2010年高三数学高考易错典型习题专练：数列2.doc

高考数学易错典型习题专练：数列7、四川理22. （本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设则当n为奇数时，设则对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4.14分8、山东理（20）（本小题满分12分）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求的值；（11）当时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时, ,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.9、广东理21（本小题满分14分）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：解：曲线是圆心为,半径为的圆, 切线: （）依题意有,解得,又, 联立可解得,. （）, 先证:, 证法一：利用数学归纳法 当时, ,命题成立; 假设时,命题成立,即, 则当时, ,故 当时,命题成立 故成立.证法二：，下证 不妨设,令,则在上恒成立，故在上单调递减,从而,即.综上, 成立.10、江西理22（本小题满分14分）各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 .k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得所以故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有故对， 恒成立.又 ,注意到,解上式得取,即有 . 11、上海（理）（23）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。解 （1）由， 2分 整理后，可得，为整数， 不存在，使等式成立。 5分（2）解法一 若即， （*）（i）若， 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。7分（ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即， ，对都成立，12、湖北理19、（本小题满分13分）已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。解析：（I）在中，令n=1，可得，即当时，. 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 于是确定的大小关系等价于比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时13、湖南理21（本小题满分13分） 对于数列, 若存在常数, 对任意的, 恒有,则称数列为数列.()首项为, 公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；()设是数列的前项和. 给出下列两组论断：组：数列是数列， 数列不是数列；组：数列是数列，数列不是数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；() 若数列, 都是数列，证明：数列也是数列.解（）设满足题设的等比数列为，则于是，因此因为，所以即故首项为，公比为的等比数列是数列（）命题1若数列是数列, 则数列是数列此命题为假命题 事实上，设，易知数列是数列但，由的任意性知，数列不是数列命题2：若数列是数列，则数列是数列此命题为真命题事实上，因为数列是数列，所以存在正数，对任意的，有，即于是，所以数列是数列（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）（）若数列， 是数列, 则存在正数，, 对任意的, 有；注意到 .同理，. 记，则有 .因此 .故数列是数列.14、陕西理22）已知数列满足， .（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；（2）证明：。15、江苏17设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数