2013届惠州市高三第二次调研考试(理数)【含答案--全WORD--精心排版】.doc

惠州市2013届高三第二次调研考试 数 学 (理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数 (为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2集合，若，则实数的值为（ ）A或 B C或 D 3. 等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）A1 B. C. D. 4. 已知向量，且，则等于（ ）A B C D 5. “”是“”的（ ）A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D. 必要不充分条件 6若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A2B2C4D47某工厂从2004年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（ ）48yot48yot48yot48yot8已知函数，若有，则的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9函数的定义域为 10. 的展开式中的常数项为 11已知正方体中，、分别为、的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_12. 如图所示的算法流程图中, 若则的值等于 . 13已知变量满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值, 则实数的取值范围为 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点和，则=_.15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆的半径为，则圆心到的距离为 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知向量,且，为锐角. （1）求角的大小； （2）求函数的值域.17（本题满分12分）某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱底面,，为的中点, .(1) 求证：平面；(2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值.19（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，且点在直线上.（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线 的对称点在单位圆上，求椭圆的方程.20（本小题满分14分）设为数列的前项和，对任意的，都有(为正常数)（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和21（本小题满分14分）已知函数是奇函数，且图像在点 处的切线斜率为3（为自然对数的底数）（1）求实数、的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明：惠州市2013届高三第二次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案 1【解析】1.提示:因,所以对应的点在复平面的第二象限. 选2【解析】由可知或,故选3【解析】且，.故选4【解析】由，得，即，所以，故选5【解析】注意的正负号.故选6.【解析】椭圆的右焦点为，即，故选7【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选8.【解析】由题可知，若有，则，即，解得。故选二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只选做一题9 10 11 12 13 14 159【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 。 10【解析】的展开式中的常数项即。11【解析】连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为，则，在三角形中.12【解析】，由数形结合可知，当时, 所以有13【解析】可变为直线，斜率为，仅在点处取得最小值,只须14【解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程15【解析】先用切割线定理求出的长度,然后距离三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16解：（1）由题意得2分，4分由为锐角 ， 得,6分（2）由（1）可得7分所以 9分因为，则，当时，有最大值. 当时，有最小值，11分，故所求函数的值域是. 12分17解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有种，2分所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 4分（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，其所有可能的取值为0，100，200，300。（单元：元）6分，表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以7分同理可得 , 9分，于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是11分，故促销方案对商场有利12分18（1）证明:连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点.为的中点，为的中位线, . 2分,. 4分(2)解: 依题意知，, 作，垂足为，则， 6分设，在中，四棱锥的体积。 8分依题意得，即. 9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:,，. 10分取的中点，连接，则,且.作，垂足为，连接，由于，且，. 又,. 12分由,得,得,在中, .二面角的正切值为. 14分解法2:,， 平面，. 10分，以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,.,，设平面的法向量为, 由及,得，令,得.故平面的一个法向量为, 11分，又平面的一个法向量为,. 12分. 13分.二面角的正切值为. 14分19解：设、两点的坐标分别为，（1）由知是的中点， 1分 由 得：4分 ， 5分点的坐标为，又点在直线上： 6分， 7分（2）由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，设关于直线 的对称点为，8分则有解得： 11分由已知， ， . 13分所求的椭圆的方程为 14分20（1）证明：当时，解得1分当时，即2分又为常数，且，3分数列是首项为1，公比为的等比数列4分（2）解：5分，即7分是首项为，公差为1的等差数列8分，即9分（3）解：由（2）知，则，10分即， 11分则， 12分得，13分故14分21解：（1）是奇函数