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知识网络 本章归纳整合 1 抽样方法本章学习了简单随机抽样 系统抽样和分层抽样三种常用的抽样方法 它们的共同的特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的可能性相等 体现了这些抽样方法的客观性和公平性 其中简单随机抽样是最简单 最基本的抽样方法 在进行系统抽样和分层抽样时都要应用到简单随机抽样方法 一般地 当总体中个体数较多时 常采用系统抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 常采用分层抽样 通过这一部分的学习 学会从总体中抽取样本 并理解随机抽样的必要性和重要性 要点归纳 2 用样本估计总体用样本估计总体一般分成两种 一种是用样本的频率分布估计总体的分布 另一种是用样本的数字特征 如平均数 标准差等 估计总体的数字特征 1 关于总体分布估计 总体分布反映了总体在各个范围内取值的频率 常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布 在实际的一些问题中 由于总体分布通常是不易知道的 我们在解决问题时 往往是用样本的频率分布去估计总体分布 一般地 样本容量越大 这种估计也就越精确 有时用频率折线图或茎叶图 也能直观地反映出样本数据的特点 进而去估计总体 2 关于总体特征数 样本数据的平均数反映了样本数据的集中趋势 但不能很好地反映数据集中与分散的程度 当几组数据的平均数相同时 就需要用标准差或方差来反映它的稳定性 从而通过样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 3 两变量间的关系 散点图及回归直线方程我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系 还可利用最小二乘法求出回归直线方程 把样本数据表示的点在直角坐标系中作出 构成的图叫做散点图 从散点图上 我们可以分析出两个变量是否存在相关关系 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 直线方程叫做回归直线方程 抽样方法分为简单随机抽样 系统抽样和分层抽样 其中简单随机抽样又分为抽签法和随机数表法 是最基本的抽样方法 系统抽样和分层抽样一般都可转化为简单随机抽样 三种抽样方法的共同特点是在抽样的过程中 每个个体被抽到的可能性是相同的 体现了这些抽样方法的客观性和公平性 当总体的个数较少时 常采用简单随机抽样 当总体的个数较多 且个体差异不明显时 常采用系统抽样 当总体是由差异明显的几部分组成时 常采用分层抽样 专题一抽样方法的选取及应用 例1 某单位有职工160人 其中业务人员96人 管理人员40人 后勤服务人员24人 为了了解职工的某种情况 要从中抽取一个容量为20的样本 试用三种抽样方法分别进行抽样 写出抽样过程 分析根据三种抽样方法的特点和步骤进行抽样即可 在采用简单随机抽样法抽样时 一般既可以采用抽签法 又可以采用随机数表法 1 简单随机抽样法 编号 把160人按照1 160号随机进行编号 制签 用形状 大小等完全相同的材料制成160个签 搅拌均匀 将这160个签放在同一个箱子里 并搅拌均匀 抽签 从箱子里每次随机地抽取一个签 连续抽取20次 获取样本 将总体中与抽到的20个签的编号一致的个体取出 即得到所要抽取的样本 用随机数表法也可以 解 2 系统抽样法 将160人按1 160随机编号 按编号的顺序平均分成20组 各组编号为1 8 9 16 153 160 先在第一组中用抽签法抽出一个个体 编号为m 1 m 8 再从其余组中抽取编号分别为m 8 m 16 m 19 8的个体 这样由这20个个体组成了总体的一个样本 3 分层抽样法 按照业务人员 管理人员 后勤服务人员分成三层来抽样 每一层的抽样比例都是20 160 1 8 所以从业务人员 管理人员 后勤服务人员中用抽签法分别抽取12人 5人 3人 把他们合在一起就组成了一个样本 用样本的分布规律来估计总体的分布 这是统计的基本思想 样本的频率分布表 频率分布直方图和折线图 茎叶图是必须熟练掌握的 在此基础上 可以由频率分布折线图反映的数据变化趋势来近似得出总体分布的密度曲线 以此来估计总体的分布情况 专题二用样本的频率分布估计总体分布 例2 抽查100袋洗衣粉 测得它们的质量 单位 g 如下 494498493505496492485483508511495494483485511493505488501491493509509512484509510495497498504498483510503497502511497500493509510493491497515503515518510514509499493499509492505489494501509498502500508491509509499495493509496509505499486491492496499508485498496495496505499505496501510496487511501496 1 列出样本的频率分布表 2 画出频率分布直方图及频率分布折线图 3 估计质量在494 5 506 5g之间的频率以及质量不足500g的频率 分析列频率分布表需要找最大值 最小值 分组应恰当选择组距 一般分5 12组 2 频率分布直方图及频率分布折线图如下 样本的数字特征分为两大类 一类是反映样本数据集中趋势的特征数 例如平均数 也叫均值 另一类是反映样本波动大小的特征数 例如方差和标准差 通常我们用样本的平均数和方差 标准差 来近似代替总体的平均数和方差 标准差 从而实现对总体的估计 专题三用样本的数字特征估计总体的数字特征 例3 甲 乙两名运动员在相同条件下各射靶10次 进行射击水平测试 每次命中的环数分别是 甲 86786591047乙 6778678795 1 分别计算以上两组数据的平均数 2 分别求出两组数据的方差 3 根据计算结果估计一下两名运动员的射击情况 你认为应该选拔哪位运动员参加射击比赛 对两个变量进行研究 通常是先作出两个变量之间的散点图 根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系 如果是 就可以应用最小平方法求线性回归方程 由于样本反映总体 所以可以利用所求的线性回归方程 对这两个变量确定的总体进行估计 即根据一个变量的取值 预测另一个变量的结果 散点图和求线性回归方程是重点 要熟练掌握 在考试中 计算回归方程系数的公式一般都预先给出来 所以公式不需要记忆 只要理解公式中各个式子的含义就可以 专题四线性回归方程及应用 例4 某产品的广告支出x 万元 与销售收入y 万元 之间有下表所对应的数据 1 画出表中数据的散点图 2 求出y对x的线性回归方程 3 若广告费为9万元 则销售收入约为多少万元 2 观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近 列出下列表格 以备计算a b 简单随机抽样是统计学的基础 在高考中很少独立考查 但要重视对概念的理解 系统抽样在高考中主要是以填空题的形式出现 是容易题 学习时需要理解 按照一定的规则 的含义 找到抽样的本质 分层抽样是抽样方法中的热点问题 也是常考内容 一般是以实际问题为背景 综合考查学生应用基础知识解决实际问题的能力 高考试题中一般是以填空题的形式出现 命题趋势 总体分布 总体特征数的估计是统计学的主要内容 是继抽样方法之后的重要步骤 也是统计的核心 要重视对统计图表 统计特征数等概念的理解 这部分知识在高考中主要是以填空题的形式出现 也可能在解答题中考查一个小问题 是容易题或中档题 直方图 茎叶图 方差 标准差是热点问题 也是常考内容 同时对线性回归方程的理解和应用在近几年的高考中涉及到的省份较多 要引起重视 设问方式一般是以实际问题为背景 综合考查学生应用基础知识解决实际问题的能力 高考真题1 2012 江苏 某学校高一 高二 高三年级的学生人数之比为3 3 4 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本 则应从高二年级抽取 名学生 答案15 答案 答案n m 4 2012 安徽改编 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶5次 两人成绩的条形统计图如图所示 则下列说法正确的是 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案 5 2011 全国新课标文 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品 现用两种新配方 分别称为A配方和B配方 做试验 各生产了100件这种产品 并测量了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 请分别估计用A配方 B配方生产的产品的优质品率 6 2011 北京理 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵树 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以X表示 如果X 8 求乙组同学植树棵树的平均数和方差 7 2011 广东文 在某次测验中 有6位同学的平均成绩为75分 用xn表示编号为n n 1 2 6 的同学所得成绩 且前5位同学的成绩如下 求第6位同学的成绩x6 及这6位同学成绩的标准差s 8 2011 辽宁理 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成n小块