直线和抛物线的位置关系PPT课件.ppt

直线和抛物线的位置关系 1 一 直线和抛物线的位置关系 方程组两组解 相交 方程组没有解 相离 方程组一组解 相切 若消元得到一次方程 直线和抛物线的对称轴平行或重合 为相交关系 若消元得到二次方程 则 思考 只有一个交点一定是相切吗 2 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 3 例1求过定点P 0 1 且与抛物线只有一个公共点的直线的方程 综上所述 所求直线方程是x 0或y 1或 4 练习 当k为何值时 直线y kx 1与抛物线 1 相交 2 相切 3 相离 解 由方程组 消去y 并整理得 当K 0时 该方程是一元二次方程 所以 综上所述 当k 1时直线和抛物线相交且k 0时交于一点 当k 1时 直线和抛物线相切 当k 1时直线和抛物线相离 当k 0时 直线方程为y 1 与抛物线交于一点 5 例2 在抛物线上求一点 使它到直线2x y 4 0的距离最小 解 设P x y 为抛物线上任意一点 则P到直线2x y 4 0的距离 此时y 1 所求点的坐标为P 1 1 当且仅当x 1时 6 另解 观察图象可知 平移直线至与抛物线相切 则切点即为所求 联立得 设切线方程为2x y C 0 由得C 1 又由 得x 1 y 1 故所求点的坐标是 1 1 点评 此处用到了数形结合的方法 x y O p 7 1 过点 0 2 与抛物线只有一个公共点的直线有 A 1条 B 2条 C 3条 D 无数多条 C 互动练习 8 2 在抛物线y2 64x上求一点 使它到直线 4x 3y 46 0的距离最短 并求此距离 分析 抛物线上到直线 距离最短的点 是和此直线平行的切线的切点 y x y2 64x4x 3y 46 0 解 无实根 直线与抛物线相离 设与4x 3y 46 0平行且与y2 64x相切的直线方程为y 4 3x b L P 9 则由 y 4 3x by2 64x 消x化简得y2 48y 48b 0 482 4 48b 0 b 12 切线方程为 y 4 3x 12 y 4 3x 12y2 64x 解方程组 得 x 9y 24 切点为P 9 24 切点P到 的距离d 抛物线y2 64x到直线 4x 3y 46 0有最短距离的点为P 9 24 最短距离为2 10 11 12 二 抛物线的焦点弦性质 例1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 1 AB x1 x2 p 2 通径长为2p 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 4 若直线AB的倾斜角为 则 AB 2p sin2 5 以AB为直径的圆与准线相切 6 焦点F对A B在准线上射影的张角为90o 13 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 1 AB x1 x2 p 2 通径长为2p 14 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 5 以AB为直径的圆与准线相切 故以AB为直径的圆与准线相切 15 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 6 焦点F对A B在准线上射影的张角为90o 16 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 证明 思路分析 韦达定理 17 18 F 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 法3 利用性质焦点F对A B在准线上射影的张角为90 19 代入抛物线得y2 m s 练习 1 若直线过定点M s 0 s 0 与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 求证 x1x2 s2 y1y2 2ps 证明 设AB的方程为 m s m 2 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 且有x1x2 s2 y1y2 2ps 求证 直线过定点 s 0 s 0 证明 20 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 则直线过定点M s 0 s 0 x1x2 s2 y1y2 2ps 1 M为焦点 即过 p 2 0 x1x2 p2 4 y1y2 p2 2 M过 p 0 x1x2 4p2 y1y2 4p2 x1x2 p2 y1y2 2p2 3 M过 2p 0 4 M过 3p 0 x1x2 9p2 y1y2 6p2 5 M过 抛物线对称轴上的重要结论 21 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 4 若直线AB的倾斜角为 则 AB 2p sin2 证明 思路分析 AB AF BF 思考 焦点弦何时最短 过焦点的所有弦中 通径最短 22 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 23 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 1 AO交准线于C 则直线CB平行于抛线的对称轴 24 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 2 过B作BC 准线l 垂足为C 则AC过原点O共线 2001年高考题 25 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 二 抛物线中的直角三角形问题 26 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 解答 1 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 OA OB kOAkOB 1 x1x2 y1y2 0 y12 2px1 y22 2px2 y1 0 y2 0 y1y2 4p2 x1x2 4p2 27 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 2 求证 直线AB过定点 解答 2 y12 2px1 y22 2px2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 AB过定点T 2p 0 28 同理 以代k得B 2pk2 2pk 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 3 求弦AB中点P的轨迹方程 即y02 px0 2p2 中点M轨迹方程y2 px 2p2 3 设OA y kx 代入y2 2px得 k0 29 4 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 4 求 AOB面积的最小值 30 5 法一 设M x3 y3 则 例3 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 由 1 知 y1y2 4p2 整理得 x32 y32 2px3 0 点M轨迹方程为x2 y2 2px 0 去掉 0 0 31 M在以OT为直径的圆上 点M轨迹方程为 x p 2 y2 p2 去掉 0 0 评注 此类问题要充分利用 2 的结论 OMT 90 又OT为定线段 法二 AB过定点T 2p 0 7 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 5 求O在AB上的射影M轨迹方程 32 2020 3 19 33 小结 在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略 因此 在求出曲线方程之后而仔细检查有无 不法分子 掺杂其中 应将其剔除 另一方面又要注意有无 漏网之鱼 逍遥法外 应将其找回 34 四 点与抛物线 点P x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系及判断方法 1 点在抛物线外 2 点在抛物线上 3 点在抛物线内 y02 2px0 0 y02 2px0 0 y02 2px0 0 35 解 36 37 38 39 l1 l2 例题5 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 分析 1 如何选择适当的坐标系 2 能否判断曲线段是何种类型曲线 3 如何用方程表示曲线的一部分 40 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 l1 l2 解法一 由图得 曲线段C的方程为 即抛物线方程 建立如图所示的直角坐标系 原点为O 0 0 O 41 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 l1 l2 解法二 曲线段C的方程为 建立如图所示的直角坐标系 原点为O 0 0 O 42 y x B A M N Q 曲线段C的方程为 43 44 45 1 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点且与x轴垂直 若l被抛物线截得的线段长为6 则p 3 46 2 0 x 2 7 2 4 2 4 47 3 抛物线的顶点在原点 对称轴为y轴 焦点在x 2y 12 0上 则它的方程为 4 抛物线y2 2x上的两点A B到焦点的距离和为5 则线段AB中点到y轴的距离是 x2 24y 2 48 5 一抛物线拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽4米 则当水面下降1米后 水面宽 米 x2 2y 49 50 51 52 8 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB恒过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 解析 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 53 54 55 56 57 58 59 60 6