2015-2016二次函数综合练习题1.doc

二次函数综合练习（附详细解答过程）一、选择题1将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）A、 B、 C、 D、2若二次函数配方后为，则、的值分别为（ ）A8、1 B8、1 C6、1 D6、13抛物线y=(x+2) 2+3的顶点坐标是 A(2，3) B(-2，3) C(-2，-3) D(2，-3)4二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y 与正比例函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）5已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（ ）Oyx2AB或CD或6A，B，C是抛物线上三点，的大小关系为（ ）ABCD7二次函数y(x1)2+2的最小值是（ ）A.2 B.2 C.1 D.18已知二次函数的解析式为：y=-3（x5）27,那么下列说法正确的是（ ）。A. 顶点的坐标是（5，-7） B. 顶点的坐标是（-7，-5） C. 当x=-5时，函数有最大值y=-7 D. 当x=-5时，函数有最小值y=-79二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则以下关于的结论正确的是（ ）Am的最大值为2 Bm的最小值为2Cm是负数 Dm是非负数10如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是（ ）Ax1 Bx1 C0x1 D-1x011抛物线的对称轴是直线=1，且经过点P（3，0），则的值为（ ） A0 Bl C1 D212.二次函数y( x1)2+1的图象的顶点坐标是.二、填空题13请你选择你喜欢的a、b、c值，使二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象同时满足下列条件：开口方向向下；当x2时，y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以为 14若y=(m+1)是二次函数，则m的值为 。15设a为实数，点P(m，n) (m0)在函数yx2 + ax 3的图象上，点P关于原点的对称点Q也在此函数的图象上，则m的值为 16已知直线（p0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，过B点的抛物线的顶点为C，如果ABC恰为等边三角形，则b的值为 17如果抛物线的开口向下，那么k的取值范围是 18已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是 19已知点A（x1,y1），B(x2,y2)，在抛物线上，且x1x2”或“”或“”)。20已知二次函数y=x2bxc的图像过点A（c，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_.（只要写出一个可能的解析式）21记抛物线的图象与正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1， P2，P2011，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，的面积分别为S1，S2，这样就记W=S12+S22+S32+S20112，W的值为xyOAP1P2Q2Q1三、计算题设函数ykx2(2k1)x1(k为实数)22写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象23根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明24对任意负实数k，当xm时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值25如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)Oxy12341234(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.26在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）观察图象判断与之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.27抛物线经过A（，0）、C（0，）两点，与轴交于另一点B。（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（，）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点，的坐标。（3）在（2）的条件下，连结BD，问在轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由四、解答题28已知二次函数y=x2-5x-6(1)求此函数图象的顶点A和其与x轴的交点B和C的坐标；(2)求ABC的面积29一个二次函数的图象经过点（0，0），（-1，-1），（1，9）三点，求这个函数的关系式30（10分）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润31已知抛物线的顶点为P，与轴交于点A，与直线OP交于点B.（）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（）在（）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且，求点M的坐标；（）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD轴于点D.将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.32（本题12分）已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）.（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求ABC的面积.33如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）.（1）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式（2）设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连结AD交BC于点F，求证：以A，B，F为顶点的三角形与ABC相似，并求：34某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：w=2x+80设这种产品每天的销售利润为y （元）（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？（参考关系：销售额=售价销量，利润=销售额成本）35已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图13).（1）写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；（2）求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式.36如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；（3）如图，是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由37如图半径分别为m，n（0mn）的两圆O1和O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，O2与x轴，y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由38如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），A点坐标为（-1,0）OBOC ，（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.图1 图2试卷第9页，总9页参考答案1D【解析】试题分析：根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变；上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可故选D.考点：二次函数表达式2B.【解析】试题分析：把y=（x+h）2+7化成一般形式，然后和y=x2+2x+c的对应项的系数相同，据此即可求解y=(x+h)2+7=x2+2hx+h2+7则2h=2，h2+7=c因此：h=1，c=8故选B.考点：概率公式.3B【解析】分析：已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标解答：解：由y=（x+2）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2，3）故答案为B4B【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a0；x=-0，b0；图象与y轴交于负半轴，c0，即b+c0，反比例函数y=图象在一、三象限，正比例函数y=（b+c）x图象在二、四象限；故选B5B【解析】分析：观察图象和数据即可求出答案解答：解：y0时，即x轴下方的部分，自变量x的取值范围分两个部分是-1x1或x2故选B6A【解析】试题分析：根据题意画出函数图象解直观解答：如图，知，故选A考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.数形结合思想的应用7B【解析】试题分析：抛物线y(x1)2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值根据二次函数的性质，当x=1时，二次函数y(x1)2+2的最小值是2故选B.考点：本题考查二次函数的最值点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法【答案】C【解析】定点坐标为（-5，-7）.开口向下，故当x=-5时函数有最大值y=-7.故选C9A【解析】试题分析：由二次函数的图像知；顶点坐标的最小值为-2，而y=ax2+bx中的c为0，当ax2+bx+m=0时，即把函数的图像向下平移了2个单位，如向上平移2个单位，图像与x轴只有一个交点，此时的c=m,即函数的截距为-2，m=-2.考点：二次函数的图像及性质。点评：熟知以上性质，由已知易求之。本题属于基础题，难度不大，但容易出错。10C.【解析】试题分析：由得，点A的横坐标为1，不等式的解集是考点：二次函数与不等式（组）11A【解析】抛物线的对称轴是直线=1，所以点P（3，0）和点（-1,0）是对称点；则故选A12(1,1)【解析】因为y=（x-1）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，1）13【解析】答案不唯一，只要满足a0,对称轴x=2，对于c没有任何限制147【解析】此题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是2次，且二次项系数不为零，即；15【解析】试题分析：根据题意，点 P(m，n)关于原点的对称点Q的坐标为（-n,-m），点P(m，n) (m0)在函数yx2 + ax 3的图象上，点P关于原点的对称点Q也在此函数的图象上，所以，因为点P关于原点的对称点Q，所以m=n，即，解得m=考点：二次函数点评：本题考查二次函数，解答本题需要考生掌握关于原点对称的两个点的坐标的关系，点在函数图象上，则点的坐标满足函数的解析式16【解析】直线（p0）与x轴、y轴分别将于交于点A和点B，当y=0时，x= -p，当x=0时，y=p，A（-p，0）B（0，p）AB= =2p由题意抛物线y=ax2+bx+c过B点可得：p =c，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（， ），由ABC恰为等边三角形可知C点坐标为（-p，2p）， 解得b=17k-4【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数4+k0解：因为抛物线y=（4+k）x2+k的开口向下，所以4+k0，即k-4，故答案为k-41810【解析】试题分析：易知二次函数y=x2-6x+m对称轴为x=，顶点坐标为（3,1）把顶点坐标代入原函数式求出m=10考点：二次函数点评：本题难度中等，主要考查学生对二次函数顶点坐标公式的掌握。判断出最小值为顶点坐标y值为解题关键。19【解析】试题分析：抛物线，对称轴X=-2，开口向下，已知点A（x1,y1），B(x2,y2)，在抛物线上，且x1x22，所以点A、B都在抛物线对称轴的左边，y随X的增大而增大，所以y1y2考点：抛物线点评：本题考查抛物线，要求考生掌握抛物线的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向，单调性等，从而比较大小20只要写出一个可能的解析式【解析】分析：根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系和对称轴公式x=-可知解答：解：依题意有c2+bc+c=0（1），b=-4a=-4（2）（1）（2）联立方程组解得b=-4，c=0或3则二次函数的解析式为y=x2-4x或y=x2-4x+3点评：待定系数法是一种求未知数的方法一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值21505766.5.【解析】解：P1， P2，P2011将线段OA分成2012等份，OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P2010P2011=1，过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，-x2+2012=1，解得x2=2011，S12=同理可得=505766.5.22当k=1时，y= x23x+1;当k=0时y=x+1, 图象略23见解析24只要m的值不大于-1即可【解析】（1）当k=1时，y= x23x+1;当k=0时y=x+1, 图象略(2) 对任意实数k, 函数的图象都经过点（-2，-1）和点（0,1）证明；把x=-2代入函数ykx2(2k1)x1，得y=-1，即函数ykx2(2k1)x1的图像经过点（-2，-1）；把x=0代入函数ykx2(2k1)x1，得y=1，即函数ykx2(2k1)x1的图像经过点（0,1）（3）当k为任意负实数，该函数的图像总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近-1，所以只要m的值不大于-1即可。25(1)y=-，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m、n的值分别为 5，-5【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入yx2bxc，得：4b+c-16=0，b+c-1=3 ，解得：b=4 ， c=0。所以抛物线的表达式为：。y=-，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）。（2） 由题可知，E、F点坐标分别为（4-m，n），（m-4，n）。三角形POF的面积为：1/24|n|= 2|n|，三角形AOP的面积为：1/24|n|= 2|n|，四边形OAPF的面积= 三角形POF的面积+三角形AOP的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5。（因为点P(m,n)在第四象限，所以n0)故所求m、n的值分别为 5，-5。26（1）y是x的一次函数，；（2）；（3）以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润，最大利润是1350元.【解析】试题分析： （1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润=每个许愿瓶的利润销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润试题解析：（1）由图象知：y是x的一次函数 设 图象过点（10，300），（12，240） 当时，；当时，即点（14，180），（16，120）均在函数的图象上与之间的函数关系式为：（不把另两对点代入验证不扣分）（2） 即W与x之间的函数关系式为：（3）由题意得6(30x600)900解之得：x15 而 300当x13时，W随x的增大而减小又x15当x=15时，W最大=1350即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润，最大利润是1350元.考点:二次函数的应用27（1）（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解析】28（1）A（），B（6，0），C（-1，0）（2） 【解析】（1）先根据顶点坐标的公式求出顶点A，再令，解关于x一元二次方程，即可求B、C两点的坐标；（2）ABC的面积等于ABOC的一半29【解析】此题考查二次函数的知识思路：已知三点可以用待定系数法设二次函数的解析式为：解得：，所以解析式为答案：点评：求二次函数解析式是常考试题30（1）；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以，代入即可月销售量和销售利润；（3）令，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可试题解析：（1）每个书包涨价x元，答：y与x的函数关系式为：；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-105=550（件），销售利润=（元）；（3）在中，令，得：，或，当时，销售量=6001010=500，此时销售价=40+10=50（元），当时，销售量=6001040=200300，不合题意，应舍去；（4），当x=25时，y 有最大值12250，即当书包售价为65元时，月最大利润为12250元考点：二次函数的应用31（）依题意, , 解得b=-2. 将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得 . 解得 c=3. 所以抛物线的解析式为. （）抛物线 与y轴交于点A， A(0, 3). B(3, 6),可得直线AB的解析式为. 设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). . . 解得 . 点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). （）如图，由 PA=PO, OA=c, 可得.抛物线的顶点坐标为 , . . 抛物线, A（0，），P（，）, D（,0）. 可得直线OP的解析式为. 点B是抛物线与直线的图象的交点， 令 . 解得. 可得点B的坐标为（-b，）. 由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为. 将点D(，0)的坐标代入，得. 平移后的抛物线解析式为. 令y=0, 即. 解得. 依题意, 点C的坐标为（-b，0）. BC=. BC= OA.又BCOA， 四边形OABC是平行四边形. AOC=90， 四边形OABC是矩形. 【解析】（I）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式；（II）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，），根据列出方程，并解方程，从而得出M点坐标；（III）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据AOC=90得出四边形OABC是矩形。32（1）y=(x+1)4；（2）6【解析】（1）设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由题意可得 h=-1,k=-4,然后把点（0，-3）代入得a=1,故二次函数解析式为y=(x+1)4； （2）二次函数与X轴交点坐标为（-3,0）、（1,0），ABC的面积.=33（1）；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析，【解析】试题分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得ABF=CBA，然后判断出是否等于即可作出判断试题解析：（1）设函数解析式为：，由函数经过点A（4，0）、B（1，0）、C（2，6），可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE=，CE=，故可得出AE=CE；（3）相似理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为（，），则BF=，又AB=5，BC=，又ABF=CBA，ABFCBA故以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似，=考点：二次函数综合题34(1) y=2x2+120x1600，20x40；(2) 30元/千克, 200元；（3）25.【解析】试题分析：（1）根据销售利润y=（每千克销售价每千克成本价）销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；（2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；（3）先把y=150代入（1）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值试题解析：（1）y=w（x20）=（x20）（2x+80）=2x2+120x1600，则y=2x2+120x1600由题意，有，解得20x40故y与x的函数关系式为：y=2x2+120x1600，自变量x的取值范围是20x40；（2）y=2x2+120x1600=2（x30）2+200，当x=30时，y有最大值200故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程2x2+120x1600=150，整理，得x260x+875=0，解得x1=25，x2=35物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，x2=35不合题意，应舍去故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元考点: 1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用35根据题意可知：.(2分) 抛物线顶点坐标是,且经过设抛物线的解析式为：.(3分)把代入解析式 得：.(4分)抛物线的解析式为：.(5分)【解析】略36（1）等腰（2）（3）存在， 【解析】解：（1）等腰 （2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点满足 （3）存在 如图，作与关于原点中心对称， 则四边形为平行四边形 当时，平行四边形为矩形 又， 为等边三角形 作，垂足为 ， ， 设过点三点的抛物线，则 解之，得 所求抛物线的表达式为37解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0mn），解得。两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式为：y=x。（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，Q（1，4）。如图1，连接O1Q， O2Q。Q（1，4），O1（m，m），根据勾股定理得到：。又O1Q为小圆半径，即QO1=m，=m，化简得：m210m+17=0 同理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根，解得：。0mn，m=5，n=5+。O1（m，m），O2（n，n），d=O1O2=。（3）不存在。理由如下：假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，开口向下，a0。如图2，连接PQ。由相交两圆性质可知，PQO1O2。P（4，1），Q（1，4），。又O1O2=8，。又O2R=5+，O1M=5，MR=，即抛物线在x轴上截得的线段长为1。抛物线过点P（4，1），Q（1，4），解得。抛物线解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=。在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化简得：8a210a+1=0，解得a=。可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾。不存在这样的抛物线