连续型随机变量及其概率密度PPT课件.ppt

第四节连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度函数概率密度函数的性质三种重要的连续型随机变量 则称X为连续型随机变量 称f x 为X的概率密度函数 简称为概率密度 一 连续型随机变量及其概率密度函数 有 连续型随机变量的分布函数在上连续 ContinuousRandomVariable ProbabilityDensityFunction 二 概率密度函数的性质 1o 2o 对于任意实数x1 x2 x1 x2 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率 若f x 在点x处连续 则有 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 若x是f x 的连续点 则 对f x 的进一步理解 若不计高阶无穷小 有 表示随机变量X取值于的概率近似等于 在连续型r v理论中所起的作用与 在离散型r v理论中所起的作用相类似 注意 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 a 1 连续型r v取任一指定实数值a的概率均为0 即 注意 这是因为 当时 得到 由P B 1 不能推出B S 由P A 0 不能推出 2 对连续型r vX 有 1 均匀分布 TheUniformDistribution 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 X U a b 三 三种重要的连续型随机变量 若r vX的概率密度为 记作 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间 即乘客的候车时间等 例2某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 指数分布常用于各种 寿命 分布的近似 例如 电子元件的寿命 轮胎的寿命 电话的通话时间等 2 指数分布 The Negative ExponentialDistribution 若r vX具有概率密度 为常数 则称X服从参数为的指数分布 若X服从参数为的指数分布 则其分布函数为 当时 当时 2020 3 19 21 3 正态分布 TheNormal Gaussian Distribution 若连续型r vX的概率密度为 X N 2 正态分布是概率论中非常重要的分布 可以用正态分布来描述的实例非常多 例如 各种测量的误差 人的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线的抗拉强度 热噪声电流强度 学生们的考试成绩等 正态分布的重要性可以由以下情形加以说明 1 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响 但其中任何一个因素都不起决定性作用 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 2 正态分布有许多良好的性质 这些性质是其它许多分布所不具备的 3 正态分布可以作为许多分布的近似分布 则有 曲线关于轴对称 函数在上单调增加 在上 单调减少 在取得最大值 x 为f x 的两个拐点的横坐标 当x 时 f x 0 f x 以x轴为渐近线 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 若固定 的值而 变化时 则密度曲线的形状不变 它沿着x轴方向平行移动 若固定 的值而 变化时 则密度曲线的位置不变 而其形状将改变 当 大时曲线平缓 当 小时曲线陡峭 正态分布的分布函数 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 标准正态分布 StandardNormalDistribution 的性质 标准正态分布的重要性在于 任何一个的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 定理1 证 Z的分布函数为 则有 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 于是 书末附有标准正态分布函数数值表 有了它 可以解决一般正态分布的概率计算查表 正态分布表 当x 0时 表中给的是x 0时 x 的值 若 若X N 0 1 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 3准则 将上述结论推广到一般的正态分布 在统计学上称作 3准则 N 0 1 X N 2 时 标准正态分布的上分位点 设 若数满足条件 看一个应用正态分布的例子 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 例 解 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 设车门高度为hcm 按设计