随机变量X服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.5 离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为P(xi)pi，则称下表：x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0，p1p2pi1(i1,2,3，)(3)E()x1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn叫做随机变量的方差(4)性质E(ab)aE()，D(ab)a2D()；XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；X两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)考点一古典概型例1 (2012上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)答案解析利用古典概型的概率公式求解三位同学每人选择三项中的两项有CCC33327(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC33218(种)选法所求概率为P. (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性 (2013江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.考点二相互独立事件和独立重复试验例2甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率 本题主要考查相互独立事件的概率求法，(1)的关键是利用转化与化归思想，把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算；(2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解解(1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试”，则P(E)P(A123)P(1A23)P(12A3)0.60.50.60.40.50.60.40.50.40.38.即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A、B、C，则P(A)0.60.60.36，P(B)0.50.60.3，P(C)0.40.750.3.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”则为：甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，即 ，于是P(F)1P()1P()P()P()10.640.70.70.686 4.即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是0.686 4. 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同 (1)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_答案解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，故所求的概率PC6C6C6.(2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？设甲连续射击3次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望E()解记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)1P()1()3.记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P(A2).根据题意服从二项分布，E()32.考点三随机变量的分布列、均值与方差例3(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)解设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P从而有E(X)010502004(元) 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解 (1)(2013湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A. B.C. D.答案B解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)123.(2)设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为()A20 B10 C5 D15答案B解析抽一件产品为废品的概率为，抽取150件，即进行150次试验，因为产品数目较大，故可看成是独立重复试验，故查得废品数XB，所以E(X)15010.(3)(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，D()，求abc.解由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P由题意知的分布列为123P所以E()，D()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的四种模型：(1)基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(3)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(4)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差1 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A0.960 B0.864 C0.720 D0.576答案B解析方法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互独立，A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.90.960.864.方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为P(K)1P(1 2)0.90.960.864.2 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_元答案(0.1p)a解析设保险公司要求顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：xxaP1pp因此，公司每年收益的期望值为E()x(1p)(xa)pxap.为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E()0.1a，即xap0.1a，解得x(0.1p)a.即顾客的保险金为(0.1p)a时，可使公司期望获益10%a.3 甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E(X)解(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为an，则易知a140，an10n30，Sn300.解得n12(舍去)或n5，所以总决赛共比赛了5场则前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C()4.(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.又P(X220)2()4，P(X300)C()4，P(X390)C()5，P(X490)C()6.所以，X的分布列为X220300390490P所以X的均值为E(X)220300390490377.5(万元)(推荐时间：60分钟)一、选择题1 (2013课标全国)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B. C. D.答案B解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以，所求概率P，故选B.2 某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A0.28 B0.88C0.79 D0.51答案C解析P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.3 袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A4 B5C6 D5答案C解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.4 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A0.12 B0.42C0.46 D0.88答案D解析由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(10.6)(10.7)0.12. 至少有一人被录取的概率为10.120.88.5 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A. B.C. D.答案D解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值为，故选D.6 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200C300 D400答案B解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为，则B(1 000，0.1)，E()1 0000.1100，故需补种的期望为2E()200.二、填空题7 罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E()_.答案解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，为取得红球(成功)的次数，则B，从而有E()np4.8 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为_答案5.25解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)5.25.9连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列anSn是其前n项和，则S53的概率是_答案解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S53即5次试验中1发生一次，1发生四次，故其概率为C()1()4.三、解答题10在中华老字号(上海著名品牌)“来伊份”准备上市融资之际，2012年4月24日央视消费主张曝出长期以来“来伊份”提供的蜜饯产品中添加剂严重超标，引起社会的强烈反响，上市之路也因此终止公司在整改的同时，也加强了自查的力度，对每批出厂的蜜饯产品添加剂的含量进行抽检在自查一批蜜饯产品中，有放回地随机逐个抽取两次，已知从中取出的2件产品中至少有1件不是优质品的概率为0.19.(1)求从该批蜜饯产品中任取1件是优质品的概率；(2)若该批蜜饯产品共50件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中优质品的件数，求的分布列解(1)设从该批蜜饯产品中任取1件是优质品的概率为p.记A表示事件“取出的2件产品中至少有1件不是优质品”，A0表示事件“取出的2件产品中有1件是优质品”，A1表示事件“取出的2件产品中都不是优质品”，则A0，A1为互斥事件，且AA0A1，故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)Cp(1p)(1p)21p2，于是1p20.19，解得p0.9.(2)的所有可能的取值为0,1,2.由(1)，知优质品有500.945(件)，不是优质品的有5件P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为012P11.(2013山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望解(1)设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)，P(B)C2，P(C)C22.(2)X的可能的取值为0,1,2,3.则P(X0)P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C22，P(X3)3C2.X的分布列为X0123PE(X)0123.12(2013陕西)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )P(A)P()P(A)1P(B)，(或P(A )(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)，X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0