材料力学全套单辉祖PPT课件.ppt

材料力学 总成绩 考试成绩 70 80 平时成绩 作业 课堂提问 小测 第一章绪论 A4复印纸在自重作用下产生明显变形 折叠后变形明显减小 自行车的主要受力部件均由薄壁钢管制成 1 研究对象 变形固体 1 1材料力学的任务与研究对象 2 研究内容 1 强度 抵抗破坏的能力 破坏 明显的塑性变形 断裂 3 稳定性 保持稳定的平衡状态的能力 2 刚度 抵抗变形的能力 明显的弹性变形 小问题 A 强度不足 B 刚度不足 C 稳定性不足 A 强度不足 B 刚度不足 C 稳定性不足 工程构件的强度 刚度和稳定问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 强度问题 40人死亡 14人受伤 直接经济损失631万元 1999年1月4日 我国重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌 造成 法庭以外的问题 力学素质的重要性 从简单力学问题到高等力学问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 强度问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 稳定问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 稳定问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 工程构件的强度 刚度和稳定问题 强度 不因发生断裂或塑性变形而失效 刚度 不因发生过大的弹性变形而失效 稳定性 不因发生因平衡形式的突然转变而失效 折断 轴 齿轮 轴 齿轮 材料力学 虽然不折断 但变形过大 影响正常传动 材料力学 失去原来的直线平衡状态 材料力学 材料力学就是在满足强度 刚度和稳定性要求的前提下 为设计既经济又安全的构件 提供必要的理论基础和计算方法 材料力学 1 与理论力学的关系 理论力学研究刚体的外部效应 构件受到的外力 本门课程的特点与地位 如何设计车轮轴的横截面 如何简化出火车车轮轴的计算模型 4 本门课程的地位 是土木 机械和力学等专业的技术基础课 2 材料力学的特点 逻辑性强 概念丰富 3 学习方法 吃透概念 加强练习 1 连续性假设 3 各向同性假设 4 小变形问题 1 2材料力学的基本假设 材料是连续分布的 材料在各个方向的力学性能相同 1 材料力学要研究变形 计算变形 变形与构件的原始尺寸相比很小 2 受力分析按照构件的原始尺寸计算 2 均匀性假设 材料是均匀分布的 杆件变形的基本形式 1 轴向拉伸或压缩 2 剪切 3 扭转 4 弯曲 一 外力及其分类 1 按作用方式分 体积力和表面力表面力又可分为 分布力与集中力 2 按荷载随时间变化分 静载荷与动载荷 构件取分离体后 可以显示其受力情况 材料力学 1 3外力与内力 1 静载荷 载荷缓慢地由零增加到某一定值后 不再随时间变化 保持不变或变动很不显著 2 动载荷 载荷随时间而变化 动载荷可分为构件具有较大加速度 受交变载荷和冲击载荷三种情况 材料在静 动载荷作用下的性能颇不相同 分析方法有差异 二 内力和截面法 内力 构件因受力作用而变形 其内部各 部分 各点 之间因相对位置改变而 引起的相互作用力 1 材料力学 在截面上 连续分布 向截面上某点C简化 可 连续性决定的 得一个力和一个力偶或单独 一个力或单独一个力偶 材料力学 2 求截面上内力的方法 截面法 切 去 加 平 求连续分布内力的合力 合力偶 材料力学 例1求m m n n截面上的内力 材料力学 P x m m FN1 FN1 P 0 FN1 P n n P x FN2 FN2 P 0 FN2 P 材料力学 1 4应力 应力的概念 拉压杆的强度 轴力 横截面尺寸 材料的强度 即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的 杆件截面上的分布内力的集度 称为应力 M点平均应力 总应力 M DA M 总应力p 法向分量 引起长度改变 正应力 切向分量 引起角度改变 切应力 正应力 拉为正 压为负 s t 内力与应力间的关系 DFN DFS 应力单位 1 单向应力状态 单向应力 纯剪切与切应力互等定理 2 纯剪切应力状态 3 切应力互等定理 1 5应变 线应变与切应变 材料力学 如平行于X的MN 变形前 变形后 MN段在X方向 M点沿X方 M点在XY平 上平均线应变 向的线应变 面内的切应变 材料力学 例2求如图所示ab的平均线应变和ab ad的夹角变化 材料力学 1 6胡克定律 胡克定律 剪切胡克定律 G称为切变模量 单位 E称为弹性模量 单位 第二章轴向拉压应力与材料的力学性质 2 1轴向拉伸和压缩的概念 此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等截面直杆称为拉杆或压杆 受力特点 直杆受到一对大小相等 作用线与其轴线重合的外力F作用 变形特点 杆件发生纵向伸长或缩短 求内力的一般方法 截面法 1 截开 2 代替 3 平衡 步骤 c 2 2轴力与轴力图 可看出 杆件任一横截面上的内力 其作用线均与杆件的轴线重合 因而称之为轴力 用记号FN表示 引起伸长变形的轴力为正 拉力 背离截面 引起压缩变形的轴力为负 压力 指向截面 轴力的符号规定 a 若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值 所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系 称为轴力图 FN图 FN图 用截面法法求内力的过程中 在截面取分离体前 作用于物体上的外力 荷载 不能任意移动或用静力等效的相当力系替代 注意 FN F FN 0 n n B f A F 例试作图示杆的轴力图 求支反力 解 A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 600 300 500 400 1800 注意假设轴力为拉力 横截面1 1 横截面2 2 此时取截面3 3右边为分离体方便 仍假设轴力为拉力 横截面3 3 同理 由轴力图可看出 20 10 5 FN图 kN 50 无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律 已知静力学条件 2 3拉压杆的应力与圣维南原理 拉 压 杆横截面上的应力 但荷载不仅在杆内引起应力 还要引起杆件的变形 可以从观察杆件的表面变形出发 来分析内力的分布规律 等直杆相邻两条横向线在杆受拉 压 后仍为直线 仍相互平行 且仍垂直于杆的轴线 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 对于拉 压 杆且仍相互平行 仍垂直于轴线 现象 平面假设 亦即横截面上各点处的正应力都相等 推论 1 等直拉 压 杆受力时没有发生剪切变形 因而横截面上没有切应力 2 拉 压 杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 缩短 变形是均匀的 等截面拉 压 杆横截面上正应力的计算公式 即 适用条件 上述正应力计算公式对拉 压 杆的横截面形状没有限制 但对于拉伸 压缩 时平面假设不成立的某些特定截面 原则上不宜用上式计算横截面上的正应力 实验研究及数值计算表明 在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域 横截面上的应力情况复杂 上述公式不再正确 力作用于杆端方式的不同 只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响 圣维南原理 例试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力 已知F 50kN 解 段柱横截面上的正应力 压 150kN 50kN 段柱横截面上的正应力 压应力 最大工作应力为 拉 压 杆斜截面上的应力 由静力平衡得斜截面上的内力 变形假设 两平行的斜截面在杆件发生拉 压 变形后仍相互平行 推论 两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同 即斜截面上各点处总应力相等 s0为拉 压 杆横截面上 的正应力 总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力 方位角 符号规定 x轴逆时针转向截面外法线 为正 切应力 的符号规定 将截面外法线沿顺时针转90 与该方向同向的切应力为正 通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况 成为该点处的应力状态 对于拉 压 杆 一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定 这样的应力状态称为单向应力状态 讨论 1 2 横截面 纵截面 纵截面 横截面 2 4材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能 材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能 力学性能取决于 内部结构 外部环境 由试验方式获得 本节讨论的是常温 静载 轴向拉伸 或压缩 变形条件下的力学性能 一 材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样 圆截面试样 或 矩形截面试样 或 试验设备 1 万能试验机 用来强迫试样变形并测定试样的抗力 2 变形仪 用来将试样的微小变形放大到试验所需精度范围内 拉伸图 四个阶段 线性 弹性 阶段 屈服阶段 硬化 强化 阶段 缩颈 局部变形 阶段 二 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 为了消除掉试件尺寸的影响 将试件拉伸图转变为材料的应力 应变曲线图 图中 A 原始横截面面积 名义应力 l 原始标距 名义应变 拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点 线性 弹性 阶段OB 此阶段试件变形完全是弹性的 且 与 成线性关系 E 线段OA的斜率 比例极限 p 对应点A 弹性极限 e 对应点B 屈服阶段 此阶段应变显著增加 但应力基本不变 屈服现象 产生的变形主要是塑性的 抛光的试件表面上可见大约与轴线成45 的滑移线 屈服极限 对应点D 屈服低限 硬化 强化 阶段 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强 强度极限 b 对应点G 拉伸强度 最大应力 此阶段如要增加应变 必须增大应力 材料的强化 应变硬化 强化阶段的卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载 则卸载过程s e关系为直线 立即再加载时 s e关系起初基本上沿卸载直线上升直至当初卸载的荷载 然后沿卸载前的曲线断裂 冷作硬化现象 ee 弹性应变 ep 残余应变 塑性 冷作硬化对材料力学性能的影响 比例极限 p 强度极限 b 不变 残余变形ep 例题 例 对低碳钢试样进行拉伸试验 测得其弹性模量 屈服极限当试件横截面上的应力时 测得轴向线应变 随后卸载至 此时 试样的轴向塑性应变 即残余应变 缩颈 局部变形 阶段 试件上出现急剧局部横截面收缩 缩颈 直至试件断裂 塑性 延性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力 材料的塑性用延伸率断面收缩率度量 延伸率 平均塑性延伸率 断面收缩率 A1 断口处最小横截面面积 Q235钢的主要强度指标 Q235钢的塑性指标 Q235钢的弹性指标 通常的材料称为塑性材料 的材料称为脆性材料 低碳钢拉伸破坏断面 三 其他金属材料在拉伸时的力学性能 锰钢没有屈服和局部变形阶段 强铝 退火球墨铸铁没有明显屈服阶段 共同点 d 5 属塑性材料 无屈服阶段的塑性材料 以sp0 2作为其名义屈服极限 屈服强度 sp0 2 卸载后产生数值为0 2 塑性应变 残余应变 的应力值称为名义屈服极限 屈服强度 例 对于没有明显屈服阶段的塑性材料 通常以卸载后产生数值为的所对应的应力作为屈服应力 称为名义屈服极限 用表示 灰口铸铁轴向拉伸试验 灰口铸铁在拉伸时的s e曲线 特点 1 s e曲线从很低应力水平开始就是曲线 采用割线弹性模量2 没有屈服 强化 局部变形阶段 只有唯一拉伸强度指标sb3 延伸率非常小 断裂时的应变仅为0 4 0 5 拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力 典型的脆性材料 铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面 压缩试样 圆截面短柱体 正方形截面短柱体 四 金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢压缩时s e的曲线 特点 1 低碳钢拉 压时的ss以及弹性模量E基本相同 2 材料延展性很好 不会被压坏 特点 1 压缩时的sb和d均比拉伸时大得多 宜做受压构件 2 即使在较低应力下其s e也只近似符合胡克定律 3 试件最终沿着与横截面大致成50 55 的斜截面发生错动而破坏 灰口铸铁压缩时的s e曲线 五 几种非金属材料的力学性能 1 混凝土 拉伸强度很小 结构计算时一般不加以考虑 使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能 特点 1 直线段很短 在变形不大时突然断裂 2 压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关 3 以s e曲线上s 0 4sb的点与原点的连线确定 割线弹性模量 2 木材 木材属各向异性材料 其力学性能具有方向性 亦可认为是正交各向异性材料 其力学性能具有三个相互垂直的对称轴 特点 1 顺纹拉伸强度很高 但受木节等缺陷的影响波动 2 顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度 但受木节等缺陷的影响小 3 横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标 4 横纹拉伸强度很低 工程中应避免木材横纹受拉 松木顺纹拉伸 压缩和横纹压缩时的s e曲线 许用应力 s 和弹性模量E均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值 3 玻璃钢 玻璃纤维的不同排列方式 玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料 力学性能 玻璃纤维和树脂的性能 玻璃纤维和树脂的相对量 材料结合的方式 纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线 特点 1 直至断裂前s e基本是线弹性的 2 由于纤维的方向性 玻璃钢的力学性能是各向异性的 六 复合材料与高分子材料的拉伸力学性能 七 温度对材料力学性能的影响 温度对材料的力学性能有很大影响 2 6应力集中的概念 应力集中 由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象 截面尺寸变化越剧烈 应力集中就越严重 理论应力集中因数 具有小孔的均匀受拉平板 sn 截面突变的横截面上smax作用点处的名义应力 轴向拉压时为横截面上的平均应力 应力集中对强度的影响 理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时 荷载增大进入弹塑性 极限荷载 弹性阶段 脆性材料或塑性差的材料 塑性材料 静荷载 不考虑应力集中的影响 要考虑应力集中的影响 动荷载 2 6许用应力与强度条件 材料的许用应力 塑性材料 脆性材料 对应于拉 压强度的安全因数 极限应力su ss或sp0 2 sb 许用应力 n 1 ns一般取1 25 2 5 塑性材料 脆性材料 或 nb一般取2 5 3 0 甚至4 14 关于安全因数的考虑 1 极限应力的差异 2 构件横截面尺寸的变异 3 荷载的变异 4 计算简图与实际结构的差异 5 考虑强度储备 拉 压 杆的强度条件 保证拉 压 杆不因强度不足发生破坏的条件 等直杆 强度计算的三种类型 1 强度校核 2 截面选择 3 计算许可荷载 例图示三角架中 杆AB由两根10号工字钢组成 杆AC由两根80mm 80mm 7mm的等边角钢组成 两杆的材料均为Q235钢 s 170MPa 试求此结构的许可荷载 F 1 节点A的受力如图 其平衡方程为 解 得 A 2 查型钢表得两杆的面积 3 由强度条件得两杆的许可轴力 杆AC 杆AB 杆AC 杆AB 4 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载 2 7连接部分的强度计算 剪切与挤压的实用计算 1 剪切的概念 2 变形特点 1 受力特点 材料力学 作用于构件某一截面 剪切面 两侧的力 大小相等 方向相反且相距很近 构件的两部分沿剪切面发生相对错动 3 单剪与双剪仅一个剪切面称为单剪 见图1 若有两个剪切面则称为双剪 见图2 材料力学 2 剪切的假定计算 剪力FS 主要成分弯矩M 次要成分 可忽略 假设剪应力均匀分布 则 1 剪切面上内力 2 剪切面上应力计算 材料力学 其中AS为剪切面的面积 为名义剪应力 3 剪切强度条件 FS AS 许用剪应力 通过试验得到 在该试验中 应使试样的受力尽可能地接近实际联接件的情况 求得试样失效时的极限载荷 然后根据公式 求出名义极限剪应力 b 除以安全系数n 得许用剪应力 从而建立强度条件 对于塑性较好的低碳钢材料 根据实验所积累的数据并考虑安全系数 与许用拉应力 之间的关系为 0 6 0 8 材料力学 3 挤压的概念 在外力的作用下 联接件和被联接件在接触面上将相互压紧 这种局部受压的情况称为挤压 挤压面 该接触面 挤压力 该压紧力 挤压破坏 在接触处的局部区域产生塑性变形或压潰 材料力学 4 挤压的假定计算 1 挤压应力 bs Fb Abs式中 bs为挤压应力 Fb为挤压面上传递的力 挤压力Abs为挤压计算面积 当接触面为平面时 Abs就是接触面的面积 当接触面为圆柱面时 如铆钉与钉孔间的接触面 Abs应取圆孔或圆钉的直径平面面积 材料力学 材料的许用挤压应力 bs 可由有关规范中查到 对于钢材 一般可取 bs 1 7 2 0 2 挤压强度计算 材料力学 例题1 铆钉和板用同一种材料制成 已知t 8mm 30MPa bs 100MPa P 15kN 试选择直径d 解 取铆钉中段研究 材料力学 剪切强度计算 剪力 Fs P 2 7 5kN Fs A Fs d2 4 d 17 8mm 挤压强度计算 挤压力 Pb 15kN Abs 2td bs Pb Abs bs d 9 4mm d 17 8mm 若取标准件 查手册 d 20mm 问题 1 若中间板的厚度为3t 应取哪段研究 材料力学 2 若铆钉和板用不同材料制成 计算挤压强度时 应以铆钉为研究对象还是以板为研究对象 解 1 内力分析 剪力 Fs P剪切面面积 A dt 2 应力分析与强度计算 Fs A 0由上解得 P 0 dt 113kN 材料力学 例题2 钢板冲孔 已知t 5mm d 18mm 剪切极限应力 0 400MPa 求冲力P的大小 例3 一铆钉接头如图所示 铆钉和板用同一种材料制成 铆钉的直径d 18mm 板厚t 10mm 其 80MPa bs 200MPa 120MPa 试校核此接头部分的强度 分析 可能的破坏形式有 1 铆钉剪切破坏 2 铆钉或板的挤压破坏 3 钢板拉断 材料力学 材料力学 解 1 铆钉剪切强度 当各铆钉直径相等 且外力作用线通过铆钉组的截面形心时 可认为各铆钉受力相等 各铆钉受到剪力 Fs P 4 17 5kN 各铆钉受剪面积 A d2 4 254mm2 Fs A 68 8MPa 铆钉剪切强度符合要求 2 铆钉或板的挤压强度 挤压力Pb P 4 17 5kN 挤压计算面积Abs td 180mm2 bs Pb Abs 97 2MPa bs 铆钉挤压强度符合要求 3 板的拉伸强度作板的轴力图 可能的危险横截面在m处或n处 如图 在m处截面 Am t 80 d 620mm2 Fm P 70kN m Fm Am 113MPa 在n处截面 An t 80 2d 440mm2 Fn 3P 4 52 5kN n Fn An 119MPa max 119MPa 板的拉伸强度符合要求 铆接头安全 材料力学 F 4 F FN 3F 4 x m m n n 第三章轴向拉压变形 研究目的 1 分析拉压杆的拉压刚度 2 求解简单静不定问题 3 1拉压杆的变形与叠加原理 一 拉 压 杆的纵向变形 胡克定律 绝对变形 相对变形 正应变以伸长时为正 缩短时为负 拉压杆的胡克定律 EA 杆的拉压刚度 二 横向变形与泊松比 绝对值 横向线应变 试验表明 单轴应力状态下 当应力不超过材料的比例极限时 一点处的纵向线应变e与横向线应变e 的绝对值之比为一常数 泊松比 是一常数 由试验确定 试验表明 单轴应力状态下 当应力不超过材料的比例极限时 一点处的纵向线应变e与横向线应变e 的绝对值之比为一常数 试验表明 三 多力杆的变形与叠加原理 例一阶梯状钢杆受力如图 已知AB段的横截面面积A1 400mm2 BC段的横截面面积A2 250mm2 材料的弹性模量E 210GPa 试求 AB BC段的伸长量和杆的总伸长量 C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移 解 由静力平衡知 AB BC两段的轴力均为 故 AC杆的总伸长 C截面相对B截面的位移 C截面的绝对位移 思考 1 上题中哪些量是变形 哪些量是位移 二者是否相等 2 若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图 还有什么方法可以计算各截面处的位移 3 2桁架的节点位移 桁架的变形通常用节点的位移表示 它也是解静不定问题的基础按原结构尺寸求内力 切线代圆弧计算位移 保证工程精度的简化处理 例图示杆系结构 已知BC杆圆截面d 20mm BD杆为8号槽钢 160MPa E 200GPa P 60kN 求B点的位移 解 1 计算轴力 取节点B 2 计算杆的变形 3 确定B点的新位置 设想将托架在节点B拆开 BC杆伸长变形后变为B1C BD杆压缩变形后变为B2D 分别以C点和D点为圆心 以B1C和B2D为半径 作圆弧相交于B3 B3点即为托架变形后B点的位置 因为是小变形 B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧 因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替 这两段直线的交点即为B3 B3变形后B点的位置 3 确定B点的位移 B点的水平位移 B点的铅垂位移 例图示杆系 荷载F 100kN 求结点A的位移 A 已知两杆均为长度l 2m 直径d 25mm的圆杆 30 杆材 钢 的弹性模量E 210GPa 解 先求两杆的轴力 得 由胡克定律得两杆的伸长 根据杆系结构及受力情况的对称性可知 结点A只有竖向位移 此位置既应该符合两杆间的约束条件 又满足两杆的变形量要求 关键步骤 如何确定杆系变形后结点A的位置 A A 即 由变形图即确定结点A的位移 由几何关系得 A A 代入数值得 杆件几何尺寸的改变 标量 此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解 变形 位移 结点位置的移动 矢量 与各杆件间的约束有关 实际是变形的几何相容条件 二者间的函数关系 3 3拉 压 杆内的应变能 应变能 弹性体受力而变形时所积蓄的能量 单位 应变能的计算 能量守恒原理 焦耳J 弹性体的功能原理 拉 压 杆在线弹性范围内的应变能 外力功 杆内应变能 或 应变能密度 应变能密度单位 杆件单位体积内的应变能 两端受轴向荷载的等直杆 由于其各横截面上所有点处的应力均相等 故全杆内的应变能是均匀分布的 思考 1 应变能的计算不能使用力的叠加原理 想一想原因是什么 2 如果杆件因为荷载或截面尺寸连续改变等原因而发生不均匀轴向变形 比如等直杆受自重荷载作用时 如何计算杆件的应变能 解 例求图示杆系的应变能 并按弹性体的功能原理求结点A的位移 A 已知P 10kN 杆长l 2m 杆径d 25mm 30 材料的弹性模量E 210GPa 而 3 4超静定问题及其解法 静定结构 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力 超静定结构 静不定结构 静力学平衡方程不能求解超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目 两者的差值称为超静定的次数 习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束 相应的约束反力称为多余未知力 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目 NOTE 从提高结构的强度和刚度的角度来说 多余约束往往是必需的 并不是多余的超静定的求解 根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数 列出独立的平衡方程 然后根据几何 物理关系列出需要的补充方程 则可求解超静定问题 补充方程 为求出超静定结构的全部未知力 除了利用平衡方程以外 还必须寻找补充方程 且使补充方程的数目等于多余未知力的数目 根据变形几何关系 建立变形协调方程 结合物理关系 胡克定律 则可列出需要的补充方程 补充方程的获得 体现了超静定问题的求解技巧 此处我们将以轴向拉压 扭转 弯曲的超静定问题进行说明 拉压超静定问题解法 例两端固定的等直杆AB 在C处承受轴向力F如图 杆的拉压刚度为EA 求杆的支反力 解 一次超静定问题 1 力 由节点A的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程 2 变形 补充方程 变形协调条件 可选取固定端B为多余约束 予以解除 在该处的施加对应的约束反力FB 得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构 称为原超静定结构的基本静定系或相当系统 注意原超静定结构的B端约束情况 相当系统要保持和原结构相等 则相当系统在B点的位移为零 即得补充方程 在相当系统中求B点的位移 按叠加原理 可得 3 胡克定理 物理关系 4 补充方程变为 得 FB为正 表明其方向与图中所设一致 例设l 2 3杆用铰连接如图 1 2两杆的长度 横截面面积和材料均相同 即l1 l2 l A1 A2 E1 E2 E 3杆长度为l3 横截面面积为A3 弹性模量为E3 试求各杆的轴力 解 一次超静定问题 1 力 由节点A的平衡条件列出平衡方程 2 变形 补充方程 变形协调条件 3 胡克定理 A 4 补充方程变为 联立平衡方程 补充方程 求解得 在超静定杆系中 各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关增大或减少1 2两杆的刚度 则它们的轴力也将随之增大或减少 杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配 这些特点在静定杆系中是不存在的 归纳起来 求解超静定问题的步骤是 1 根据分离体的平衡条件 建立独立的平衡方程 2 根据变形协调条件 建立方程补充方程 3 利用胡克定律 改写补充方程 4 联立求解 例一平行杆系 三杆的横截面面积 长度和弹性模量均分别相同 用A l E表示 设AC为一刚性横梁 试求在荷载F作用下各杆的轴力 解 1 受力分析 平衡方程 2 变形分析 协调条件 补充方程 3 胡克定理 4 联立求解得 装配应力 温度应力 1 装配应力 在静定问题中 只会使结构的几何形状略有改变 不会在杆中产生附加的内力 如1杆较设计尺寸过长 仅是A点的移动 在超静定问题中 由于有了多余约束 误差就将产生附加的内力 附加的内力称为装配内力 与之相应的应力则称为装配应力 装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力 也称为初应力 例两铸件用两钢杆1 2连接如图 其间距为l 200mm 现需将制造得过长 e 0 11mm的铜杆3装人铸件之间 并保持三杆的轴线平行且有等间距a 试计算各杆内的装配应力 已知 钢杆直径d 10mm 铜杆横截面为20mm 30mm的矩形 钢的弹性模量E 210GPa 铜的弹性模量E 100GPa 铸件很厚 其变形可略去不计 解 画出结构装配简图 并可确定装配后3杆受压 1 2杆受拉 1 列出平衡方程 一次超静定问题 变形分析 协调条件 补充方程 因铸件可视作刚体 其变形相容条件是三杆变形后的端点须在同一直线上 由于结构在几何和物性均对称于杆3 可得补充方程 3 胡克定理 补充方程变为 4 联立求解得 所得结果均为正 说明原先假定杆1 2为拉力和杆3为压力是正确的 将已知数据代人 可得装配应力为 计算中注意单位 在超静定问题里 杆件尺寸的微小误差 会产生相当可观的装配应力 这种装配应力既可能引起不利的后果 也可能带来有利的影响 土建工程中的预应力钢筋混凝土构件 就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子 2 温度应力 静定问题 由于杆能自由变形 由温度所引起的变形不会在杆中产生内力 超静定问题 由于有了多余约束 杆由温度变化所引起的变形受到限制 从而将在杆中产生内力 这种内力称为温度内力 与之相应的应力则称为温度应力 杆的变形包括两部分 即由温度变化所引起的变形 以及与温度内力相应的弹性变形 例图示的等直杆AB的两端分别与刚性支承连接 设两支承间的距离 即杆长 为l 杆的横截面面积为A 材料的弹性模量为E 线膨胀系数为 l 试求温度升高 t时杆内的温度应力 解 一次超静定 1 变形 如杆只有一端 A端 固定 则温度升高以后 杆将自由伸长 现因刚性支承B的阻挡 使杆不能伸长 相当于在杆的两端加了压力FN而将杆顶住 而保持B点的不动 得到变形协调条件 补充方程 使用胡克定理得 温度引起的变形 得补充方程 解得 温度应力 以上计算表明 在超静定结构中 温度应力是一个不容忽视的因素 在铁路钢轨接头处 混凝土路面中 通常都留有空隙 高温管道隔一段距离要设一个弯道 都为考虑温度的影响 调节因温度变化而产生的伸缩 如果忽视了温度变化的影响 将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作 如杆为钢杆 l 1 2 10 5 oC E 210GPa 如温度升高 t 40oC 杆内的温度应力为 第四章扭转 4 1扭转的概念 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动 受力特点 圆截面直杆受到一对大小相等 转向相反 作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点 工程中注意承受扭转的构件称为 轴 实际构件工作时除发生扭转变形外 还常伴随有弯曲 拉压等其他变形形式 4 2扭力偶矩计算 扭矩及扭矩图 传动轴的外力偶矩 传动轴的转速n 某一轮上所传递的功率P kW 作用在该轮上的外力偶矩Me 已知 求 一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功 传动轮的转速n 功率P及其上的外力偶矩Me之间的关系 P 马力 P kW 或 扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩 用符号T表示 扭矩大小可利用截面法来确定 扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定 扭矩矢量离开截面为正 指向截面为负 仿照轴力图的做法 可作扭矩图 表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况 T T Me T图 例一传动轴如图 转速n 300r min 主动轮输入的功率P1 500kW 三个从动轮输出的功率分别为 P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试作轴的扭矩图 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 解 分别计算各段的扭矩 扭矩图 Tmax 9 56kN m在CA段内 4 78 9 56 6 37 T图 kN m 表面变形特点及分析 一 圆轴扭转试验与假设 4 3圆轴扭转横截面上的应力 1 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动 但圆周的大小 形状 间距都未变 2 纵向线倾斜了同一个角度g 表面上所有矩形均变成平行四边形 平面假设 变形后横截面仍保持平面 其形状 大小与横截面间的距离均不改变 而且 半径仍为直线 概言之 圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动 表面正方格子倾斜的角度 直角的改变量 切应变 横截面上没有正应力产生 只有切应力 方向与圆周相切 即与半径垂直 二 横截面上的应力公式 1 几何关系 即 相对扭转角沿杆长的变化率 对于给定的横截面为常量 剪切胡克定律 在弹性范围内 切应力与切应变成正比 2 物理方面 横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比 即剪应力沿截面的半径呈线性分布 3 静力学方面 称为横截面的极惯性矩 令 得 圆轴扭转时横截面上切应力计算公式 tmax tmax 1 T为横截面上的扭矩2 Ip为截面参数 取决于截面形状与尺寸3 为所求点距圆心距离 发生在横截面周边上各点处 称为抗扭截面系数 最大切应力 tmax tmax 令 即 三 最大扭转切应力 同样适用于空心圆截面杆受扭的情形 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 实心圆截面 几何性质 空心圆截面 注意 对于空心圆截面 四 薄壁圆截面轴的扭转切应力 式中 代表圆管的平均半径 代表壁厚 等直圆轴 材料的许用切应力 4 4圆轴扭转强度条件与合理设计 例1实心等截面直轴 d 110mm 1 试求截面 上距轴线40mm处的点的剪应力 2 若已知 40MPa 试校核轴的强度 解 内力分析 由扭矩图得知T2 9 56kN m 危险横截面在AC段 Tmax 9 56kN m 应力计算 强度计算 例图示阶梯状圆轴 AB段直径d1 120mm BC段直径d2 100mm 扭转力偶矩MA 22kN m MB 36kN m MC 14kN m 材料的许用切应力 t 80MPa 试校核该轴的强度 解 1 求内力 作出轴的扭矩图 T图 kN m BC段 AB段 2 计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 即该轴满足强度条件 T图 kN m 例 实心圆截面轴 和空心圆截面轴 a d2 D2 0 8 的材料 扭转力偶矩Me和长度l均相同 试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下 D2 d1之比以及两轴的重量比 解 已知 得 两轴的重量比 可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻 讨论 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件 例圆柱螺旋弹簧如图 簧杆斜度a d 试推导弹簧的应力计算公式 解 1 求簧杆横截面上的内力 分离体的平衡 2 求簧杆横截面上的应力 a 与剪力相应的切应力 b 与扭矩相应的最大扭转切应力 max 扭矩 最大切应力发生在簧丝截面内侧 其值为 当D d时 略去剪力的影响和簧圈曲率的影响 当D d 10时 或计算精度要求较高时 须考虑剪力和簧圈曲率的影响 4 5等直圆轴扭转时的变形 刚度条件 扭转时的变形 两个横截面的相对扭转角j 扭转角沿杆长的变化率 相距dx的微段两端截面间相对扭转角为 等直圆杆仅两端截面受外力偶矩Me作用时 称为等直圆杆的扭转刚度 相距l的两横截面间相对扭转角为 单位 rad 例图示钢制实心圆截面轴 已知 M1 1592N m M2 955N m M3 637N m d 70mm lAB 300mm lAC 500mm 钢的切变模量G 80GPa 求横截面C相对于B的扭转角jCB 解 1 先用截面法求各段轴的扭矩 BA段 AC段 2 各段两端相对扭转角 3 横截面C相对于B的扭转角 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件 对于精密机器的轴 对于一般的传动轴 常用单位 m 例由45号钢制成的某空心圆截面轴 内 外直径之比a 0 5 已知材料的许用切应力 t 40MPa 切变模量G 80GPa 轴的横截面上最大扭矩为Tmax 9 56kN m 轴的许可单位长度扭转角 0 3 m 试选择轴的直径 解 1 按强度条件确定外直径D 2 由刚度条件确定所需外直径D 3 确定内外直径 扭转超静定问题的解法 同样是综合考虑静力 几何 物理三方面 其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程 例两端固定的圆截面杆AB 在截面C处受一扭转力偶矩Me作用如图 已知杆的扭转刚度为GIp 试求杆两端的支反力偶矩 解 一次超静定 设想固定端B为多余约束 解除后加上相应的多余未知力偶矩MB 得基本静定系 4 6简单静不定轴 变形协调条件 根据原超静定杆的约束情况 基本静定系在B端的扭转角应等于零 即补充方程为 平衡方程 设固定端A的支反力偶为MA 方向同MB 按叠加原理 BB BM分别为MB Me引起的在杆端B的扭转角 线弹性时 物理关系 胡克定理 为 代入上式可解得 MA可平衡方程求得 例图示一长为l的组合杆 由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成 内 外两杆均在线弹性范围内工作 其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb 当组合杆的两端面各自固结于刚性板上 并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时 试求分别作用在内 外杆上的扭转力偶矩 解 画出受力及变形简图 写出独立平衡方程 一次超静定问题 变形协调条件 原杆两端各自与刚性板固结在一起 故内 外杆的扭转变形相同 即补充方程为 代入物理关系 胡克定理 与平衡方程联立 即可求得Ma和Mb 并可进一步求得杆中切应力如图 内 外两杆材料不同 可见在两杆交界处的切应力是不同的 4 7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 横向线变成曲线 平面假设不再成立 可能产生附加正应力 横截面发生翘曲不再保持为平面 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 非圆杆两种类型的扭转 自由扭转 纯扭转 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同 无附加正应力产生 此时相邻两横截面的翘曲程度不同 横截面上有附加正应力产生 1 等直杆两端受外力偶作用 端面可自由翘曲时 2 非等直杆扭转 扭矩沿杆长变化 或端面有约束不能自由翘曲时 约束扭转 矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 一般矩形截面等直杆 t tp时1 tmax发生在横截面的长边中点处 2 横截面周边各点的切应力必定与周边相切 沿周边形成与扭矩同向的顺流 3 四个角点处t 0 思考 存在第二 第三条规律的原因是什么 矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式 最大切应力 长边中点处 短边中点处的切应力 单位长度扭转角 相当极惯性矩 扭转截面系数 其中 a b 与相关的因数 狭长矩形截面杆自由扭转 特点 1 沿长边各点的切应力值除靠角点附近外 均接近相等 2 离短边稍远处 可认为切应力沿厚度d按直线规律变化 第五章弯曲内力 5 1弯曲的概念及梁的计算简图 弯曲的概念 受力特点 杆件受到垂直于杆轴线的外力 横向力 或外力偶 其矢量垂直于杆轴 作用 以弯曲为主要变形的杆件通称为梁 梁 变形特点 1 直杆的轴线在变形后变为曲线 2 任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动 最基本常见的弯曲问题 对称弯曲 对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合 因而一定是平面弯曲 梁的计算简图 1 支座的基本形式 1 固定端 2 固定铰支座和可动铰支座 可动铰支座 固定铰支座 1 悬臂梁 2 梁的基本形式 2 简支梁 3 外伸梁 静定梁 梁的支反力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出 3 静定梁和超静定梁 梁的支反力单独利用平衡方程不能确定 静定梁 超静定梁 5 2梁的剪力和弯矩 取左侧分离体分析任一横截面m m上的内力 由其右边分离体的平衡条件同样可得 称为剪力 称为弯矩 a M 剪力和弯矩的符号规则 截面法求剪力和弯矩的步骤 1 所求内力处截开截面 取一部分来研究 2 将该截面上内力设为正值 3 由平衡方程求解内力 例求图示外伸梁在截面1 1 2 2 3 3和4 4横截面上的剪力和弯矩 解 支反力为 截面1 1 截面2 2 截面3 3 截面4 4 1 横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定 剪力值 截面左侧 或右侧 所有外力的代数和 弯矩值 截面左侧 或右侧 所有外力对该截面形心的力矩代数和 2 截面左侧梁段向上的外力 正剪力 正弯矩顺时针外力偶 正弯矩截面右侧梁段向上的外力 负剪力 正弯矩顺时针外力偶 负弯矩 3 在集中力作用处 剪力值发生突变 突变值 集中力大小 在集中力偶作用处 弯矩值发生突变 突变值 集中力偶矩大小 显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图 剪力方程 弯矩方程 反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式 5 3剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 以自由端为坐标原点 则可不求反力列剪力方程和弯矩方程 2 作剪力图和弯矩图 ql2 2 x M l 2 ql2 8 例图示简支梁受集度为q的满布荷载作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 列剪力方程和弯矩方程 ql 2 FS ql2 8 l 2 3 作剪力图和弯矩图 例图示简支梁受集中荷载F作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 2 列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出 AC段 CB段 3 作剪力图和弯矩图 M x Fab l F 发生在集中荷载作用处 发生在AC段 b a时 FS Fb l x Fa l M x Fab l F 例图示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支反力 Me 2 列剪力方程和弯矩方程 剪力方程无需分段 弯矩方程 两段 AC段 CB段 3 作剪力图和弯矩图 b a时 发生在C截面右侧 l M x Mea l Meb 思考 对称性与反对称性 例简支梁受力如图a所示 试写出梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 可利用平衡方程对所求反力进行校核 2 建立剪力方程和弯矩方程 AC段 CB段 3 求控制截面内力 绘FS M图 FS图 AC段 CB段 剪力图为斜直线 剪力方程为常数 剪力图为水平线 M图 AC段 求极值判断顶点位置 CB段 弯矩图为二次抛物线 弯矩图是直线 对于该梁来说有 当时 弯矩有极值 1 q 常数 向下 剪力图 直线 下斜 从剪力图和弯矩图来观察 弯矩图 二次抛物线 2 q 0剪力图 水平线 常数 弯矩图 斜直线 5 4弯矩 剪力与分布荷载集度之间的微分关系 略去 M x dM x q x FS x M x 间的微分关系 其中分布荷载集度q x 以向上为正 向下为负 几种常见荷载下FS图和M图的特征 时 弯矩M x 为极值 集中力作用处 集中力偶作用处 利用以上特征1 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确 2 可以不建立剪力方程和弯矩方程 利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图 利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤 1 求支座反力 2 分段确定剪力图和弯矩图的形状 3 计算控制截面内力值 根据微分关系绘剪力图和弯矩图 4 确定和 例试利用弯矩 剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图示的剪力图和弯矩图 解 支反力为 AC段q 0剪力图为水平直线剪力值 1 校核剪力图 1 校核剪力图 CB段q 常量 0剪力图为向右下方倾斜的斜直线因C点处无集中力作用 剪力图在该处无突变 故 x 2 校核弯矩图 AC段剪力 常量弯矩图 斜率为正值的斜直线弯矩值 支座A MA 0C截面左侧 也可通过积分来复核弯矩值 AC段内剪力图的面积 CB段 q 负常量弯矩图 曲率为负 向下凸 的抛物线C点处有集中力偶作用 弯矩图突变 支座B MB 0 这些均与图中所示相符 存在的截面 即弯矩M x 在此处有极值 抛物线的顶点 例 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图 已知 逆时针 81 31 29 Fs图 kN 5 4平面刚架和曲杆的内力图 平面刚架 由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构 面内受力时 平面刚架杆件的内力有 轴力 剪力 弯矩 作刚架内力图的约定 弯矩图 画在各杆的受压一侧 不注明正 负号 剪力图及轴力图 可画在刚架轴线的任一侧 但应注明正 负号 剪力和轴力的正 负规定仍与前面章节一致 例试作图示刚架的内力图 解 从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程 可不求固定端A处的支反力 CB段 q BD段 DA段 FN y FN x 可取刚性结点B为分离体 考察该结点是否满足平衡条件来校核内力图的正误 2qa FN图 FS图 M图 平面曲杆 面内受力时的内力 轴力 剪力 弯矩 弯矩的符号约定 使杆的曲率增加 即外侧受拉 为正 作平面曲杆内力图的约定与刚架相同 例一端固定的四分之一圆环 半径为R 在自由端B受轴线平面内的集中荷载F作用如图 试作出其内力图 解 取分离体如图写出其任意横截面m m上的内力方程 M j 根据内力方程绘出内力图 如图所示 第六章弯曲应力 最基本常见的弯曲问题 对称弯曲 对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合 因而一定是平面弯曲 6 1引言 6 2梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件 纯弯曲 横力弯曲 Fa 纯弯曲时梁横截面上的正应力 几何方面 表面变形情况纵线弯成弧线 靠近顶面的纵线缩短 而靠近底面的纵线则伸长 横线仍为直线 并与变形后的纵线保持正交 只是横线间相对转动 平面假设梁在纯弯曲时 横截面仍保持为平面 且与梁变形后的轴线仍保持正交 只是绕垂直于纵向对称轴的某一轴转动 即中性轴 根据变形的连续性可知 梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区 中间必有一层纵向无长度改变的过渡层 称为中性层 中性层 中性轴 中性层与横截面的交线就是中性轴 r 中性层的曲率半径 物理方面 单向应力状态下的胡克定律 不计挤压 即认为梁内各点均处于单向应力状态 当s sp 且拉 压弹性模量相同时 有 即直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化 静力学方面 即中性轴z是形心轴 对称弯曲时此条件将自动满足 得 得 这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式 EIz称为梁的弯曲刚度 思考 发生纯弯曲变形的等直梁其轴线将弯成什么曲线 弯曲正应力计算公式 中性轴z为横截面的对称轴时 称为弯曲截面系数 中性轴z不是横截面的对称轴时 简单截面的弯曲截面系数 矩形截面 圆形截面 空心圆截面 4 型钢截面 参见型钢表 式中 纯弯曲理论的推广 横力弯曲时 1 由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲 2 横向力还使各纵向线之间发生挤压 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立 弹性力学的分析结果 对于细长梁 l h 5 纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况 其结果仍足够精确 Fl 4 例图示简支梁由56a号工字钢制成