第二章 二次函数 全章导学案（含答案）.doc

2.1二次函数所描述的关系学习目标、重点、难点【学习目标】 1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。2.会表示简单变量之间的二次函数关系。3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。【重点难点】 1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。知识概览图新课导引 【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子 【问题探究】(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识教材精华 知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题 我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题 (1)如果设果园增种x棵树，那么果园共有(x100)棵橙子树因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x棵树，平均每棵树结(6005x)个橙子 (2)由(1)可得果园橙子的总产量y(100x)(6005x)5x2l00x60000 (3)我们得到一个函数关系式y5x2l00x60000，它与我们过去学过的ykx，ykxb，y(k0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为5，这就是我们要研究的二次函数的关系式 果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想试着列出下表：x(棵)1234567y(个)60095601806025560320603756042060455x(棵)891011121314y(个)60480604956050060495604806045560420 我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个 下面我们再看一个生活中的问题 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税) 一年到期的本息和是100100x100(1x)，第二年转存后到期的本息和为100(1x)100(1x)x100(1x)2，所以y=100(1x)2100x2200x100若考虑利息税(利息税为20)，每100元的利息税为20x，则y100(10.8x)2=64x2160x100 拓展 由以上两个情境我们知道，它们都具有yax2bxc的形式(a，b，c是常数，a0) 知识点2 二次函数的定义 一般地，形如y=ax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数 拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2bxc(a，b，c是常数，a0)的形式，因此，把yax2bxc(a，b，c是常数，a0)叫做二次函数的一般式(2)在一般式中，只有a0时，y=ax2bxc才是二次函数；当a=0时，ybxc，若b0，则它是一次函数，若b0，则y=c是一个常函数(3)在y=ax2bxc中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列(4)二次函数yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程 规律方法小结判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断课堂检测基本概念题 1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( ) Axy21=0 By(x1)(x1)(x1)2 Cy=2 Dx23y20 2、在下列函数关系中，可以看做二次函数yax2bxc的模型的是 ( ) A在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系 B某地区人口自然增长率为l，这个地区的人口总数随年份变化的关系 C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题 3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为 （ ） Ay=x24 By=(2x)2 Cy(x24) Dy=x216综合应用题 4、如图21所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2) (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，B与C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MNBC交AC于点N，设MNx，SAMNy，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 探索与创新题 6、设直线y=kxb(k0)与二次函数yax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证 体验中考 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义把A变形为y2x1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是把B变形为y2x2，自变量x的最高次数不是2，故B不是因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是把D变形为y=x2，符合二次函数的定义故选D【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成yax2bxc(a0)的形式，再来判断判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零要同时具备这三点才是二次函数2、分析A中的速度=，所以速度与时间是反比例关系B中人口总数与年份的关系很难确定D中圆的周长C2r，周长与半径成正比例关系故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断3、分析 剩下的圆环面积应为(R2r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径由题意得y(42x2)=-x216.故选D【解题策略】准确运用圆的面积公式4、分析 根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1 解：(1)根据题意，得y(4x)(3x)34127xx212x27x (2)上述函数是二次函数 (3)x0 【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想5、分析本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x的取值范围应根据MN所处的位置判定 解：MNBC，AMNABC， 而BC10，SABC25，y=x2(0x10)【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用6、分析 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y所得的关于x的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x1x2，x1x2的值 证明：由题意得将代入，得ax2kxb0 x1，x2是两个函数图象的交点的横坐标， x1，x2是方程ax2kxb0的两个根，x1x2，x1x2， 又直线ykxb(k0)与x轴交点的横坐标为x3， 0=kx3b，x3=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便体验中考分析根据矩形的面积公式来确定解析式 解：根据题意，得Sx=-x230x 即Sx230x，自变量x的取值范围是0x302213 二次函数ya(xh)2k的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数ya(xh)2(a0)的图象；2、掌握二次函数ya(xh)2(a0)的性质；3、掌握抛物线ya(xh)2(a0)的性质；【重点难点】1、二次函数ya(xh)2(a0)的图象；2、二次函数ya(xh)2(a0)的性质；3、抛物线ya(xh)2(a0)的性质；知识概览图二次函数y=a(xh)2图象：与二次函数y=ax2的图象形状相同，只是位置不同，可由y=ax2的 图象沿x轴经过左、右平移得到性质当a0时，开口向上，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x=h时，ymin0当a0时，开口向下，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当xh时，ymax0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗? 【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线yax2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为ya(x175)2，由A(0，85)可得851752a，解得a0.0028【解析】 解析式为y0.0028(x175)2教材精华知识点1二次函数ya(xh)2(a0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数yx2，y(x1)2，y(x1)2的图象(1)列表：x3210123y=x241014y=(x1)241014y=(x1)241014(2)描点(3)连线，如图所示拓展 函数ya(xh)2与yax2的图象形状相同，位置不同函数ya(xh)2的图象可由函数yax2的图象经过左、右平移得到当h0时，函数ya(xh)2的图象可以看成是将函数yax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h0时，函数ya(xh)2的图象可以看成是将函数yax2的图象向左平移|h|个单位得到的抛物线ya(xh)2与抛物线yax2之间的关系可见下表：y=ax2(a0)向左平移|h|个单位向右平移|h|个单位y=ax2(a0)y=a(xh)2(a0，h0)ya(xh)2(a0，h0)y=ax2(a0)y=a(xh)2(a0，h0)y=a(xh)2(a0，h0)知识点2抛物线ya(xh)2(a0)的性质抛物线ya(xh)2的对称轴是直线xh，顶点坐标为(h，0)当a0时，抛物线的开口向上，在直线xh的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线xh的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线xh的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点拓展 抛物线ya(xh)2的性质与抛物线yax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：函 数对称轴顶点坐标抛物线的趋势最低(高)点y=ax2y轴(0，0)当a0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势当a0时，yax2的图象有最低点(0，0)，ya(xh)2的图象有最低点(h，0)；当a0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，ya(xh)2的图象有最高点(h，0)知识点3 二次函数ya(xh)2(a0)的性质二次函数ya(xh)2(a0)有如下性质： (1)二次函数ya(xh)2(a0)，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，函数有最小值是0 (2)二次函数ya(xh)2(a0)，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时,y随x的增大而减小，当xh时，函数有最大值是0拓展 对于二次函数ya(xh)2(a0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a0时，若|x1h|x2h|，则y1y2；当a0时，若|x1h|x2h|，则y1y2；而对于任何a0，若|x1h|x2h|，则y1y2课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数yx2与y(x1)2的图象，并根据图象回答下列问题 (1)抛物线y(x1)2可以看成是将抛物线yx2作怎样的平移得到的? (2)求函数y(x1)2的图象的对称轴； (3)求函数y(x1)2的最值综合应用题2、二次函数y(xk)2与直线ykx(k0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( ) 3、已知二次函数y1a(xh)2与直线y2kxb的图象交于A，B两点，其中A(0，1)，B(1，0) (1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象； (2)当y1y2，y1y2，y1y2时，分别求出自变量x的取值范围探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是 ( )A当y1y2时，自变量x的取值范围不能确定B当y1y2时，1x3C当y1y2时，1x3D当y1y2时，x1或x3 体验中考1、抛物线y2x24x5经过平移后得到抛物线y2x2，平移方法是 ( ) A向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D向右平移1个单位，再向上平移3个单位 2、二次函数y(x1)22的最小值是 ( ) A2 B1 C1 D2学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 用描点法画出图象后，可根据图象回答问题解：函数y=x2与y=(x1)2的图象如图所示(1)抛物线y(x1)2可以看成是将抛物线yx2向右平移1个单位长度得到的(2)函数y(x1)2的图象的对称轴是直线x1(3)对于函数y(x1)2，当x1时，y有最大值，最大值是0 【解题策略】 本题主要考查二次函数ya(xh)2(a0)的图象与性质，要注意与yax2(a0)对比学习，从而得出抛物线ya(xh)2(a0)与yax2(a0)形状相同，只是位置不同的结论 2、分析 k0，直线ykx经过第一、三象限，而抛物线y(xk)2可以看成是将抛物线yx2向右平移k个单位长度得到的故选B. 【解题策略】 解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案3、分析 可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围解：(1)函数y1a(xh)2与y2kxb的图象交于A，B两点， 解得 二次函数的解析式为y(x1)2，直线的解析式为yx1图象如图所示(2)由图象可知，当x0或x1时，y1y2；当x0或x1时，y1y2；当0x1时，y1y2.【解题策略】 两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式 4、分析 由图象可知，当y1y2时，x11，x23，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1x3。故选B.体验中考 1、分析 解决此题的关键是先将函数y2x24x5配方为y2(x1)23，然后确定其顶点坐标，再根据顶点坐标相对于原点的位置来确定平移的情况，即由点(1，3)到点(0，0)，平移方法是先向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可故选D 2、分析 二次函数y(x1)22的图象开口向上，顶点坐标为(1，2)，故当x1时，y取得最小值2故选A.2.4二次函数y=ax2bxc的图象(一)学习目标、重点、难点【学习目标】 1能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。2能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。【重点难点】 1.理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。2.y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质。知识概览图二次函数y=a(xh)2及y=a(xh)2+k的图象及其性质新课导引【生活链接】在计算机上作出yax2(a0)的图象，拖动鼠标可以得到下列一些图象(如下图所示) 【问题探究】通过观察上述图象，你能发现它们的关系吗? 【点拨】这四个图象是通过拖动鼠标得到的，它们的形状相同，只是位置不同；还可以知道其中任意图象都能由某一图象经过平移得到教材精华 知识点1 二次函数y=a(xh)2的图象的作法及其性质 二次函数y3x26x5的图象是什么形状?它与我们前面讲过的二次函数yax2和yax2c的图象有什么关系? y=3x26x5=3(x22x)=3(x1)21=3(x1)22，如果能作出y3(x1)2的图象，就可依据y=ax2k作出y=3(x1)22的图象 例如：作出y3x2，y3(x1)2及y3(x1)2的图象解：列表如下x-3-2-10123y=3x21230312y=3(x+1)21230312y=3(x-1)21230312 描点、连线，图象如图2 - 44所示由图象我们看到，y=3(x1)2和y3(x1)2的图象的对称轴和顶点坐标与y3x2相比都变了，但开口方向和形状相同，如下表抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=3x2向上y轴（x=0）(0，0)y=3(x1)2向上x=1(1，0)y=3(x1)2向上x=1(1，0) 抛物线y3x2和抛物线y=3(x1)2，y=3(x1)2相比，形状相同，只是位置不同，y=3(x1)2和y=3(x1)2的括号内是x1时，抛物线y=3x2沿x轴向右平移一个单位，得到y=3(x1)2的图象；括号内是x1时，抛物线y3x2沿x轴向左平移一个单位，得到y=3(x1)2的图象 正是基于上面的原因，将抛物线此类型写成ya(xh)2的形式，而不是y=a(xh)2的形式 规律方法小结二次函数ya(xh)2的图象及其性质如下：(1)二次函数ya(xh)2的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，0)，对称轴是xh(2)当a0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，0)，当xh时，y最小值=0在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 当a0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，0)，当xh时，y最大值0在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随x的增大而减小 知识点2 抛物线ya(xh)2与yax2的关系 由y=3x2，y3(x1)2和y3(x1)2的图象，我们知道抛物线y3x2沿x轴向左、右平移可得到y3(x1)2和y=3(x1)2的图象当h0时，向右平移h个单位，在y3(x1)2中，10，向右平移一个单位当h0时，向左平移h个单位，在y=3(x1)23x(1)2中，10，向左平移一个单位 例如：作出yx2，y(x1)2，y=(x1)2的图象解：列表如下x-3-2-10123y =x2-2-0.50-0.5-2y =(x1)22-0.50-0.5-2y =(x1)2-2-0.50-0.52描点、连线，图象如图2 - 45所示 规律方法小结抛物线ya(xh)2与y=ax2的关系：(1)抛物线ya(xh)2与y=ax2的图象形状相同，但位置不同；(2)抛物线ya(xh)2的图象可由yax2的图象沿x轴向左或向右平移h个单位而得到当h0时，向右平移h个单位，当h0时，向左平移h个单位 知识点3 二次函数ya(xh)2k的图象及其性质 二次函数y3(x1)22的图象与二次函数y3(x1)2的图象有什么关系?它的对称轴、开口方向、顶点坐标分别是什么? 例如：在同一平面直角坐标系中，作出y=3x2，y3(x1)2，y3(x1)22的图象解：列表如下x-3-2-10123y =3x21230312y =3(x1)21230312y =3(x1)2+21452514 描点、连线，图象如图2 - 46所示 我们知道，抛物线y=a(xh)2k中的a决定开口方向，对称轴是x=h,顶点坐标是(h，k) y3x23(x0)20， y3(x1)2=3(x1)20， y3(x一1)22 观察到a30，开口向上对称轴依次是y轴(x0)，xl，x1顶点坐标依次是(0，0)，(1，0)，(1，2) 一般地，抛物线y=a(xh)2k有如下结论： (1)当a0时，开口向上；当a0时，开口向下 (2)顶点坐标是(h，k) (3)对称轴是直线x=h 规律方法小结本节是在研究了简单的二次函数y=ax2和y=ax2k的基础上，研究ya(xh)2和y=a(xh)2k的图象的性质及其作法在学习中不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练作出抛物线的草图，结合图象研究函数的性质以及不同图象之间的相互关系 二次函数y=a(xh)2k的图象及其性质：(1)二次函数ya(xh)2k的图象是一条抛物线，它的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=h当a0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最小值k在对称轴的左侧(即xh)，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧(即xh)，y随x的增大而增大当a0时，图象开口向下，有最高点，即顶点(h，k)，当x=h时，y最大值k在对称轴的左侧(即xh)，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧(即xh)，y随x的增大而减小(2)抛物线ya(xh)2k与y=ax2的关系抛物线ya(xh)2k可由抛物线yax2平移得到，它们的形状相同，只是位置不同把y=ax2的图象先沿x轴向左或向右平移h个单位后，得到y=a(xh)2的图象，再沿y轴向上或向下平移k个单位，便可得到y=a(xh)2k的图象(3)由于从ya(xh)2k(a0)中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y=a(xh)2k(a0)叫做二次函数的顶点式，而y=ax2bxc(a0)叫做二次函数的一般式课堂检测基础知识应用题 1、已知二次函数y(x1)24 (1)作出函数的图象； (2)求此图象与x轴、y轴的交点坐标； (3)根据图象，说出x取哪些值时，函数值y0，y0，y0 2、填写下表抛物线开口方向顶点坐标对称轴函数最大（小）值y =2(x1)2y =(x2)21y =(x6)2+5y =(x3)2+2 综合应用题 3、某公司推出一种环保器材，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图2 - 48刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)根据图象提供的信息，解答下列问题 (1)根据已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； (2)求截止到几月末，公司累积利润可达到30万元； (3)第8个月公司所获利润是多少万元? 探索与创新题 4、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化 例如：由抛物线y=x22mxm2x2m1，有y=(xm)22m1， 则抛物线的顶点坐标为(m，2m1)，即 当m的值变化时，x，y的值也随之变化，同时y的值也随x的值的变化而变化， 将代入，得y=2x1 可见，不论m取何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x1回答下列问题 (1)上述过程中，由到所用的数学方法是 ，其中运用了 公式，由到所用的数学方法是 ； (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x22mx+2m23m+1的顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式 体验中考 1、若抛物线y=(x+1)22与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为 A(1，0) B(，0)C(1，一2) D(l+，0) 2、将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是 ( ) Ay(x1)2+2 By(x+1)2+2 Cy=(x1)22 Dy(x+1)22 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析利用二次函数y=a(xh)2k的图象和性质解题解：(1)列表如下x-10123y =(x1)2+403430 描点、连线，图象如图2 - 47所示 (2)当y0时，(x1)240，得x1=l，x2=3 即抛物线与x轴的两个交点坐标是(l，0)，(3，0) 当x=0时，y=3，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，3) (3)抛物线与x轴的两个交点把x轴分成三段：x3，lx3，x1 当x1或x3时，y0； 当lx3时，y0； 当xl或x3时，y0【解题策略】注意在画二次函数图象时，若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是在作抛物线的草图时，应抓住以下五点；开口方向；对称轴；顶点；与x轴的交点(指有交点时)；与y轴的交点解此题还要注意数形结合思想的运用2、分析应根据y=a(xh)2k的性质填表a决定开口方向和开口大小，对称轴为x=h，k，h决定移动的方向和长度，顶点坐标为(h，k)填写过程如下： 抛物线y2(x1)2的开口向下，顶点坐标为(1，0)，对称轴为x1，当xl时，y最大值=0 抛物线y(x2)21的开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴为x=2，当x=2时，y最大值1 抛物线y(x6)25的开口向下，顶点坐标为(6，5)，对称轴为x6，当x6时，y最大值5 抛物线y(x3)22的开口向上，顶点坐标为(3，2)，对称轴为x3，当x3时，y最小值2【解题策略】熟练理解、掌握二次函数y=a(xh)2和ya(xh)2k的图象及其性质是解此题的关键3、分析解此题的关键是看懂图，充分利用图中所给的信息解答 解：(1)由图象知抛物线上的三点坐标分别为(2，2)，(5，25)，(1，1.5) 设抛物线的解析式为Sa(t2)22， 2.5=a(52)22，解得a=， 抛物线的解析式为S(t2)22 (2)当S30时，即30(t2)22，解得t110，t26(不合题意，舍去)，t10即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元 (3)当t=8时，S=(82)22=16；当t=7时，S=(72)2210.5 1610.55.5(万元)第8个月公司所获利润是5.5万元【解题策略】利用图象信息解决实际问题，注意数形结合思想的运用4、分析读懂阅读材料是解题的关键 解：(1)配方法 完全平方 消元法 (2)y=x22m+2m23m+1=(xm)2+m23m+l， 将代入，得y=x23x+1， 即顶点的纵坐标y与横坐标之间的关系式为y=x23x+1【解题策略】类比操作能力是衡量自学能力和基本数学能力的标尺，类比操作不是简单的模仿，而是要求解题者理解和掌握例题求解的思想方法，能够灵活应用这种思想方法解决问题体验中考1、分析本题主要考查二次函数的相关知识依题意得当y0时，即(x+1)220，解得xl或x-1因为点A在x轴的正半轴上，所以点A的坐标为(l，0)故选D.【解题策略】利用抛物线与x轴的交点纵坐标等于0列方程求解2、分析由“左加右减，上加下减”的平移规律，可得平移后图象的函数解析式为y=(x1)2+2故选A.2.5用三种方式表示二次函数学习目标、重点、难点【学习目标】 1分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题 2根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究 3经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点【重点难点】 1.分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题 2.根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究知识概览图新课导引 【生活链接】前面我们学习了函数的三种表示方式，这三种表示方式各有不同的优点，它们服务于不同的需要如，篮球教练在给运动员讲解不同的投篮点时，一般采取图象法 【问题探究】从上面的生活实例可以知道函数的三种表示方式各有不同的优点，通常根据它们的优点被应用那么它们都具有哪些优点呢? 【点拨】解析法简单、明了，通常能从解析式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理列表法一目了然，不用计算就能查到函数与自变量的对应值图象法直观，容易找出自变量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显看出自变量与函数之间的变化趋势因此，它们服务于不同的需要教材精华 知识点1 二次函数的三种表示方式 两种相关联的变量之间的二次函数关系可以用三种不同的形式来表示 (1)用等式表示(解析法) 用等式表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做解析法这个等式叫做函数解析式(或函数关系式)教材中叫做函数表达式 例如：S30t，Sr2，y= ,v=r3 ,y等等 拓展 函数表达式简单、明了，通常能从表达式中了解到整个变化过程中自变量与函数间的关系，适用于理论分析和计算推理，但并不是所有的函数关系都能用公式表示在生产和生活中，有些函数关系，如气象站每隔一段时间观测某地一昼夜温度随时间变化的情况，一般不能构成函数表达式 (2)用表格表示(列表法) 用表格表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做列表法例如：某地一天昼夜间温度变化情况的记录如下时间（时）024681012温度（C）-2-3-40479时间（时）141618202224温度（C）108.5711-2 平方根表、平方表等数学用表，都是用列表法表示函数的 拓展 列表法一目了然，不用计算就能查到函数与自变量的对应值，但是往往难于把全部对应值列出来因此，列表法有一定的局限性，而且很难了解函数与自变量间深层的变化规律 (3)用图象表示(图象法)把自变量x的一个值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点的集合叫做这个函数的图象用图象表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做图象法 例如：如图266所示的是气球周围的温度T()和气球距离地面的高度h(km)之间的函数关系 拓展 图象法容易找出自变量取某一个值时所对应的函数值，且可以明显地看出自变量与函数之间的变化趋势，所以图象法是研究变量之间关系十分有用的方法 知识点2 二次函数表达式的三种形式 二次函数的解析式可以用三种不同形式表达 (1)一般式：把函数y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式它是解决有关二次函数问题最基本、使用最广泛的一种形式 例如：已知抛物线过A(1，9)，B(1，3)，C (3，5)三点，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 将A(l，9)，B(1，3)，C(3，5)三点分别代入抛物线的解析式， y=x2+3x5 其规律是：已知三点，用一般式yax2 +bx+c求解析式 (2)顶点式：把函数ya(xh)2 +k(a，h，k为常数，a0)叫做二次函数的顶点式 运用配方法，将二次函数的一般式变形： yax2 +bx+ca即把二次函数的一般式转化为顶点式 在解决与二次函数的顶点有关的问题时，使用顶点式比较方便 例如：已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，且经过点(1，7)，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为ya(xh) 2+k， 抛物线的顶点坐标为(2，3)，h=2，k3，ya(x+2)2 +3 将(1，7)代入解析式，得7a+3，a4， y4(x+2) 2+34x 2+16x+19 其规律是：已知顶点坐标，用顶点式求解析式，但结果要化成一般式(3)两点式：把函数ya(xx1)(xx2 )叫做二次函数的两点式，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即元二次方程ax2+bx+c0的两个根(a0)经过配方，二次函数yax2 +bx+ca， 运用平方差公式将右端进行分解， 得，y=a(x)(x) 因为一元二次方程ax2 +bx+c=0的两个根为x1， 2，所以上式写成ya(xx1 )(xx2)，其中x1，x2是方程ax2 bx+c0的两个根，且x1，x2又为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标在解有关二次函数的图象与x轴交点坐标的问题时，使用两点式比较方便 例如：已知二次函数yax2 +bx+c，当x2时，y有最大值2，其图象在x轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式 解：当x2时，函数的最大值是2， 抛物线的顶点坐标为(2，2)，对称轴方程是x2 抛物线在x轴上截得的线段长为2， 抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(1，0)，(3，0) 设抛物线的解析式为ya(x1)(x-3)， 把(2，2)代入，得2a(21)(23)，解得a2， y2(x1)(x3)，即y=2x2 +8x6 其规律是：已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，用两点式求解析式，但结果要化成一般式 拓展 在解决二次函数问题时，可根据题目中的不同条件，选用不同形式的表达式来确定二次函数 知识点3 自变量x的取值范围的确定 函数定义中明确规定“对于x在其变化范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应”，其含义是：(1)自变量的取值范围是受一定条件限制的，以保证函数的存在性；(2)对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，以保证函数的唯一性 实际上，自变量的取值范围主要是指当函数的解析式给定时，自变量的取值必须使解析式有意义当函数反映的是实际问题时，除了要使函数解析式有意义外，还必须使实际问题有意义 例如：求函数y=x22x中的自变量x的取值范围 解：自变量x的取值范围是全体实数 又如：已知等腰三角形的周长为20 cm，写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围 解：函数关系式为y2x+20，使2x+20有意义的x为一切实数若要使实际问题有意义，则既要考虑到边长为正数，又要满足三角形三边关系定理， 所以即解得5x10 规律方法小结在本节学习中，要运用数形结合思想，熟练地列出表格，作出函数草图，结合图象，利用类比的方法研究函数的性质及不同图象之间的联系要学会灵活运用一般式、顶点式、两点式这三种形式求函数的解析式，并明确其图象的位置特征和解析式的系数a,b,c之间的关系 函数的三种表示法及其优缺点解析法两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法解析法简单、明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系但在求函数值时往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表示出来列表法把自变量x的一系列值与函数y的对