纯1数字的平方.doc

【题目】由n个1组成的n位数的平方的各位数字之和为多少？分析与解答：解法一：（一般意义下的探究）由n个1组成的n位数的平方是一个2n1位数。通过从最简单的情况开始找规律，可以得出这个2n1 位数分成三部分，不妨称之为：前部、连接部、后部。n=1： 11=1n=2： 1111=121n=3： 111111=12321n=4： 11111111=1234321n=5： 1111111111=123454321n=6： 111111111111=12345654321n=7： 11111111111111=1234567654321n=8： 1111111111111111=123456787654321n=9： 111111111111111111=12345678987654321n=10：11111111111111111111=1234567900987654321n=11：1111111111111111111111=123456790120987654321n=12：111111111111111111111111=12345679012320987654321n=13：11111111111111111111111111=1234567901233420987654321n=14：1111111111111111111111111111=123456790123454320987654321n=15：111111111111111111111111111111=12345679012345654320987654321n=16：11111111111111111111111111111111=1234567901234567654320987654321n=17：1111111111111111111111111111111111=123456790123456787654320987654321n=18：111111111111111111111111111111111111=12345679012345678987654320987654321n=19：11111111111111111111111111111111111111=1234567901234567900987654320987654321n=20：1111111111111111111111111111111111111111=123456790123456790120987654320987654321 用2n1除以18，设商为a、余数为b（奇数），则前部有9a位，后部也有9a位，连接部是b位。前部共有a组123456790，每组各位数字之和是37，故前部的各位数字之和是37a；后部共有a1组987654320和一组987654321（最后一组9个数），其中987654320的各位数字之和是44，987654321的各位数字之和是45。因此，后部的各位数字之和是44a1。连接部分是一个b位数：当b=1时，连接部是0，各位数字之和是0，0=121=(11)/221；当b=3时，连接部是120，各位数字之和是3，3=221=(31)/221；当b=5时，连接部是12320，各位数字之和是8，8=321=(51)/221；当b=7时，连接部是1234320，各位数字之和是15，15=421=(71)/221；当b=9时，连接部是12345420，各位数字之和是24，24=521=(91)/221；当b=11时，连接部是12345654320，各位数字之和是35，35=621=(111)/221；当b=13时，连接部是1234567654320，各位数字之和是48，48=721=(131)/221；当b=15时，连接部是123456787654320，各位数字之和是63，63=821=(151)/221；当b=17时，连接部是12345678987654320，各位数字之和是80，80=921=(171)/221。由以上分析可知连接部分的各位数字之和是(b1)/221。所以，这个2n1位数的各位数字之和是：S=37a44a1(b1)/221=81a(b1)/22=92a(b1)/22。当n9时，这2n1位数没有前、后部（a=0），只有连接部，S=n2；当n=9k（k为正整数）时，a=k1，b=17，S=92（k1）(171)/22=92（k1）92=92k；当n=9kc（k、c为正整数，且c小于9）时，a=k，b=2c1，S=92k c2。解法二：（特殊位数下的探究）当n是9的整数倍时，因为：111111111=123456799，9111111111=99999999