浅谈矩阵的对角化问题(浓缩稿).doc

苏州大学本科生毕业设计（论文） 浅谈矩阵的对角化问题(浓缩版)学号：0807402069 学生姓名：马莉莹 指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范） 摘要：矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换. Abstract: Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear transformation.一矩阵相似对角化的条件由于矩阵的类型和所在数域的不同，其对角化的条件也不同.1.任意数域上矩阵相似对角化的条件 充要条件设为阶方阵的个互异的特征值，且它们的重数分别为，.可对角化有个线性无关的特征向量 对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数 的最小多项式无重根 对于的每个特征值，都有 的初等因子都是1次的 与某个循环矩阵相似 充分条件有个不同特征值可对角化的零化多项式无重根可对角化2. 复数域上Hermite矩阵必可酉相似于对角矩阵.3.实数域上对称矩阵必可正交相似于对角矩阵. 2 矩阵对角化的若干方法（一）一般矩阵对角化的方法特征向量法是将矩阵对角化的常规方法，用该方法解决问题时需要求解齐次线性方程组，过程繁琐.下面介绍其它四种将矩阵对角化的方法.1.矩阵乘积运算法设是在数域上全部互异的特征值.其重数分别为,且，记为的属于的特征子空间. 对，有：（1） 若可对角化，则对的每一特征值，都有个与之对应的线性无关的特征向量.（2） 可对角化的充要条件是对于的每个特征值,. 采用类比推测，可得定理1.定理1：设是在数域上全部互异的特征值，其重数分别为,且，记=. 对，有：（1）若可对角化，则矩阵的列向量组中有对应于的个线性无关的特征向量.（2）可对角化的充要条件是. 定理1表明，要构造可对角化矩阵的相似变换矩阵,只需对每一特征值，从矩阵乘积中找出个与之对应的线性无关的特征向量，以这样所得的个特征向量为列作一个阶矩阵即可.例1：设，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：由，得 （二重）， ，所以可对角化. 当（二重）时： 取中两个线性无关的特征向量. 当时： 取中的特征向量 当时： 取中的特征向量. 令，则 2.Jordan标准形法由于复数域上任意阶矩阵都相似于一个Jordan矩阵，所以存在可逆矩阵，使得.如果为对角矩阵，则可对角化，否则，不可对角化.由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得.于是有： .可对先施行一次初等行变换后，接着施行一次相应的初等列变换,我们称此种初等变换为对施行了一次相似变换.显然，可对施行一系列的相似变换，将化为Jordan形矩阵.例2：设，求可逆矩阵，使得 为对角矩阵. 解：将化为Jordan标准形 由的Jordan标准形知，矩阵可对角化且它的特征值为-2,1,1.上述过程对共施行了三次相似变换，且三次初等列变换对应的矩阵分别为： 所以，且.3.矩阵标准形法引理1：设是阶方阵，则必能用初等变换将 变为对角矩阵： 并且多项式 的所有根恰好是的所有特征值.定理2：设是阶方阵， 是对角形矩阵，是可逆的矩阵，且满足.如果 .即对作初等行变换和初等列变换，使其变为对角矩阵.随着行的变化而变为.则（1） 若的所有根都在内，则就是的所有特征值.（2） 对于的特征值，设第行是的全部为零的行，则的第行即构成的基.其中为特征值的特征子空间.（3）可对角化，此处是的重数.根据定理2即可得到矩阵标准形法：(1) 作初等变换： 设，求出的所有解.(2) 若的解都在内，并且对每个解都有中零行的数目 等于的重数，则可对角化，转（3）；否则不可对角化，结束.(3) 对于的任一特征值，若的第行都为零，则取出的第 ，,行构作: 则.例3：设，求可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： 按上述方法：（1）记， 则（2）当时，中零行的数目的重数 当时，中零行的数目的重数.所以可对角化.（3）当时， 取中与中零行所对应的特征向量， 当时， 取中与中零行所对应的特征向量. 令，则4. 数字矩阵对角形法若矩阵在数域上可对角化，则存在上的可逆矩阵，使得为对角矩阵，且的主对角线上的元素为的全体特征值.由于矩阵可逆，所以存在一系列的初等矩阵，使得.于是：，做初等变换： .即对施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵，对只施行相应的初等列变换变为.在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后所得矩阵与相似即可.例4：若，求可逆矩阵，使得为对角矩阵. 解：作初等变换： 所以可对角化. 令，则有. 利用初等变换将矩阵对角化时，我们可以从变换后的最终矩阵中直接读出相似变换矩阵和对角矩阵，大大简化了求解过程.(二）实对称矩阵对角化的方法 Schmidt正交法是将实对称矩阵对角化的基本方法，使用该方法时需要牢记公式且计算量较大.下面我们介绍另外两种方法.1.直接正交法 该方法从向量正交的基本定义出发，直接从特征子空间中求出正交向量，易于理解和掌握，且在特征值出现重根的情况下,计算量也大为减少.例5：设 ，求正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解：由，得（三重），. 设 当时，解齐次线性方程组，得. 先取一个特征向量. 设特征向量. 因与正交，从而有.又因为，所以可得. 取.再设特征向量. 因与和都正交，从而有，.又因为， 所以可得.取. 现将，都单位化： ，. 当时,可求得单位特征向量：. 令，则.2.度量矩阵法对于维欧氏空间,令是它的一个基，它的度量矩阵 是正定矩阵,于是合同于单位矩阵，即可求得阶可逆矩阵，使得.利用和的基作一个新基:.那么，新基的度量矩阵即为： . 所以是欧式空间的标准正交基.例6：设，求正交矩阵, 使得为对角矩阵. 解：由，得（三重），. 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 ， 当时，解齐次线性方程组，得基础解系 则 是一组基.记其度量矩阵为，那么 对矩阵作合同变换：=. 取，则有.利用和基作新基: . 则： ， . ， . 由于的度量矩阵，故是的标准正交基.令，则是正交矩阵且. 三.特殊矩阵的对角化1.幂等矩阵定理3：阶幂等矩阵一定可以对角化，并且的相似标准形是 ，其中,是阶单位矩阵.证明： 因为,所以有零化多项式，因为无重根，所以可对角化.而的特征值只有0和1，所以的相似标准形是,其中.由该定理可以推出幂等矩阵的若干性质：性质1：幂等矩阵的迹等于的秩.证明：设是数域上的一个阶幂等矩阵，. 如果，则.如果，则从而 下面设.由的相似标准形得： 性质2：任意阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.证明：设阶方阵的秩为，则存在阶可逆矩阵 使得： 所以. 令，.易知为可逆矩阵.因为，所以为幂等矩阵.即任意阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.2.幂零矩阵 引理2：若 为的特征多项式，为的最小多项式，则.引理3：设为阶矩阵的特征值，则对任意的多项式有的特征值为.幂零矩阵具有下列性质：性质3：为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为0.证明：（必要性) 若为幂零矩阵，则存在正整数，使得.令为的任意一个特征值，则存在,使得.由引理3知为的特征值. 所以存在 ，使得 ，从而有即有. 又由，知，所以 . 所以为的特征值.由的任意性知的特征值全为0. （充分性）因为的特征值全为0, 所以的特征多项式为,由引理2知,所以为幂零矩阵.性质4：若为幂零矩阵且，则不可对角化.证明：若可对角化，则存在可逆矩阵，使得，此处是阶对角形.若为幂零矩阵，则存在正整数，使得，即： ， 因为，所以有： ， 与题设矛盾. 3.幂幺矩阵性质5：幂幺矩阵在复数域上可对角化.证明：若为幂幺矩阵，则存在正整数，使得，所以有零化多项式. 因为在复数域上，的根都是次单位根，故无重根，所以可对角化.注意：在实数域上不一定可对角化！例如，满足，即为幂幺矩阵，但是在实数域上无根，所以在实数域上不可对角化.4.实对称矩阵性质6：实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交.性质7：设是实对称矩阵的重特征值，则对应于特征值，矩阵有个线性无关的特征向量.定理4:设是一个实对称矩阵.则存在一个正交矩阵,使得,并且是实数，.证明：设的互不相等的特征值为，并且它们的重数依次为.则对于特征值，恰有个线性无关的实特征向量.把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量.由知，这样的特征向量共可得个.由于不同特征值的特征向量正交，故这个单位特征向量两两正交，以它们为列向量作成正交矩阵，则： 为一个实对称矩阵.5.Hermite矩阵欧氏空间实质上是实数域上的一个内积空间.类似地考虑复数域上的内积空间酉空间和酉空间上的线性变换.与正交变换和实对称矩阵类似，酉空间中有酉变换与Hermite矩阵.性质8：设是Hermite矩阵，则的特征值均为实数.证明：设为的特征值，为其对应的特征向量，即，那么： 但，所以，即为实数.性质9：设是Hermite矩阵，则对应于的不同特征值的特征向量必正交.证明：设是的两个不同的特征