2010年全国各地高考数学解答题按章节分类汇编——立体几何(1).doc

2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 2010 上海文数 上海文数 20 20 本大题满分 本大题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩 形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作 出 用于灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 解析 1 设圆柱形灯笼的母线长为 l 则 l 1 2 2r 0 r 0 6 S 3 r 0 4 2 0 48 所以当 r 0 4 时 S 取得最大值约为 1 51 平方米 2 当 r 0 3 时 l 0 6 作三视图略 2010 湖南文数 湖南文数 18 本小题满分 12 分 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱 CC1的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值 证明 平面 ABM 平面 A1B1M1 2010 浙江理数 浙江理数 20 本题满分 15 分 如图 在矩形ABCD中 点 E F分别在线段 AB AD上 2 4 3 AEEBAFFD 沿直线EF将 AEFV翻折成 AEFV 使平面 AEFBEF 平面 求二面角 AFDC 的余弦值 点 M N分别在线段 FD BC上 若沿直线MN将四边形 MNCD向上翻折 使C与 A重合 求线段FM的长 解析 本题主要考察空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同事考查空间想象能力和运算求解能力 解 取线段 EF 的中点 H 连结 AH 因为 AE AF及 H 是 EF 的中点 所以 AHEF 又因为平面 AEF 平面BEF 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 2 2 2 2 C 10 8 0 F 4 0 0 D 10 0 0 故 FA 2 2 22 FD 6 0 0 设n x y z 为平面 AFD的一个法向量 2x 2y 22z 0 所以 6x 0 取2z 则 0 2 2 n 又平面BEF的一个法向量 0 0 1 m 故 3 cos 3 n m n m n m A A 所以二面角的余弦值为 3 3 解 设 FMx 则 4 0 0 Mx 因为翻折后 C与A重合 所以 CMA M 故 222222 6 80 222 2xx 得 21 4 x 经检验 此时点N在线段BC上 所以 21 4 FM 方法二 解 取线段EF的中点H AF的中点G 连结 A G A H GH 因为 A E A F及H是EF的中点 所以 A HEF 又因为平面 A EF 平面BEF 所以 A H 平面BEF 又AF 平面BEF 故 A H AF 又因为G H是AF EF的中点 易知GH AB 所以GH AF 于是AF 面 A GH 所以 A GH 为二面角 ADHC 的平面角 在 Rt A GHA中 A H 2 2 GH 2 A G 2 3 所以 3 cos 3 A GH 故二面角 ADFC 的余弦值为 3 3 解 设FMx 因为翻折后 C与 A重合 所以 CMA M 而 22222 8 6 CMDCDMx 222222 A MA HMHA HMGGH 2 2 2 得 21 4 x 经检验 此时点N在线段BC上 所以 21 4 FM 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 19 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的 一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面 角 111 AACB 的大小 命题意图 本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解 考查考生的空间想象与推 理计算的能力 参考答案 19 解法一 I 连接 A1B 记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1BB1为正方形 故 A1B AB1 且 AF FB1 又 AE 3EB1 所以 FE EB1 又 D 为 BB1的 中点 故 DE BF DE AB1 3 分 作 CG AB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 又由底面 ABC 面 AA1B1B 连接 DG 则 DG AB1 故 DE DG 由三垂线定理 得 DE CD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 II 因为 DG AB1 故 CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 AB1 DG CG AC 作 B1H A1C1 H 为垂足 因为底面 A1B1C1 面 AA1CC1 故 B1H 面 AA1C1C 又作 HK AC1 K 为垂足 连接 B1K 由三垂线定理 得 B1K AC1 因此 B1KH 为二面角 A1 AC1 B1的平面角 点评 三垂线定理是立体几何的最重要定理之一 是高考的的热点 它是处理线线垂直 问题的有效方法 同时它也是确定二面角的平面角的主要手段 通过引入空间向量 用向量 代数形式来处理立体几何问题 淡化了传统几何中的 形 到 形 的推理方法 从而降 低了思维难度 使解题变得程序化 这是用向量解立体几何问题的独到之处 20102010 陕西文数 陕西文数 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形PA 平面ABCD AP AB BP BC 2 E F分 别是PB PC的中点 证明 EF 平面PAD 求三棱锥E ABC的体积 V 解 在 PBC中 E F分别是PB PC的中点 EF BC 又BC AD EF AD 又 AD 平面PAD EF 平面PAD EF 平面PAD 连接AE AC EC 过E作EG PA交AB于点G 则BG 平面ABCD 且EG 1 2 PA 在 PAB中 AD AB PAB BP 2 AP AB 2 EG 2 2 S ABC 1 2 AB BC 1 2 2 2 2 VE ABC 1 3 S ABC EG 1 3 2 2 2 1 3 20102010 辽宁文数 辽宁文数 19 本小题满分 12 分 如图 棱柱 111 ABCABC 的侧面 11 BCC B是菱形 11 BCAB 证明 平面 1 ABC 平面 11 ABC 设D是 11 AC上的点 且 1 AB平面 1 BCD 求 11 AD DC的值 解 因为侧面 BCC1B1是菱形 所以 11 BCCB 又已知BBCBABACB 1111 且 所又 CB1平面 A1BC1 又 CB1平面 AB1C 所以平面 CAB1平面 A1BC1 设 BC1交 B1C 于点 E 连结 DE 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线 因为 A1B 平面 B1CD 所以 A1B DE 又 E 是 BC1的中点 所以 D 为 A1C1的中点 即 A1D DC1 1 2010 辽宁理数 辽宁理数 19 本小题满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中 点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 证明 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为 x y z 轴正向建立空间直角坐标 系如图 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 4 分 111 1 1 0 222 CMSN 因为 11 00 22 CMSN 所以 CM SN 6 分 1 1 0 2 NC 设 a x y z 为平面 CMN 的一个法向量 则 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 9 分 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1 中 AC BC AA1 AB D 为 BB1的中点 E 为 AB 1上的一点 AE 3 EB1 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45 求二面角 A1 AC1 B1的大小 解析解析 本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识 础知识 1 1 要证明 要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线 即证明的公垂线 即证明 DEDE 与它们都垂直 由与它们都垂直 由 AE 3EB1AE 3EB1 有 有 DEDE 与与 BA1BA1 平行 由平行 由 A1ABB1A1ABB1 为正方形 可证得 证明为正方形 可证得 证明 CDCD 与与 DEDE 垂直 取垂直 取 ABAB 中点中点 F F 连结 连结 DFDF FCFC 证明 证明 DEDE 与平面与平面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直 垂直 2 2 由条件将异面直线 由条件将异面直线 AB1AB1 CDCD 所成角找出即为所成角找出即为 FDCFDC 设出 设出 ABAB 连长 求出所有能求出连长 求出所有能求出 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 20102010 江西理数 江西理数 20 本小题满分 12 分 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面 BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求点 A 到平面 MBC 的距离 2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 解析 本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形 的空间感 点到直线的距离 二面角 空间向量 二面角 平面角的判断有关知识 同时也考查了空间想象能力和推 理能力 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 所以 MO AB A B O M 共面 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所 成的角 OB MO 3 MO AB MO 面 ABC M O 到平面 ABC 的距离相等 作 OH BC 于 H 连 MH 则 MH BC 求得 OH OCsin600 3 2 MH 15 2 利用体积相等得 2 15 5 A MBCMABC VVd 2 CE 是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 点评点评 传统方法在处理时要注意到辅助线的处理 一般采用射影 垂线 平行线等特殊传统方法在处理时要注意到辅助线的处理 一般采用射影 垂线 平行线等特殊 位置的元素解决位置的元素解决 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面 BCD 则 MO 平面BCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空 间直角坐标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 设 nx y z 是平面 MBC 的法向量 则BC 1 3 0 0 3 3 BM 由nBC 得30 xy 由nBM 得 330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 则距离 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面 BCD 的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 点评点评 向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于 z y x M D C B O A z A B C D E F H 建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算代替分析 起到简化的作用 但计建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算代替分析 起到简化的作用 但计 算必须慎之又慎算必须慎之又慎 2010 安徽文数 安徽文数 19 本小题满分 13 分 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 命题意图 本题考查空间线面平行 线面 垂直 面面垂直的判断与证明 考查体积的 计算等基础知识 同时考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 解题指导 1 设底面对角线交点为 G 则可以通过证明 EG FH 得FH 平面 EDB 2 利用线线 线面的平行与垂直 关系 证明 FH 平面 ABCD 得 FH BC FH AC 进而得 EG AC AC 平面EDB 3 证明 BF 平面 CDEF 得 BF 为四面体 B DEF 的高 进而 求体积 1 1 2 1 2 ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABE