1.生活中的“斐波那契数列”.doc

2014年温州市小学数学小课题评比 学 校： 苍 南 县 钱 库 小 学 成员姓名： 陈耀坤 吴文强 金旭杭 小课题题目：生活中的“斐波那契数列” 台阶中的数学 指导教师： 陈 瑞 帐 生活中的“斐波那契数列” 台阶中的数学 一、问题的提出 周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。二、研究过程1.从最简单的做起该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。 我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起” 于是我们通过画楼梯入手。1个台阶（1种）2个台阶（2种）3个台阶（3种）4个台阶（5种）后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：楼梯台阶数及方法 楼梯上法表示一个台阶（1种） （1）二个台阶（2种） （1，1）（2）三个台阶（3种） （1，1，1）（1，2）（2，1）四个台阶（5种） （1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种） （1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1） （2，1，1，1） （2，1，2） （2，2，1） （1，2，2） 5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继续进行进去，我尝试着：六个台阶（13种） （1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1） （1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1） （1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，） （1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1） （1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1） （2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2） （1，1，2，2，1） （1，2，2，1，1） （2，2，1，1，1） （1，2，1，1，2） （1，2，1，2，1） （1，2，2，1，1,） （2，1，1，1，2） （2，1，1，2，1） （2，1，2，1，1） （2，2，2，1） （2，2，1，2） （2，1，2，2） （1，2，2，2）2.整理数据，发现规律这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。有没有规律呢？我们重新整理了数据，发现台阶上法数据之间有关联：台阶数1234567台阶上法1235813213=2+15=3+28=5+313=8+521=13+8 7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法，也就是13+8=21。6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法，也就是8+5=13 那走台阶的上法是否有规律？是否是后一个数都是前两个数的和呢？照这样推理，8个台阶数的走法应该是34种呢？我决定用数字拆分来进行验证，发现答案完全符合。 台阶数891011121314151617181920台阶上法345589144233377610987159725844181676510946 于是，很快就算出了走16个台阶的上法共有1597种。3. 深入探究这种规律是否巧合呢？若规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面走到最上一级台阶，哪又有有多少种不同的走法？ 一个台阶（1种） （1）二个台阶（2种） （1，1）（2）三个台阶（4种） （1，1，1）（1，2）（2，1）（3）四个台阶（7种） （1，1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2） （1,3） （3,1）五个台阶（13种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1） （2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）（1，1，3） （1，3，1）（3，1，1）（2，3）（3，2）六个台阶（24种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1） （1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1） （1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，） （1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）（1，1，1，3） （1，1，3，1）（1，3，1，1）（3，1，1，1）（1，2，3） （1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（3，3） 我们同样尝试整理这些数据，发现此时台阶上法数据之间也有关联：台阶数123456台阶上法124713247=4+2+113=7+4+224=13+7+4 6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法+3个台阶的走法，也就是24=13+7+4。5个台阶的走法=4个台阶的走法+3个台阶的走法+2个台阶的走法，也就是13=7+4+2。每个数等于前三个数之和。由此依次可以推出7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法+4个台阶的走法=47。8个台阶的走法=7个台阶的走法+6个台阶的走法+5个台阶的走法=84台阶数89101112131415161718台阶上法841552865259661777326860111105620335374024. 寻找理论依据：1）.斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（11751250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有算盘书、实用几何和四艺经等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？据载首先是由9世纪法国数学家吕卡将级数1,1,2,3,5,8,13,21,34，命名为斐波那契级数。这就是非常著名的斐波那契数列问题。通项公式为： 2）.杨辉三角： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、85.斐波那契数在生活中的应用 我们去图书馆查找，网上搜索，咨询老师，收集到有关斐波那契数在生活中的应用。植物中的斐波那契数（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34，55，89雏菊 还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。2）斐波那契数列与黄金比值相继的斐波那契数的比的数列：它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。3）.【斐波那契数列的应用】一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪儿去呢？斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21 斐波那契螺旋具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆