常见二元与多元分式函数最值求解策略.doc

常见二元与多元分式函数最值问题的求解策略 高中数学组 何勇 一元，二元甚至多元函数的最值问题在数学高考和数学竞赛中屡见不鲜，此类题目往往由于出题者的独具匠心，使得学生很难直接把握题目的特征。求解此类最值问题主要有两类方法一是函数方法，即将问题转化为二次函数，三角函数，分式函数的最值问题，二是不等式的方法，即使用配凑、拆分、待定系数等手段，以下简举几例，以作探讨。1.直接利用不等式求解类型 例1（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）A2 B C4D5分析：因为当且仅当，且，即时，取“=”号，故选c。 w.w.w例2. （2008江苏卷11）已知，则的最小值 分析：直接消元可得，当时取等，所以的最小值为3。点评：在近几年的高考数学中，利用均值不等式求解分式最值类型题目较常见，处理的方式也较直接，一是直接用均值不等式，一是直接消元。2.齐一次分式型结构例3. ，则的最小值为 。分析：为的轮换对称式，猜想时的最小值为，另具有齐一次分式的结构，尝试是否可以将转换成一次分式函数的最值法一：，可得，在上单调递增，当时，函数有最小值；法二：由于具有齐一次分式的结构，尝试将进行变形，以期出现倒数结构，再利用均值不等式求解最值，考虑在分子上配凑分母可得，所以有最小值，当即时取得。点评：在此例中，明显的法二更加具有技巧性，需要学生敏锐的观察出两个分母与分子的关系。3.二元齐二次分式型结构先看一个较简单的题目：例4.（2011镇江高三期末改）不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 。法一：先分离参数，恒有，可见为齐二次分式型，所以，易知时取等。法二：同法一恒有，注意观察分母中的和分子中的“3”，将“3”进行拆分，易知时取等。再看一个较困难的：例5（2011湖北重点中学二联）对一切的值恒为非负实数，则的最小值为 。分析：由题意恒有，首先由于，不可能为正常函数，所以，可得，由问题结构将分子中的进行放缩可得，问题则转化为求解的最小值。法一：，可得，当时取得。法二：，类似于问题一的分析合理“配凑”，当时取得。点评：以上三问均具有齐次分式的结构，法一将问题转化为分式型函数求最值的模式，解答较为直接；而法二对学生的能力提出了更高的要求，特别是在将问题如何转化为“积定”与“和定”结构时，需要学生对代数式进行合理的拆分、配凑。4.二元或多元高次分式型结构例6.（2010上海新知杯11第（2）问改）若实数使得对于任意实数，不等式都成立，求的最大值。分析：由分式结构考虑将进行拆分，待定常数，使得，令，解得，故，可得的最大值为，当时取得。点评：在此例中，解题时较明显的感觉应将分子进行“配凑”，但如何配凑以期出现分母直接观察是比较困难的，考虑待定系数的手段。练习：（1）对一切正实数x，y恒成立，实数a的取值范围为 。提示：同问题二，答案：（2）（2010高考重庆理数）已知则的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 提示：由解出代入消元变成二次分式型函数求解答案：（3）（2011重庆一中高一期中）设二次函数的值域为，并且恒成立，则的最小值为 。提示：由