第1讲 线性空间.doc

矩阵论1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具2、内容矩阵论与工科线性代数课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及阶线性方程组的解等基本内容矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用第1讲 线性空间内容： 1.线性空间 2.基变换与坐标变换 3.子空间与维数定理4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象1 线性空间1 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统1.1群定义1.1 设是一个非空集合，在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”即，对中给定的一个法则，对于中任意元素，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为的和，记为若在“+”下，满足下列四个条件，则称为一个群1）在“+”下是封闭的即，若有 ；2) 在“+”下是可结合的即， ，；3）在中有一个元，若有 ；e称为单位元；4）对于有 称为的逆元注：对任意元素，都有，则称为交换群或阿贝尔群1.2 环定义1.2 设是一个非空集合，在集合的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“”即，对中给定的一个法则，对于中任意元素,，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为,的和与积，记为（）满足下列三个条件，则称为一个环1）在“+”下是阿贝尔群；2) 在“”下是可结合的即，；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于中任意元素，有，注：对任意元素，都有，则称为交换环1.3 域定义1.3 设满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称为域例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域最常见的数域有有理数域、实数域、复数域实数域和复数域是工程上较常用的两个数域此外，还有其它很多数域.如，不难验证， 对实数四则运算封闭的，所以也是一个数域.而整数集合就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分特别，每个数域都包含整数0和12 线性空间定义1.4 设是一个非空集合，是一个数域在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于中任意元素，在中都有惟一的一个元与他们对应，称为的和，记为在数域与集合的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“”：即，对于数域中任一数和中任一元，在中都有惟一的一个元与它们对应，称为与的数乘，记为如果加法与数乘这两种运算在中是封闭的，且满足如下八条规则： 交换律； 结合律 ，； ，有，（0称为零元素）； ，有 ，（称为的负元素，记为）； ，有 ； ，； ； ，则称集合为数域上的线性空间.当数域为实数域时，就称为实线性空间；为复数域，就称为复线性空间例 1 按通常向量的加法与数乘运算，由全体实维向量组成的集合，在实数域上构成一个实线性空间，记为；由全体复维向量组成的集合，在复数域上构成个复线性空间，记为例2 按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域上的元素构成的全体矩阵所成的集合，在数域上构成一个线性空间，记为而其中秩为的全体矩阵所成的集合则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵）例3 按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间例4 设全体正实数，其“加法”及“数乘”运算定义为, 证明：是实数域上的线性空间证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性唯一性是显然的若，则有：， 封闭性得证其次八条性质（1）（2） （3） 1是零元素（4） 是的负元素 （5） 数因子分配律（6） 分配律（7） 结合律（8） 恒等律由此可证，是实数域上的线性空间 证毕3 线性空间的基本性质：（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的（2） 如下恒等式成立： ，4 线性组合与线性表示，线性相关与线性无关性，维数定义1.5 线性组合：,，称为元素组的一个线性组合定义1.6 线性表示：中某个元素可表示为其中某个元素组的线性组合，则称可由该元素组线性表示 定义1.7 设是数域上的线性空间，是的一组元素（向量），如果中有一组不全为零的数，使得 (1.1)则称元素（向量）线性相关；若等式(1.1)仅当时才能成立，则称这组元素（向量）是线性无关的线性空间中最大线性无关元素（向量）组所含元素个数称为的维数，记为注：零元素与任何元素线性相关。2 基变换与坐标变换1 线性空间的基与坐标定义2.1 设是数域上的线性空间, ，是属于的个任意元素，如果它满足（1）线性无关；（2）中任一向量均可由线性表示则称为的一个基或基底，并称为该基的基元素基正是中最大线性无关元素组, 的维数正是基中所含元素的个数基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变例1 考虑全体复数所形成的集合如果（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为，空间维数为2定义2.2 称线性空间的一个基为的一个坐标系，它在该基下的线性表示为： ，（ ） 则称为在该坐标系中的坐标或分量，记为. 一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘 2 基变换与坐标变换定义2.3 设是的旧基，是的新基，它们可以相互线性表示即 （1.2）其中称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式可以证明，过渡矩阵是非奇异矩阵 设，它在旧基下的线性表示为，它在新基下的线性表示为，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系 ,则 上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式例1 已知矩阵空间的两个基：（1），（2），求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵解 为了计算简单，采用中介基的方法引入简单基：(3) ，由基（3）到基（1）的过渡矩阵为,即，可得， ，再写出由基（3）到基（2）的过渡矩阵为，即于是写出由基（1）到基（2）的过渡矩阵为，即3 子空间与维数定理1 线性子空间的定义及其性质定义3.1 设是数域上的线性空间的一个非空子集合，且对已有的线性运算满足以下条件（1） 如果，则；（2） 如果，则，则称是的一个线性子空间或子空间 由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可应用到线性子空间中去性质 （1）线性子空间与线性空间享有共同的零元素； （2）中元素的负元素仍在V1中子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间和本身称为平凡子空间；除以上两类子空间外的称为非平凡子空间，由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零定义3.2 设为中的元素，它们的所有线性组合所成的集合也是的线性子空间，称为由生成（张成）的子空间，记为或者若线性无关，则定理3.1(基扩定理) 设是数域上的线性空间的一个维子空间，是的一个基，则这个基向量必可扩充为的一个基；换言之，在中必可找到个元素使得成为的一个基,这个元素必不在中2 子空间的交与和定义3.3 设和是线性空间的两个子空间，则 分别称为和的交与和定理3.2 若和是线性空间的两个子空间，则，均为的子空间定理3.3(维数公式) 若和是线性空间的两个子空间，则有3 子空间的直和定义3.4 设和是线性空间的两个子空间，若其和空间中的任一元素都只能唯一的表示为的一个元素与的一个元素之和，即，存在唯一的、，使，则称为与的直和，记为定理3.4 如下四种表述等价 （1）成为直和 （2） （3） （4）若为的基，为的基，则，为的基注：子空间的和与交的概念以及有关的定理，可以推广到多个的子空间情形4 线性空间的同构定义4.1 设，是数域上的线性空间，是从到的映射，即对于中的任意元素均存在唯一的与之对应，则称为的一个映射或算子，记为，称为在映射下的象，为的原象若映射还满足:，,称为线性映射或线性算子.定义4.2 设，是数域上的线性空间，是从到的线性映射，如果是一一映射且为满射，则为从到的同构映射若线性空间，之间存在同构映射，则称，为同构线性空间，简称与为同构若为