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1 金融工程与风险管理 第4章衍生金融工具的定价 1 2 4 1远期与期货的定价 一个农民想把他的牛卖掉 若t时刻牛价格为St 如果他签订一个在T T t 时刻卖牛的期货合同 在t时刻这个牛期货应该如何定价 若不计其他因素 若牛能够在今日卖掉 获得现金 以无风险利率投资就获得利息 3 定理4 1 现货 期货平价定理 假设期货的到期时间为T 现货价格为S0 则远期价格F0满足F0 S0erT 证明 反证法 我们可以采用套利定价的方法来证明上述结论 假设F0 S0erT 考虑下述投资策略 投资者在当前 0时刻 借款S0用于买进一个单位的标的资产 longposition 借款期限为T 同时卖出一个单位的远期合约 shortposition 价格为F0 在远期合约到期时 T时刻 投资者用持有的标的资产进行远期交割结算 因此获得F0 偿还借款本息需要支出S0erT 4 因此 在远期合约到期时 他的投资组合的净收入为F0 S0erT 而他的初始投入为0 这是一个无风险的套利 反之 若F0 S0erT 即远期价格小于现货价格的终值 则套利者就可进行反向操作 即卖空标的资产S0 将所得收入以无风险利率进行投资 期限为T 同时买进一份该标的资产的远期合约 交割价为F0 在T时刻 套利者收到投资本息S0erT 并以F0现金购买一单位标的资产 用于归还卖空时借入的标的资产 从而实现S0erT F0的利润 上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛盾 故假设不成立 则F0 S0erT 证毕 5 如果这只牛在10天后交割 而这只牛在此期间会产下一头小牛 假定这只小牛的现值为I 那牛的远期价格该是多少 如果这只牛在交割后才会产下一头小牛 那牛的远期价格该是多少 6 如果远期的标的资产提供确定的红利 假设红利是连续支付的 红利率为q 由于具有红利率q 该资产的价格才为S0 若没有这个红利存在 则该资产的价格为 故有红利率q的资产 当前价格为S0 等价于价格为的无红利资产 由无红利的资产的定价公式可得 7 两个推论 可生息资产的远期价格 以上证明的是标的资产本身不带来利息的远期价格 如小麦远期 但是 对于持有期间可以生息的资产 则需要对公式进行调整 如债券远期 标的资产在远期合约到期前获得收益的现值为I 则 8 证明 从单利到复利 注意 债券的贴现率不等于无风险收益率 9 如果远期的标的资产提供确定的红利 假设红利是连续支付的 红利率为q 由于具有红利率q 该资产的价格才为St 它等价于价格为 的无红利资产 由无红利的资产的定价公式可得 10 敏感性分析 注意 1 风险因素有两个 现货价格与无风险利率 2 由于是指数函数 敏感性方程为非线性方程 11 例4 1 假设2年期即期年利率 连续复利 下同 为10 5 3年期即期年利率为11 本金为100万美元的2年 3年远期利率协议的合同利率为11 请问理论上 远期利率应为多少 该协议利率合理吗 该远期利率协议的价值是多少 12 13 由此可见 由于协议利率低于远期利率 理论利率 这实际上给了多方 借款方 的优惠 故合约价值为正 反之 当协议利率高于远期利率的时候 空方获利 这意味着远期合约的价值为负 远期合约的价值总是从多方的视角来看的 14 4 2期货合约 远期的组合 三个制度性特征 逐日盯市 保证金要求 期货清算所 逐日盯市将履约期限缩短为1天 若7月1日购买了1份83天的期货合约 当日期货价格为0 61美元 次日为0 615美元 这等价于7月1日购买了一份期限为83天的远期合约 其交割价格为0 61美元7月2日远期合约以0 615美元被清算 并被一份期限为82天 交割价格为0 615美元的新的远期合约所代替 思考 远期能否看成是期货的组合 15 讨论 期货与远期的差异 假定一个5000蒲式耳小麦期货和远期只有3日期限 多方损益 16 讨论 期货与远期的差异 如果利率固定 则期货合约和远期合约等价 CIR定理 如果利率浮动 则期货与远期可能不等价 考虑例子中 2日的利息远高于3日 结果如何 显然 多方偏好期货合约 则期货合约价值上升 反之则反 17 一般来说 远期与期货存在一定的差异 如果期货和远期的到期时间只有几个月 那么 在大多数情况下 二者价格的差异常常小到可以忽略不计 随着到期时间的延长 二者价格的差异可能变得比较显著 若标的资产价格与利率正相关 则期货合约价值高于远期 反之则反利率上升 标的资产价格上升 多头获利实现 盯市 再投资收益增加利率下降 标的资产价格下降 期货多头亏损 以低成本融资 18 CIR定理 期货与远期等价 CIR定理 如果利率固定 Constant 那么远期价格与期货价格相同 证明的思路 期货是一连串不断更新的远期 根据无套利定价的原理 可以让远期和期货相互复制 CIR的思路 以期货组合复制远期 由远期推断期货 远期 到期日结算 中间没有现金流 期货 每日结算 每日都有现金流 19 证明 byCox Ingersoll Ross 假设期货合约的有效期为n天 用Fi表示第i天末 0 i n 1 的期货价格 表示每天的无风险利率 常数 不计交易费用 考虑下述投资策略第0天末 即合约开始的时候 持有e 单位的期货多头第1天末把头寸增加到e2 第2天末把头寸增加到e3 第n 1天末把头寸增加到en 20 21 也可以作如下分析 1 在第0天末 第1天初 买进e 单位的期货 2 在第1天末 第2天初 把头寸增加到e2 结清上一日的e 单位 3 在第2天末 第3天初 把头寸增加到e3 结清上一日的e2 单位 n 在第n 1天末 第n天初 把头寸增加到en 单位 结清上一日的e n 1 单位 22 第2天末盈亏的现值 第1天末盈亏的现值 第i天末盈亏的现值 23 整个投资策略 在n天末的价值为 第i天末盈亏的终值 相当于持有en 单位的远期 2020 3 19 24 25 下面 以无套利分析方法来给出远期 期货等价证明 考虑两种投资策略策略1 构建包含两种资产的组合1 0时刻买进一个面值为F0的无风险债券 n时刻卖出 投资上述的期货组合T时刻 组合1价值为 注意 初始投资仅为F0 26 策略2 构建资产组合2假设第0天的远期价格为G0 则在无风险债券上投资G0第0天末买进en 单位的远期合约在T时刻 组合的价值为 注意 初始投资仅为G0 27 由于期末两个组合的价值相等 即 则初始投资额必须满足 因此 期货价格等于相同期限的远期价格 期货仅仅是远期的标准化 远期价格的计算公式适用于期货 问题 期货合约的价值呢 28 例子 外汇远期 期货 风险估计 假设一家美国公司持有3个月后到期的 以1500万美元兑换1000万英镑的远期合约 从美国公司的角度分析其风险 假设当前时刻t为1996年5月20日 要预测5月21日的所有可能情形 1 识别风险因子 t 美元 英镑 英镑利率 美元利率 英镑 美元即期汇率 29 2 市场因子预测5月21日合约的可能值 样本区间1995年12月29日 1996年5月20日 100个交易日 30 4 3交叉套期保值 利用现货价格和期货价格变化的相关性 通过在期货市场和现货市场的相反操作来使它们的价格变化相互抵消 从而消除现货投资的风险 例如以股指期货对股票指数基金进行套期保值问题 如果要保值的股票组合与指数组合不同 如何进行套期保值 交叉套期保值 当要保值的现货与期货合约的标的资产的波动不完全同步时 需要确定合适的套期保值比率 31 套头保值比率h 对1份现货资产的多头 空头 头寸 要用h份期货的空头 多头 进行套期保值 由此构造的套期保值组合为 1份现货资产的多头 h份期货合约的空头在某个t时刻 该组合的价值为 32 套期保值模型 若已知 套期保值者的目标是使组合的方差最小化 则有 33 最优套头比h 使得套期保值工具头寸与现货头寸构成的投资组合风险最小的套头比h 现货工具与套期保值工具的相关系数的平方称为主导系数 或决定系数 基差风险 若套期保值不能完全消除价格风险 则投资者还必须承担剩余的风险 把在采取套期保值措施以后剩余的风险称为基差 basic 风险 34 某个基金经理希望利用S P500指数期货对他管理的股票基金进行为期3个月的套期保值 但是该组合只包含10种股票 故组合价值变化与指数的变化不能保持完全一致 故需要计算套期保值比率 基金经理应卖出11份的期货合约 才能对组合进行保护 35 4 4互换定价及其风险因子 考虑一个2003年9月1日生效的3年期的利率互换 名义本金是1亿美元 B公司同意支付给A公司年利率为5 的固定利息 同时A公司同意支付给B公司以LIBOR计算的浮动利息 互换在每隔6个月交换一次 则每6个月 36 利率互换中B公司的现金流量表 百万美元 浮动利率都是在期初确定 37 利率互换的分解 1 远期模式 期货可能每天都有资金流动 有效期只有1天 互换到各个支付期限时才有资金流动 远期只有一次资金流动 互换介于远期和期货之间 它也是远期合约的组合 上述的远期可以看成6个远期的组合 2 债券模式 利率互换可以看成是两个债券现金流的组合 浮动利率债券vs 固定利率债券 38 利率互换的分解 债券模式 互换 B公司同意支付给A公司年利率为5 的固定利息 同时A公司同意支付给B公司以LIBOR计算的浮动利息 互换在每隔6个月交换一次 可以看成每半年支付利息的两个债券1 B公司按LIBOR的利率 贷款期初 借给A公司1亿美元 即A向B发行浮动利息债券 2 A公司按5 的年利率借给B公司1亿美元 B向A发行固定利率债券 39 利率互换的定价 1 定义 互换合约中分解出的固定利率债券的价值 互换合约中分解出的浮动利率债券的价值 那么这个互换的价值就是 40 浮动利率债券的价值 在浮动利率债券支付利息后的那一刻 浮动利率债券的价值为其本金L 假设利息下一支付日应支付的浮动利息额为 这是已知的 那么在利息支付那一刻 浮动利率债券的价值为 在我们的定义中 若距下一次利息支付日还有的时间 那么当前时刻浮动利率债券的价值应该为 41 t1 T1的利率与0时刻确定的0 T1的利率不同 因此 不能简单用0时刻的利率来表示未来的利率 42 在每个付息周期 起点的价格 面值 终点的价格 面值 利息 其余时刻由市场利率决定其价格 由此可以得到两个特例 43 总结 互换的风险 债券模式 互换可以看成两个债券的组合 根据久期和凸性可线性加权的原理 由债券的敏感度可以计量互换的敏感度 远期模式 互换是有限个远期的组合 分别计算有限个远期的敏感度 即可得到互换的敏感度 44 例4 2 假设在一笔互换合约中 某一金融机构支付6个月期的LIBOR 同时收取8 的年利率 半年计一次复利 名义本金为1亿美元 互换还有1 25年的期限 3个月 9个月和15个月的LIBOR 连续复利率 分别为10 10 5 和11 上一次利息支付日的6个月LIBOR为10 2 半年计一次复利 在这个例子中 因此 45 课外阅读文献 Cox J C Ingersoll J E Ross S A theRelationshipbetweenForwar