勒让德多项式.pdf

数学物理方法数学物理方法 于承斌 泰山医学院泰山医学院 第十六章 勒让德函数第十六章 勒让德函数 球坐标系中求解物理方程 解函数是一 类特殊函数 其形式为多项式 最早研 究的是法国数学家勒让德 故称其为勒 让德函数以及勒让德多项式 16 1 勒让德多项式的定义及表示勒让德多项式的定义及表示 16 1 1 定义及级数表示 o r x y z 在前面球坐标系中分离变量时曾经分离出方程 P332 2 2 2 1 sin0 sinsin ddm dd arccosx 2 作变换x cos y x l l 1 得 2 2 2 1 1 0 16 1 3 1 ddym xl ly dxdxx 方程 16 1 3 称为连带勒让德微分方程 式中本征值m与 有关 若研究的问题具有旋转对称 则定解问题的解与无 关 此时m 0 方程即为勒让德方程 即如下16 1 4 2 1 1 0 16 1 4 ddy xl ly dxdx 2 2 2 1 20 d ydy xxy dxdx 或 arccosdx d ll mm x PQ 方程有两个线性独立的基本解 x 和 x 即勒让德函数 如问题要求方程在区间 l 1 上的解是有限的 则l 必 须取整数 而l 取整数时 方程的其中一解是多项式 且仅有此多项式解满足上述条件 定义为l 阶勒让德 多项式 其级数形式为 2 2 0 22 1 2 2 l klk l l k lk P xx k lklk 其中 l 2 表示不大于l 2的最大整数 Pl x 的表达式可以通过如下推导得出 了解 2 2 12 21 2 l ln l l ln 如果把勒让德方程化为标准形式 立即看出x 0是方程的常点 因此 在x 0的领域内 方程的解可以表示为幂级数形式 即 0 k k k yc x 1 1 k k k dy kc x dx 2 2 2 2 1 k k k d y k kc x dx 把上述三式代入方程 16 1 4 得到 其中ck为待定系数 对它逐项求导 得 再求导 得 221 210 1 1 2 1 0 kkk kkk kkk xk kc xxkc xn nc x 因上式对x是一个恒等式 故x的各次幂的系数均必须为零 遂得 20 31 2 2 1 1 0 3 2 1 20 2 1 1 1 0 kk cn nc cn nc kkcn nk kc 20 31 1 2 1 1 2 3 2 n n cc n n cc 从而得ck的循环公式 2 1 1 0 1 2 2 1 kk n nk k cc k kk 2 2 2 n n n c n 2 1 1 2 1 nn nn cc n nnn 2 1 2 2 21 2 n nnn nn 然后称之为勒让德多项式勒让德多项式 并用Pn x 表示之 Pn x 的表达式可 以如下导出 由 15 12 令k n 2 得 将上式代入其级数解中 则得勒让德方程的含有两个任意 常数c0和c1的通解 24 0 1 2 1 3 1 2 4 n nnn nn ycxx 35 1 1 2 3 1 2 4 3 5 nnnnnn cxxx 0011 c yxc y x 22 2 1 2 n n nn 同样 得 42 3 2 1 4 3 nn nn cc n nnn 2 2 3 2 22 1 4 23 2 1 2 24 1 2 2 2 4 n n nnn nnn n nn 3 6 26 1 2 3 3 6 n n n c nn 借用数学归纳法 可证 2 22 1 0 1 2 2 2 2 m nm n nmn cm m nmnm 16 1 5 2 2 0 22 1 2 2 l klk l l k lk P xx k lklk 其中 l 2 表示不大于l 2的最大整数 42 4 7 55 33 1 2 4 24 24 2 P xxx 53 5 9 77 55 3 2 4 24 24 2 P xxxx 0 1 P x 1 P xx 2 2 31 22 P xx 3 3 53 22 P xxx 下面给出前六个勒氏多项式的明显表达式 并画 出P1 x P2 x P3 x 和P4 x 的图形 x cos 详 见P342 16 1 2 勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式的微分表达式 洛德利格斯公式洛德利格斯公式 为了讨论问题和计算上的方便 我们介绍勒让德勒让德多项 式的另一种微分形式表示法 即所谓的洛德利格斯公式洛德利格斯公式 222 0 1 1 k l llk k l xx k lk 证证按二项式展开 有 2 1 1 16 1 8 2 l l l ll d P xx l dx 222 0 11 1 1 2 2 lkl l llk llll k dld xx l dxlk lkdx 2 2 0 2 2 0 1 1 22 221 21 2 22 1 2 2 l k lk l k l klk l k l l lklklkx lk lk lk x k lklk P x 22lkl 22 22 lkl l lkl l 的项求 阶导数后仍存在 的项求 阶导数后均为0 22 2 l lklk 因此 16 1 3 勒让德多项式的拉普拉斯积分表达式勒让德多项式的拉普拉斯积分表达式 证明 设 2 1 n f zz 2 2 1 1 1 2 n n C zd iz 1 2 n n C nf fzd iz 2 2 1 1 1 2 nn n nn C dn zd dziz 由柯西积分公式 3 4 1 得 因为 即 2 0 1 1cos 16 1 9 l l P xxxd 勒让德多项式还可表示为积 分的形式 也叫勒让德多项 式的拉普拉斯积分表达式 于是得勒氏多项式的 施列夫利积分表达式 2 1 1 1 22 l l ll C P xd ix 或简称为施氏积分施氏积分 2 1 x 1 zx 2 1 i xxe 施氏积分还可以作如下的变形 取C为圆周 圆心在 半径为在C上 于是 再有勒氏多项式 的微分表达式 2 1 1 16 1 8 2 l l l ll d P xx l dx 2 1 0 2 i dxied 2 22 1 2 1 111 1 2 21 l ii ll lli xxexie P xd i xe 2 2 0 1 1 22 1 1cos l ii l ee xxd xxd 令则有cos 0 x 0 1 cos cossincos l l Pid 16 1 9 16 1 9 称为拉普拉斯积分拉普拉斯积分 2222 2 121 1 1 2 21 l ii i xx xexe d xe 16 1 9 2 0 222 0 222 00 1 1cos 1 1 cos 11 cos 1 l l l l P xxixd xxd x sindd 从 16 1 9 不难看出 19 1 10 1 l P x 11 x 证明 放大为模数 16 1 4 勒让德多项式的生成函数勒让德多项式的生成函数 本节我们用另一种方法 母函数 生成函数 方法来 研究勒让德多项式 现由勒让德多项式的积分表达式构造如 下函数级数 2 0 00 20 0 2 2 2 1 1cos 1 1 1cos 1 1 1 cos 1 1 1 2 16 1 11 l ll l ll h P xhxxd d h xx d hx h x h x hxh 泰勒展开 20 cos 1 d a a 利用公式 0 1 1 n n z z 在x的区间 1 1 上 1 l P x ll l P x hh 0 l L l h P x 故函数项级数收敛 再假定 h 1 则在此区间上 可令 1 1 h h 1 22 11 11 1 00 1 1212 16 1 12 l L L l ll h hxhh xh P x hh P x h 同样得 0 2 1 0 1 1 11 1 1 2 1 l l l l l l P x rr G r xx xrr P xr r 综上 定义勒让德多项式的生成函数为 16 1 13 22 1 11 1 0 11 12 1 11 0 111 11 16 1 14 2cos 1 cos 1 1 cos 1 2cos l l l l l l rr rrrr r Prr rr rrr Prrr rrrr 利用勒让德多项式的生成函数得一重要公式为 由勒让德多项式的生成函数对r微分得 2 16 2 1 1 2 G x rxr G x r rxrr 16 2 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 16 2 1P l x 的具体形式 2 1 2 G x r xrrxrG x r r 即 16 1 3G x r将的级数形式 代入上式 得 21 12 01 1 2 2 l l l l xrrP xrP xlrP x xr P xrP xr P x 归并r幂次相同的项 得 1021 11 2 3 1 1 21 0 l lll P xxP xP xxP xr lPxlxP xlPx r 因为r不能为0 故其系数均为0 并由依次推 得 0 1P x 1 P xx 2 2 1 31 2 P xx 3 3 1 53 2 P xxx 42 4 1 35303 8 P xxx 11 1 21 1 lll PxlxP xlPx l 特别 由级数表示得 16 2 2 勒让德多项式的特殊性质勒让德多项式的特殊性质 1 奇偶性奇偶性 事实上根据勒让德多项式的定义式 作代换事实上根据勒让德多项式的定义式 作代换 xx rr 容易得到容易得到 P 1 P l ll xx 即当l为偶数时 勒让德多项式为偶函数 即当l为奇数时 勒让德多项式为奇函数 即当l为偶数时 勒让德多项式为偶函数 即当l为奇数时 勒让德多项式为奇函数 2 00 1 1 2 ll ll ll G r xP x rPxr xr r 0 l l l Px rl 奇 0 l l l Px rl 偶 1 1 1 1 n nn PP 2特殊值特殊值 212 21 0 0 0 1 2 k kk k PP k 0 1 1 1 1 n n n Pzx z 生成函数中令 证明 证明 0 1 1 n n z z 而 泰勒展开 1 1 n P 1 1 n n P 故有 同理 再由再由生成函数中令x 0得 2 0 1 0 1 n n n Pr r 由二项式展开定理把左项展开 由二项式展开定理把左项展开 14 22 2 2 2 113 1 1 222 2 1 3 5 21 1 2 kk r rr k r k i i 对比右项级数中的各项得 对比右项级数中的各项得 212 21 0 0 0 1 2 k kk k PP k 16 2 3 16 2 3 勒让德多项式的正交性及模勒让德多项式的正交性及模勒让德多项式的正交性及模勒让德多项式的正交性及模 1 正交性正交性 勒氏多项式序列在 区间 1 1 上正交 即 01 n P x P xP x 2 1 1 16 2 6 0 n mn mn mn N P x P x dx 0 1 2 m n 2 2 1 1 0 1 1 0 mm nn d xPm mP dx d xPn nP dx 用Pn乘前式 Pm乘后式 然后相减 并积分 得 mn PxPx证证分别满足勒让德方程 1 1 1 1 mn m mn nP Pdx 右 1 22 1 1 m 1 1 1 1 P P d mnnm n dd PxPPxPdx dxdx n nmm mxxx 因故 mn 1 1 0 mn P x P x dx 1 2222 1 1 22 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 mnnnmm mnnmnmnm mnnm PxPxPPxPxPdx xP PP PxPPP Pdx xP PP P 左 此性质叫做勒让德多项式的正交性 2 模 2 模 1 22 1 P P d lll Nxlnxx 当时 记叫 的模 证明证明 2 2 21 l N l 11 n l 2 11 2 2 00 1 n l2l2 1 000 d P P rd 1 2 rP P dr nl nl nll nll x xxx rxr xxxN 1 21 12 1 2 2 21 2 00 d1 ln 1 2 2 1 2 1122 ln 12121 l l ll x rxr r rxr rr r rrrll 又有 2 2 21 l N l 1 1 2 21 mnmn P x P x dx n 2 21n 故称为Pn x 的归一因子 勒氏多项式乘上归一因子之 后 即得一个在区间 1 1 上的标准正交函数系 16 2 6 可以写为 2 1 1 21 1 2 n n P xdx 得 其中 1 0 nn mn mn 1 22 n 1 2 P d 21 n Nxx n 为了分部积分的方便 把上式的为了分部积分的方便 把上式的 l P x用微分表示给出 则有用微分表示给出 则有 2 1 2 22 1 1 212 221 1 12 12 2 1 221 1 1 1d 1 d 2 d 1d 1 d 1 2 dd 1d 1 dd 1 d 2 dd ddd 1 dd ll l ll llll ll lll llll lll l xx Nx lx xx lxx xx x lx x xx x 第二种方法采用分部积分法求解 课下了解 第二种方法采用分部积分法求解 课下了解 注意到注意到 lll xxx 1 1 1 2 以以1 x为为l级零点 故其 级零点 故其 1 l 阶导数阶导数 12 1 d 1 d ll l x x 必然以必然以1 x 11212 1 2 2211 1 1 d 1 d 1 d 2 dd llll l lll xx Nx lxx 再进行再进行l次分部积分 即得次分部积分 即得 22 1 22 222 1 1 d 1 1 d 2 d lll l l ll x Nxx lx 为一级零点 从而上式已积出部分的值为零为一级零点 从而上式已积出部分的值为零 l x 1 2 是是l 2次多项式 其次多项式 其l 2阶导数也就是最高幂项阶导数也就是最高幂项 l x 2 的的l 2阶导数为阶导数为 2 l 故 故 1 2 22 1 2 1 1 1 d 2 lll l l l Nxxx l 再对上式分部积分一次再对上式分部积分一次 11 211 22 11 1 11 22 1 2 1 1 1 1 1 1 d 2 1 2 1 1 1 1 d 2 1 lllll l l lll l l Nxxlxxx ll ll xxx ll 容易看出已积出部分以容易看出已积出部分以1 x为零点 至此 分部积分的结果是使 为零点 至此 分部积分的结果是使 1 x的幂次降低一次 的幂次降低一次 1 x 的幂次升高一次 且积分乘上一个相应的常数因子 的幂次升高一次 且积分乘上一个相应的常数因子 继续分部积分 计继续分部积分 计l次 即得次 即得 1 202 22 1 1 21 2 1 2 11 1 1 1 1 d 2 122 112 1 22121 lll l l l l lll Nxxx llll x ll 故勒让德多项式的模为故勒让德多项式的模为 12 2 l Nl 2 1 0 l 且有且有1 1 2 P P d 21 ll xxx l 第三种方法采用数学归纳法求解 课下了解 要用到后面的递推公式 第三种方法采用数学归纳法求解 课下了解 要用到后面的递推公式 证证今用数学归纳法加以证明 因为 11 22 1 11 22 32 1 1 Px dxx dx 111 2 1111 111 1 21 mmmmm mPdxmxP PdxmPPdx 1 1 1 21 mm mxP Pdx 故n 1时 原式成立 今设n m时成立 则由递推公式 2 得 再在 2 中 令n m 1 得 12 21 2323 mmm mm xPPP mm 11 2 12 11 21 2 1 23 mmm mm mPdxP Pdx m 1 2 1 21 1 23 m mm P dx m 21 1 2 2321 mm mm 1 2 1 1 2 2 1 1 m Px dx m 故 代入上式 则得 16 2 4 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式 利用母函数 16 1 13 对x求导 勒让德多项式有以下的 递推公式 11 2 1 21 nnn nPxnxP xnPx 1 3 nnn nP xxP xPx 1 4 1 nnn PxxP xnP x 11 1 2 nnnn P xPxxPxPx 11 5 21 nnn nP xPxPx 2 1 6 1 nnn xPxnxP xnPx 1 0 7 21 n lnn l lP xPxPx 2 0 1 1 16 1 2 13 1 l l l G r xP x rr xrr 证证首先 对 16 1 13 式的两端关于 x求导 得 23 0 1 1 2 l l l G r xr P x rr x xrr 2 2 0 1 2 1 1 2 l l l r xrrPx rr xrr 即 2 0 1 2 1 l l l rG r xxrrPx rr 亦即 2 00 1 2 1 ll ll ll rP x rxrrPx rr 再亦即 上式展开并对比r的系数 得 121 P 2 P P P 0 llll xxxxx 约定 n l 1上式令 则得 2 0 0 l l P xPx 对于一切正整数 递推公式都使用 若当 l取负整数时 约定 如 11 1 P P 2 P P nnnn xxxxx 11 2 1 21 16 2 3 nnn nPxnxP xnPx 13 l 1 P x 将 2 式代入 则得 14 l 1 P x 将 2 式代入 则得 l xP x 将 1 3 式消去则得 5 例例 16 2 1 求积分求积分 1 1 P P d ln Ixxxx 解 利用递推公式 解 利用递推公式 2 11 1 P 21 P P kkk kxkxxkx 1 k 故有故有 11 11 11 11 11 11 1 P P d 1 P P P d 21 1 P P dP P d 2121 lnlln lnln Ixxxxlxlxxx l ll xxxxxx ll 2 2 1 41 2 1 1 23 21 0 1 n ln n n ln nn ln 例例 16 2 2 求积分求积分 1 0 P d l Ixx 解 利用递推公式 解 利用递推公式 5 11 11 00 1 11011 1 1 P dd P P 21 11 P P P 0 P 0 2 12 0 1 1 lll l l lll Ixxxx l xx l ll P 11 2x 0 1 0 21 0 0 0 nnn nPnPnP 利用递推式 令 代入 1 1 0 0 1 l l lP P l 1 21 21 22 k k lk k 02lk 11 100 1 P dd1 2 x xx xl 11 000 P dd10 xxxl 例例 16 2 3 求积分求积分 1 0 P d l Ixxx 解 利用递推公式 解 利用递推公式 5 11 11 00 1 1 11011 0 2 1 0 1 2 0 1 1 P dd P P 21 1 P P P P d 2121 P 0 P 0 P 0 1 212 2 1 1 d0 2 1 d1 3 021 1 23 2 22 lll llll lll k Ixxxxxx l x xxxxx ll lllll x xl xxl lk k l k k 1 1 0 1 P dP 0 1 ll xx l 1 1 2 0 0 1 0 0 1 l l l l lP P l lP P l 例例 16 2 4 利用递推公式 利用递推公式 2 可得如下结果 可得如下结果 2 120 21 P P P 33 xxxxx 32 120 21 P P P 33 xx xx xxxxx 31 23 P P 55 xx 4 31420 23841 P P P P P 553575 xxxxxxx 1 P xx 2 2 1 31 2 P xx 3 3 1 53 2 P xxx 42 4 1 35303 8 P xxx 11 1 21 1 lll PxlxP xlPx l 特别 1 P xx 利用递推公式 利用递推公式 2 为此 一个函数的为此 一个函数的广义傅里叶级数广义傅里叶级数展开定理展开定理展开定理展开定理可叙述为可叙述为 设函数f x 在区间 1 1 上有连续的一阶导数和分段连续的二 阶导数 则f x 在 1 1 上可以展开成绝对且一致收敛的广义 傅里叶级数 广义 傅里叶级数 0 nn n f xc P x 1 1 21 2 nn n cf x P x dx 0 1 2 n 其中 本征函数为勒让德函数 它在 勒让德函数 它在 1 1 上构成完备正交 系 上构成完备正交 系 任何解析函数f x 均可在以x0为中心 以r为收敛半径的区 域进行泰勒级数展开 而展开的项均为xk的形式 勒让德函数 即是其基函数 下面我们给出一般性结论 下面我们给出一般性结论 16 3第二类第二类勒让德函数略 勒让德函数略 16 4勒让德方程勒让德方程本征值问题 只给出一般性结论 本征值问题 只给出一般性结论 P cos n 这时有 这时有 0 cos P cos nn n fC cos x 此时勒让德方程的解为在实际应用中此时勒让德方程的解为在实际应用中 经常要作代换经常要作代换 0 21 cos P cos sin d 2 nn n Cf 其中系数为 结论 其中系数为 结论1 设 设 k 为正整数 可以证明 为正整数 可以证明 2 22222200 21 212123231 1 P P P P P P k kkkk k kkkk xCxCxCx xCxCxCx 结论结论2 根据勒让德函数的奇偶性 若需展开的函数 根据勒让德函数的奇偶性 若需展开的函数 f x为奇函数 则展开式的系数为奇函数 则展开式的系数 2 0 n C 若需展开的函数 若需展开的函数 f x为偶函数 则展开式的系数为偶函数 则展开式的系数 21 0 n C 0 1 2 3 n 勒让德多项式的应用 广义傅氏级数展开 勒让德多项式的应用 广义傅氏级数展开 例16 2 5 把函数f x x2展开成广义傅里叶级数 2 001 122 2 00221 2 02 20 0 3 1 1 2 21 33 xc P xc P xc P x c P xc P xxc x cc cc i 解 为偶函数 比较系数得 例例16 2 6 以勒让德多项式为基 在 1 1 区间上把 3 234f xxx 展开为广义傅里叶级数 展开为广义傅里叶级数 解 解 本例不必应用一般公式 事实上 本例不必应用一般公式 事实上 f x 是三次多项式 设它表示为 是三次多项式 设它表示为 3 3 0 23 0123 23 021323 234P 11 1 31 53 22 1335 2222 nn n xxCx CCxCxCxx CCCC xC xC x 比较同次幂即得到比较同次幂即得到 3210 421 0 4 55 CCCC 由此得到由此得到 3 013 214 2344P P P 55 xxxxx 例例16 2 7 将函数将函数cos2 0 展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式 P cos n 的形式 解 用直接展开法 令 的形式 解 用直接展开法 令 cosx 则由 则由 22 cos22cos121x 我们知道 我们知道 2 012 1 P 1 P P 31 2 xxxxx 可设可设 2 001 122 21P P P xCxCxCx 1 0C 22 02 1 21 31 2 xCCx 由由 20 xx项的系数 显然得出项的系数 显然得出 20 41 33 CC 0202 1414 cos 2 P P P cos P cos 3333 xx 考虑到勒让德函数的奇偶性 显然考虑到勒让德函数的奇偶性 显然 16 5 16 5 连带勒让德方程及其解连带勒让德方程及其解连带勒让德方程及其解连带勒让德方程及其解 16 5 1 连带勒让德方程连带勒让德方程 22 2 22 1 2 1 0 1 d ydym xxn ny dxdxx 16 5 1 2 2 2 1 2 1 0 16 1 4 d ydy xxl ly dxdx 由勒让德方程 知 其解即为勒让德多项式 即满足上述方程 n P x n P x 2 1 2 1 0 nnn xPxPn nP 于是得 对比勒让德方程 当定解问题不具备旋转对称时 定解方程 的解与有关 此时必须考虑本征值m不为0的情况 即得连带 勒让德方程 16 1 3 或如下 16 5 1 x方程两边对 求导得 2 1 2 2 1 20 nnn xPxPn nP 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 0 nnn xPxPn nP x方程两边再次对 求导得 将方程连续求导将方程连续求导m次次 即可得到即可得到 2 2 1 1 2 1 mm nn xPmxP 1 1 0 m n n nm mP 22 22 1 1 m m m m n m v xxxy d x d x x P 令代入上式得 2 2 2 1 2 1 0 1 m x vxvn nv x 恰为连带勒让德方程 2 2 1 n m m n Px v xxPx 故 是勒让德方程的一个解 则 是相应连带勒让德方程的一个解 2 2 2 2 1 1 nn mm nn mm m nn m mm m nn m PxQx y xPxQx d PxxPx dx d QxxQx d n x 12 12 第一类连带勒让德函数 又称为连带勒让德多项式 第二类连带勒让德函数 进一步当 为正整数时 勒让德方程的通解为 则连带勒让德方程的通解为 其中 c y cc c 16 5 2 连带勒让德多项式 1 微分表示法 连带勒让德多项式 1 微分表示法 根据勒让德多项式的微分形式表示法 即得连带勒让德多项式的微分形式表示 2 2 2 1 1 16 5 12 2 m m l ml l lm l xd Pxxml ldx 2 特性 2 特性 根据勒让德多项式的特性 同样有 P 1 P mlm ll xx P 1 0 m0 m l P 1 P mlm ll lm xx lm 3 生成函数 3 生成函数 在勒让德多项式的生成函数的两边对x微 分m次 即得连带勒让德多项式的生成函数 2 2 1 2 2 0 2 1 1 2 1 2 m ml m ml m m l mx r xPx rr mxrr 4 正交性及模 4 正交性及模 1 2 1 mmm lnll n Px Px dxN 12 2 1 2 21 0 1 mm ll l n lm NPxdx lml ln ln 求的具体步骤 课下了解 12 1 m n Pxdx 1122 2 11 1 mmm nn PdxxPdx 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 mmm nn mmm nn d xPPdx dx d PxPdx dx 在连带勒让德方程中 用m 1代替m 有 2 1 1 1 2 1 1 0 mmm nnn xPmxPn nmm P 以乘之 得 即 将该式代入上式 得一循环公式 21 1 mx 2 1 21 1 2 1 mmmm nn xPmxxP 21 1 1 1 1 0 mm n n nmmxP 2 1 m m n d xP dx 21 1 1 1 0 mm n nm nmxP 1122 21 1 11 1 1 mmm nn Pdxnm nmxPdx 12 1 1 1 m n nm nmPdx 按此公式 递推下去得 12 0 1 1 2 1 1 1 1 2 n n nm nmnnmnmnPdx nm Pdx nm 2 21 nm nmn 5 展开定理 6 递推公式 7 常用的几个连带勒让德多项式 作为常用的公式参考课本了解 5 展开定理 6 递推公式 7 常用的几个连带勒让德多项式 作为常用的公式参考课本了解 16 16 6 6球谐函数球谐函数球谐函数球谐函数 16 6 1球谐函数的方程及其加法公式球谐函数的方程及其加法公式 1 球函数方程球函数方程 根据分离变量法 在球坐标系中将下列拉普拉斯方程或 亥姆霍兹方程实施分离变量 根据分离变量法 在球坐标系中将下列拉普拉斯方程或 亥姆霍兹方程实施分离变量 22 0 16 6 1 uk u 式中式中 2 22 22222 111 sin sinsin r rrrrr 令令 Y u rR r 则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量则得到由亥姆霍兹方程实施分离变量r所满足的方程所满足的方程 222 dd 1 1 d 0 d R rk rl lR rr 欧拉方程 暂不讨论欧拉方程 暂不讨论 而角度部分的解而角度部分的解 Y 满足下列方程 满足下列方程 2 22 1Y1Y sin 1 0 16 6 3 sinsin l lY 上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程 上式由亥姆霍兹方程实施分离变量所得的方程 16 6 3 叫球 谐 函数方程 其解与半径 叫球 谐 函数方程 其解与半径r无关 称为球函数 或球谐函数 球函数方程 无关 称为球函数 或球谐函数 球函数方程 16 6 3 再分离变量 令 再分离变量 令 Y 得到两组本征值问题得到两组本征值问题 i 2 2 2 d 0 2 d m 本征值为本征值为 2 0 1 2 mm 本征函数为本征函数为 cossinAmBm ii 2 2 1dd sin 1 0 0 sinddsin m l l 本征值本征值 1 0 1 2 l ll 本征函数本征函数P cos m l Y P cos mmim ll e 其中其中 im e 是变量是变量 相应于本征值相应于本征值 m的本征函数 的本征函数 P cos m l 是变量是变量 相应于本征值相应于本征值l 对于确定的 对于确定的m 的本征函数 在 的本征函数 在 0 02 区域中求解区域中求解 Y 得到与本征值得到与本征值 l m相应的本征函数相应的本征函数Y m l 实际上应由下列两个本征 函数之积组成 即为 实际上应由下列两个本征 函数之积组成 即为 连带勒让德方程 2 球函数表达式球函数表达式 为了使得为了使得 16 6 4 所表示的函数系构成正交归一系 必须添加适当常系数 于是定义 所表示的函数系构成正交归一系 必须添加适当常系数 于是定义 i 21 Y 1 P cos 4 mmmm ll llm e lm 16 6 5 为球谐函数方程的本征函数 相应于本征值 并称它为 球函数 球谐函数 为球谐函数方程的本征函数 相应于本征值 并称它为 球函数 球谐函数 l m 此时球谐函数此时球谐函数 lm Y 具有正交性 即当具有正交性 即当lk 或或 mn 时有时有 2 00 dY Y sin d0 mn lk 即即 2 00 dY Y sin d mn lklkmn 3 连续可微函数按球函数展开连续可微函数按球函数展开 球函数的完备性球函数的完备性 在区域连续可微函数 按球函数展开 可得 在区域连续可微函数 按球函数展开 可得 0 02 f 0 16 6 7 l m lml lml fc Y 2 00 d Y sin d m lml cf 球谐函数加法公式 略 几个常用的球谐函数表示式 课本 球谐函数加法公式 略 几个常用的球谐函数表示式 课本P361 r r 如图16 2 矢量之间的夹角与 以及 的关系由球面三角公式确定 cos cos cos sin sin cos 0 21 cos 4 l mm lll m ll l YYP 相应连带勒让德多项式的关系 一个重要的公式 相应连带勒让德多项式的关系 一个重要的公式 1 0 14 21 l l mm ll l lm l r YY lr rr 了解了解 球函数 连带勒让德多项式 勒让德多项式 应用应用 fu ar 0u im r a ufe fu ar 与 有关 与 有关 与 无关 泛定方程 边界 条件 泛定方程 边界 条件 球函数应用 非对称问题 连带勒让德函数的应用 转动对称 勒让德函数的应用 轴对称 与 有关 问题的求解 非对称稳定 球函数应用 2 22 1Y1Y sin 1 0 16 6 3 sinsin l lY 0 u 0 1 2 RllRr 2 0 0 1 YY YY YllY 有界 fu ar 1 l ml l ml rBrAR m l YY ml m lml YrRu ml m lml YaRf uR r Y 0 u 0 1 2 RllRr 0 1 2 2 RllrRRr 有界 0 0sin 1 sin sin 2 ll m 有界 1 0 1 1 2 2 1 2 llx x m im r a ufe 1 l l l l rBrAR xP m l ml imm ll exPrRu ml m ll xPaRf cos x uR r Y 与 有关 0 2 cossin im m mm e mm 与 有关 欧拉方程 与 有关 转动对称稳定问题的求解 连带勒让德多项式 2 22 1Y1Y sin 1 0 16 6 3 sinsin l lY 球函数方程 Y 轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式的应用 0 u 0 1 2 RllRr 0 1 2 2 RllrRRr 有界 0 0sin 1 sin ll 有界 1 0 1 1 2 llx cos x fu ar 1 l l l l rBrAR xP l 0 cos l ll PrRu 0 cos l ll PaRf 与 无关 0 2 xPaAAx l l l l 由边界条件得 1 2 1 21 2 kk k k AAx Px dx a 根据完备性 例题 1 半径为a的球面上电势分布为 f Acos2 确定球内空间的电势 u 解 2 0 cos r a ura ufA 2 cos 0 Afu aru ar 定解问题为 0 1 cos l l l l l l PrBrAu 相应的半通解为定解问题有轴对称性 0 1 cos l l l l PrBu u 有界 半通解化为球外解要求 勒 让 德 多 项 式 的 应 用 0 0 1 0 1 xPbBbA xPaBaAx l l l l l l l l l