数学物理方法姚端正CH2作业解答.pdf

1 数理方法数理方法 CH2 作业解答作业解答 P33 习题习题 2 1 3 利用积分不等式 证明 1 i i dziyx2 22 积分路径是直线段 2 i i dziyx 22 积分路径是连接i 到i的右半圆周 证明 1 积分路径是从i 到i的直线段 那么积分路径的长度为2 s 在该路径上 0 x 则 2 yzf 而1 y 所以1 zf 即1 Mzf的最大值为 i i Msdziyx221 22 2 积分路径是连接i 到i的右半圆周 该圆周半径1 r 那么积分路径的长 度为 rs 在该路径上 cosrx sinry 则 12sin 2 1 12sin 2 1 cos sin cossin2 cos sin sin cos 2222222 22222244444 rr rryxzf 即1 Mzf的最大值为 所以 i i Msdziyx 1 22 5 计算 l n az dz I 其中n为整数 l为以a为中心 r 为半径的上半圆周 解 记 i reaz 则 d riedz i 当1 n时 iid re drie az dz i i l 00 当n为1 的整数时 0 inn i l n er drie az dz 0 1 1 deir nin 0 1 0 1 1 1cos 1 1sin 1sin 1 cos n n i n n irdninir nn 1 1 cos 1 1 1cos 1 0 1 n n r n n r n n 为奇数时 为偶数时 n n n r n 0 1 2 1 2 上式也可表达为 1 1 1 1 1 cos 1 1 11 n nn n r n n r P38 习题习题 2 2 1 计算积分 l bzaz dz l是包围a b 两点的围线 解法之一 1 bzaz 在l内有两个奇点 az 和bz 在l内作小圆 1 l 包围a 作小圆 2 l 包围b 则由复通区域的柯西定理知 l bzaz dz 1 l bzaz dz 2 l bzaz dz ba i i babz dz az dz babzaz dz lll 2 02 1 1 111 ba i i babz dz az dz babzaz dz lll 2 20 1 1 222 所以 0 l bzaz dz 解法之二 也可以简单地这样处理 解法之二 也可以简单地这样处理 0 22 1 1 1 ii babz dz az dz babzaz dz lll 解法之三 学了第解法之三 学了第 3 节后 可以用柯西公式 节后 可以用柯西公式 在l内作小圆 1 l 包围a 作小圆 2 l 包围b 则由复通区域的柯西定理知 l bzaz dz 1 l bzaz dz 2 l bzaz dz 其中 其中 ba i bz idz az bz bzaz dz az ll 2 1 2 1 11 3 ab i az idz bz az bzaz dz bz ll 2 1 2 1 22 则 l bzaz dz 1 l bzaz dz 0 22 2 ab i ba i bzaz dz l 2 计算积分 1 i dzz 2 2 2 2 3 i zdz ze 2 1 1 说明 此题是用找原函数的方法 与实变函数积分的方法是一样的 解 1 3 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 i zdzz i i 3 由分部积分法得 zzzzzz ezedzezezdedzze 则 eezdzze i z i z 2 1 2 1 1 2 1 1 P44 习题习题 2 3 1 计算下列积分 其中l为2 z 3 dz zz z l 1 2 解法之一 被积函数有两个奇点 1 z 和0 z 这两个奇点都包含在围道内 分别以1 z和0 z为圆心作小圆 分别记为 1 l 和 0 l 由复连通区域的柯西定 理 有 dz zz z dz zz z dz zz z lll 01 1 2 1 2 1 2 其中 i z z idz z z z dz zz z z ll 2 2 2 1 2 1 2 1 11 4 i z z idz z z z dz zz z z ll 4 1 2 2 1 2 1 2 0 00 则iiidz zz z l 242 1 2 2 计算积分 lz dz 9 2 其中围道l 1 包围 i 3 不包围i 3 2 包围i 3 不包围 i 3 3 包围i 3 解 1 3 3 1 2 3 3 1 3 3 9 3 2 iz lll iz idz iz iz iziz dz z dz 2 3 3 1 2 3 3 1 3 3 9 3 2 iz lll iz idz iz iz iziz dz z dz 3 两个奇点都包含在围道内 则分别以两个奇点为圆心作两个小圆 分别记为 1 l 和 2 l 1 l 以iz3 为圆心 2 l 以iz3 为圆心 则由复连通区域的柯西定理 有 21999 222 lll z dz z dz z dz 其中 3 3 1 2 3 3 1 9 3 2 11 iz ll iz idz iz iz z dz 29 2 l z dz 3 3 1 2 3 3 1 3 3 3 22 iz ll iz idz iz iz iziz dz 则 21999 222 lll z dz z dz z dz 0 3 计算下列积分 1 dz z z l 5 1 cos 解 iz dz di dz z z z l 12 cos 4 2 1 cos 5 1 4 4 5 5 5 求积分dz z e l z 1 zl 从而证明 de cos sin 0 cos 解 ieidz z e l z 22 0 证明 因积分的围线为以0 z为圆心 以 1 为半径的圆 故可令 i ez d iedz i 则 2 0 cos 2 0 sincos 2 0 sin cos 2 0 sin sin cos sindiiedeiedieide e e dz z e iii i e l z i 2 0 cos 2 0 cos sin sin cos sindedie 上式等于i 2 说明 2 cos sin 2 0 cos die 则 de cos sin 0 cos 而 2 0 cos 0 sin sinde 6 计算积分 l z zz e i 3 1 2 1 若 1 0 z 在l内 1 z在l外 2 1 z在l内 0 z 在l外 3 0 z 1 z均在l内 解 1 0 z 在l内 1 z在l外 1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 3 3 z z l z l z z e dz z z e i dz zz e i 2 1 z在l内 0 z 在l外 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 33 e z e dz d dz z z e i dz zz e i z z l z l z 3 0 z 1 z均在l内 这时 围道内有两个奇点 分别以0 z和1 z为圆心作两个小圆 分别记为 0 l 和 6 1 l 由复连通区域的柯西定理 有 10 333 1 2 1 1 2 1 1 2 1 l z l z l z dz zz e i dz zz e i dz zz e i 其中 1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 3 3 00 z z l z l z z e dz z z e i