高数测试题(多元函数微分)含答案.pdf

1 高数高数测试题测试题六六 多元函数微分部分 多元函数微分部分 答案答案 一选择题 每小题 4 分 共 20 分 1 0 0 3 lim 1 1 x y xy xy B A 3 B 6 C 不存在 D 2 函 数 zf x y 在点 00 xy的两个偏导数都存在的函数在该点可微的 A A 必要非充分条件 B 充分非必要条件 C 充要条件 D 无关条件 3 曲线 22 4 4 xy z y 在点 2 4 5 处的切线与 x 轴正向所成的倾角是 C A 2 B 3 C 4 D 6 4 曲面3 z ezxy 在点 2 1 0 处的切平面方程为 C A 240 xy B 240 xyz C 240 xy 250 xy 5 已知函数 x y x y u x yxyxyt dt 其中函数 具有 二阶导数 具有一阶导数 则必有 B A 22 22 uu xy B 22 22 uu xy C 22 2 uu x yy D 22 2 uu x yx 二 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 函数 22 ln 1zyxyx 的定义域为 22 0 1 x y yxyx 2 2 设 1 arcsin x f x yxy y 则 1 x fx 3 由方程 1 222 coscoscos1xyz 所确定的函数 zz x y 的全微分 dz sin 2 sin 2 sin 2 x dxy dy z 4 设 f x y在 a b处的偏导数存在 则 0 lim x f ax bf ax b x 2 x fa b 5 设函数 222 1 61218 xyz u x y z 单位向量 1 1 1 1 3 n 则 1 2 3 u n 3 3 三 解答题 1 8 分 设函数 22 cos sinzu vuv uxy vxy 求 zz xy 解 22 2 22 3333 2 cos 2 sin 3cossin cossin 2 sin 2 cos 2cossin cossin sincos zzuzv uvvyuuvy xuxv x xyyyy zzuzv uvvxyuuv xy yuyv y xyyyyxyy 2 8 分 设函数 y zx sin cosxt yt 求 dz dt 解 1 1 cos2 cosln sin sin tln sin yy t dzz dxz dy yxtxxt dtx dty dt tcott 3 3 8 分 设 fx 连续 1 zf xyyf xy x 求 2z x y 解 2 2 1 11 zy f xyfxyyfxy xxx z fxyfxyxyfxyfxyyfxy x yxx fxyy fxyfxy 4 8 分 设函数 zz x y 由方程 z xyez 所确定 求 2z x y 解 令 z F x y zezxy 则 22 23 1 1 1 1 1 1 x z z y z z zz zz zz Fzy xFe F zx yFe z eye zexyey x yee 5 8 分 设函数 zz x y 由方程 0 zz F xy yx 确定 其中 F 具 有一阶连续偏导数 求dz 解一 利用隐函数的求导公式 令 zz G x y zF xy yx 则 12 2 12 2 1212 1111 y x zz z z FF FF G Gzzy x xGyG FFFF yxyx 4 12 2 12 2 1212 1111 z z FF FF y x dzdxdy FFFF yxyx 解二 利用全微分的形式不变性 对方程的两边同时取微分 12 122 22 0 0 zz Fd xF d y yx ydzzdyxdzzdx FdxFF dyF yx 解出dz即可 6 10 分 求内接于椭球面 222 222 1 xyz abc 的最大体积的长方体 解 设长方体的长 宽 高分别为 2 2 2xyz 则内接长方体的体积为 8 0 0 0Vxyzxyz 令函数 222 222 2 2 2 222 222 1 2 0 2 0 2 0 1 x y z xyz F x y zxyz abc x Fyz a y Fxz b z Fxy c xyz abc 解得 333 abc xxx 因为题目本身存在最大值 并在区间内部达到 且此点又是惟一的驻点 即为所求 最大体积为 max 8 3 9 Vabc 7 10 分 设 zf x y 在 点 a a的 某 个 邻 域 内 可 微 已知 5 a aa a ff f a aabc xy 记 xf x f x f x x 1 计算 a 2 计算 2 x a d x dx 解 1 af a f a f a af a f a af a aa 2 22 2 2 x a dd xxxxaa dxdx 因为 xf x f x f x x 令 uf x v vf x yyx dffuffffv dx xuxxuxv x ffffffy xuxvxyx 当xa 时 x ax a ya vf a aa u