2010年《线性代数》阶段练习题(三)答案.doc

2010年线性代数阶段练习题（三）答案一、填空题1.矩阵的特征值分别为.2.设为阶方阵，若方程有非零解，则必有一个特征值等于.3.可逆矩阵的三个特征值分别为,则的三个特征值分别为.4.设是矩阵的一个特征值，则必为矩阵的一个特征值.5.设向量与向量正交，则.6.若为正交矩阵，则.7.实对称阵的所有顺序主子式均大于零是正定的充分必要条件.8.二次型正定，则的取值范围.9.二次型的秩等于 1 .10.二次型的正惯性指数.二、选择题1.设矩阵的特征多项式为，则.2.设矩阵的特征多项式为，则.3.若矩阵与相似，则.4.设,为二阶正交矩阵使得，则.5.二次型正定，则的取值范围是.6.阶矩阵与合同，则.7.元实二次型为正定二次型，则下列结论不成立的是.8.设二次型经非奇异线性变换化为,则与.9.设矩阵其中,且,则为.10.元实二次型为正定二次型，则下列结论不成立的是.三、计算题1.给定四维向量求非零向量，使两两正交.解：令，当为方程组的非零解.与(*)对应的方程组为,令取和得到，两两正交.2.已知三阶矩阵的特征值为,求.解:，令.则.若是的特征值，就是的特征值.而,因此.3.已知矩阵相似.(1)求；(2)求可逆矩阵,使.解:相似矩阵的行列式相等，故,即有.相似矩阵的特征值相等，的特征值为,的特征值亦为,对于特征值,解线性方程组,对应方程,令取,得到特征向量.对于特征值,解线性方程组,对应方程组,令得到相应的特征向量.令,便有.4.设.(1)求的全部特征值与特征向量；(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵.解：，令，得到的特征值.对应解方程组,对应方程组,令,可得对应的特征向量.对应解方程组,对应方程组,令,可得对应的特征向量.对应解方程组.,对应方程组,令,得到对应的特征向量.令,便有.5.已知为阶正交矩阵，且，(1)求行列式的值；(2)求行列式的值.解:为正交矩阵，或等于1，或等于-1.,因此.，因此.6.给定的基,(1)将其化为的一组规范正交基；(2)求向量在规范正交基之下的坐标.解：令，,即为的一组规范正交基.7.设三阶矩阵的三个特征值为,所对应的特征向量分别为,求三阶矩阵.解:由于有，即有.令.可逆且有,于是.以下来求故.将代入(*)式，有：8.设实对称矩阵,求正交矩阵,使为对角矩阵.解:令，得到矩阵的特征值：.对应，解方程组.,对应方程组.令,得到特征向量.对应，解方程组.,对应方程.令取得到特征向量.两两正交.再规范化.令,则为正交阵,使.9.给定实对称矩阵.(1)求的全部特征值与特征向量；(2)求正交矩阵，使为对角矩阵.解：令，得到的特征值.对应解方程组.对应方程,令取得到对应于特征值所有的特征向量为：不同时为零).对应解方程组.对应方程组,令，得到对应于特征值所有的特征向量为：.将正交化令.再令.令则为正交阵，使得.10.给定二次型，将该二次型化成标准形，并写出相应的可逆线性变换.解：令，即.就把化为标准形.所用变换的矩阵:四、证明题1.阶矩阵满足：，且,证明是的特征值.证:.题设,故,是的一个特征值.2.已知为阶正交矩阵，且.证明：.其中为中元素的代数余子式.证:已知为阶正交阵，因此.又由，故,即有：因此对,都有.3.若为阶实矩阵，证明必存在可逆矩阵，使为对角阵.证:为阶实矩阵，且，故为实对称阵.由定理5.7知必存在可逆阵，使为对角阵，即为对角阵.4.若为阶正定矩阵，证明也是阶正定矩阵.证:由于是对称矩阵，对于中元素有,从而,行列式转置其值不变，,因此是对称矩阵.若是的一个特征值，存在非零向量使.是的一个特征值.当有由(*)式知是的一个特征值.为阶正定矩阵，其特征值均大于零，的特征值也全都大于零，因此是正定矩阵.5.设为阶实对称矩阵，且满足，证明为正定矩阵.证：设是的特征值，