高等数学习题册下(同济七版).pdf

本习题册根据内蒙古农业大学最新实际教学情况组编 高等数学习题册下 增补版 适用于工科二本考试类型 本习题册包括 章知识点例题精析 同步练习题 同步测试卷 阶段作业题 历年期末试卷真题 参考答案 注 本习题册仅供学习交流 无任何商业盈利意图 样 品 第八部分 向量代数与空间解析几何 总结精析 一 向量代数 问题 1向量的概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量 向量a的大小称为向量a的模 记作a 向量 xyzxyz aa ia ja ka aa 的模 222 xyz aaaa 模为 1 的向量称为单位向量 与x轴 y轴 z轴同向的单位向量分别记作i j k 若a为非零向量 则 a a e a 是与a同向的单位向量 若向量a与b模相等 方向相同 经平行移动能够重合 则称向量a与b相等 记作向量ab 以 1111 Mx y z为起点 2222 Mxyz为终点的向量 12212121 M Mxx yy zz 以原点为起点 A x y z为终点的向量OA称为点A的向量 OAxiyjzkx y z 2 向量的夹角 向量的方向角与方向余弦 向量a与b的正方向的夹角 称为向量a与b的夹角 规定 0 向量a与x轴 y轴 z轴正方向 i j k 的夹角 称为向量a的方向角 方向角的余 弦cos cos cos 称为向量a的方向余弦 向量 xyzxyz aa ia ja ka aa 的方向余弦 cos cos cos y xz a aa aaa 222 coscoscos1 将向量a单位化 cos cos cos a a e a 可以求出向量的方向余弦 例题 2 已知两点 1 4 2 1 M和 2 3 0 2 M 求向量 12 M M的模 方向余弦和方向角 解 12 1 2 1 M M 12 2M M 与 12 M M同向单位向量 12 12 12 1 222 M M M M 方向余弦 121 cos cos cos 222 方向角 23 343 样 品 问题 2向量的运算 答进行向量运算时 一要注意运算的可行性 二要掌握向量的运算律 设向量 xyzxyz aa ia ja ka aa xyzxyz bb ib jb kb b b 1 向量的加法ab 由平行四边形法则或者三角形法则给出 其坐标运算为 xxyyzz ababab ab 2 数乘向量a 是一个向量 其模aa 其方向规定为 当0 时 a 与a同向 当0 时 a 与a反向 其坐标运算为 xyz aaaa 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算 它们的运算律 交换律 结合律 数乘对加法的分配律 和 坐标运算与线性代数相同 3 向量的数量积cosa ba b 其中 为向量a与b的夹角 其坐标运算为 xxyyzz a ba ba ba b 向量的数量积的运算律 交换律 对加法的分配律 和坐标运算与线性代数相同 4 向量的向量积ab 是一个向量 其模sinaba b 其方向垂直于 a b且 a b ab 符合右手规 则 其坐标运算为 xyz xyz ijk abaaa bbb 进行向量运算时 尤其要注意向量运算和实数运算的差别 向量的向量积不满足交换律 即abba 0a b 即0a 或者0b 0ab 0a 或者0b 向量的数量积和向量积不满足消去律 即a ba c bc abac bc 例题 1 下列命题是否正确 abba 若0a b 则0a 或者0b 若0ab 则0a 或者0b 若a ba c 则bc 若abac 则bc 若0a 且a ba c abac 则bc 解 不正确 因为向量积不满足交换律 正确的是abba 不正确 因为数量积 向量积都没有零因子律 0a b 不能推出0a 或者0b 0ab 不能推出 0a 或者0b 样 品 不正确 因为数量积 向量积都没有消去律 a ba c 不能推出bc abac 不能推出bc 正确 因为 0 a ba cabcabc 0 abacabcabc 又0a 故0bc 从而bc 2 设 a b c为单位向量 且0abc 求a bb cc a 解由题设知 向量 a b c构成一个边长为 1 的正三角形 故 21 coscos 32 a ba b 类似可得 1 2 b c 1 2 c a 所以a bb cc a 3 2 3 设 2abc 则 abbcca 解 abbccaabacbbbc ca 000000 4abcbca 问题 3向量在几何上的应用 答 1 由数量积的定义知 2 a aa cos a b a b 0aba b 因此可以用数量积 求向量的模 长度 求两个向量的夹角 讨论向量的垂直关系 2 由向量积的定义知 以向量 a b为邻边平行四边形的面积Sab aba abb 0 ababR ba 或者 y xz xyz a aa ab bbb 因此可以用向量积 求平行四边形的面积和三角形的面积 判断三点共线 三点 A B C共线的充要条件是0ABAC 求一个同时垂直于 a b的向量 3 由混合积的几何意义知 混合积 abc的绝对值等于以向量 a b c为共点棱的平行六面体的体积 样 品 因此可以用混合积 求平行六面体的体积和四面体体积 判断四点共面 四点 A B C D共面的充要条件是 0ABACAD 4 向量在平面 直线问题中有广泛应用 推导平面的点法式方程 推导直线的点向式 对称式 方程 求平面与平面的夹角 法向量的夹角 直线与直线的夹角 方向向量的夹角 直线与平面的夹角 方 向向量与法向量夹角的余角 讨论平面与平面 直线与直线 直线与平面的平行 垂直关系 推导点到平面的距离公式 推导点到直线的距离公式 求两条异面直线的公垂线的长 解决平面几何 立体几何问题 推导余弦定理 例题 1 若1 4ab 且 3ababa 则a与b的夹角 解 3 3abaabaab aa a 即 2 0cos3b aa 故 2 33 cos 4 a a b 3 arccos 4 2 设 3 75 abab 4 72 abab 求a与b的夹角 3 解 求两向量的夹角 2 2 3 75 3 75 0716150ababababaa bb 2 2 4 72 4 72 073080ababababaa bb 两式相减 得 22 462302a bbba b 代入上式 得 2 2aa b 1 cos 23 a b a b 3 若3 1ab 且a与b的夹角 6 求 ab 与ab 的夹角 2 arccos 7 以2ab 与3ab 为邻边的平行四边形的面积 5 3 2 解 设ab 与ab 的夹角为 则 cos abab ab ab 样 品 2 2 2ababa ab bab 由余弦定理 得 22 25 2cos7 6 ababa b 22 2 2cos1 6 ababa b 故 2 cos 7 2 arccos 7 以2ab 与3ab 为邻边的平行四边形的面积为 5 3 2 3 5 55sin 2 ababababa b 4 已知点 1 0 0 A和 0 2 1 B 试在z轴上求一点C 使ABC 的面积最小 解设 0 0 Cz为z轴上任意一点 则 121 2 1 2 10 ijk ABACz z z ABC 的面积的面积 2222 1111124 4 1 45255 222255 SABACzzzzz 当 1 5 z 时 S最小 故所求点为 1 0 0 5 C 5 证明三角形的三条高线交于一点 证证如图 已知 ADBC BEAC 要证COAB CO ABCBBOACCBCB ACCB CBBO ACBO CB 又0BO AC 故 0CO ABCBACCBBOCB AO 所以COAB 二 平面与直线 问题 4平面的法向量与平面方程 答主要内容有 1 平面的法向量任何垂直于平面的非零向量 2 平面的方程 平面的点法式方程过点 000 xyz且法向量为 nA B C 的平面方程为 样 品 000 0A xxB yyC zz 平面的一般式方程0AxByCzD 平面的截距式方程1 xyz abc 3 求平面方程的方法 利用平面的点法式方程 关键是找出平面上一点和平面的法向量 这是求平面方程的基本方法 利用平面的一般方程 这种方法主要用于求特殊位置的平面方程 利用过直线L 1111 2222 0 0 AxB yC zD A xB yC zD 的平面束方程 11112222 0AxB yC zDA xB yC zD 关键是由题设条件确定其中的参数 利用求点的轨迹的一般方法 例题 1 经过点 1 2 1 P 并且与直线L 2 34 1 xt yt zt 垂直的平面方程为 340 xyz 2 求与直线 1 L 1 1 2 x yt zt 和直线 2 L 121 121 xyz 都平行且经过坐标原点的平面方程 0 xyz 3 求经过点 1 2 1 P 和直线L 2 34 1 xt yt zt 的平面方程 6350 xyz 4 求经过直线L 10 220 xy xyz 且与平面20 xyz 垂直的平面方程 34220 xyz 5 设一平面通过从点 1 1 1 到直线 10 0 yz x 的垂线 且与平面0z 垂直 求此平面的方程 解 求平面方程 利用平面束方程 先求垂线方程 直线 10 0 yz x 的方向向量011 0 1 1 100 ijk s 通过点 1 1 1 垂直于直线 10 0 yz x 的平面方程为0 1 1 1 0 xyz 即0yz 由 10 0 0 yz x yz 解得垂足为 1 1 0 2 2 从点 1 1 1 到直线 10 0 yz x 的垂线的方向向量为 1 1 1 2 2 垂 线 方 程 为 111 211 xyz 即 210 210 xy xz 设 过 垂 线 的 平 面 束 方 程 为 21 21 0 xyxz 即 1 2210 xyz 要它与平面0z 垂直 只要它们的法向量 垂直 即0 故所求平面方程为210 xy 6 求通过点 3 0 0 A和 0 0 1 B且与xoy面成 3 角的平面方程 解 求平面方程 利用截距式方程 设所求平面方程为1 3 xy z b 其法向量 1 1 1 3 n b 它与xoy 面的法向量 0 0 1 k 成 3 角 故 2 11 cos 3211 1 9 n k n k b 解得 3 26 b 代入平面方程并化简 得26330 xyz 或者26330 xyz 问题 5直线的方向向量与直线方程 答主要内容有 1 直线的方向向量任何平行于直线的非零向量 2 直线的方程 直 线的 点向 式 对 称式 方 程过 点 000 xyz且 方向 向量 为 sm n p 的 直线 方程 为 000 xxyyzz mnp 直线的参数式方程 0 0 0 xxmt yynt zzpt 直线的一般式 面交式 方程 1111 2222 0 0 AxB yC zD A xB yC zD 3 求直线方程的方法 利用直线的点向式 对称式 方程 关键是找出直线上一点和直线的方向向量 这是求直线方程的基本 方法 利用直线的一般方程 关键是找出直线所在的两个平面 例题 1 经过点 2 3 1 P 并且与平面 3560 xyz 垂直的直线方程为 231 315 xyz 2 求过点 1 0 4 且平行于平面34100 xyz 又与直线13 2 z xy 相交的直线的方程 14 161928 xyz 解设所求直线的方向向量为s 则s垂直于平面34100 xyz 的法向量 3 4 1 n 又所求直线在过点 1 0 4 与直线13 2 z xy 的平面上 该平面的法向量 1 112 10 4 3 034 ijk n 1 341 16 19 28 1043 ijk snn 故所求直线方程为 14 161928 xyz 3 求经过点 2 3 1 P 并且与直线L 12 345 xyz 垂直相交的直线方程 34510 27413530 xyz xyz 问题 6如何求平面与平面的夹角 直线与直线的夹角 直线与平面的夹角 如何讨论平面 与平面 直线与直线 直线与平面的平行 垂直关系 答平面与平面的夹角定义为它们的法向量的夹角 直线与直线的夹角定义为它们的方向向量的夹角 直 线与平面的夹角定义为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角 并规定这些夹角取值范围为 0 2 平面与平面平行的充要条件是它们的法向量平行 平面与平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直 直线与直线平行的充要条件是它们的方向向量平行 直线与直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直 直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线与平面垂直的充要条件是直线的 方向向量与平面的法向量平行 综上所述 平面与平面 直线与直线 直线与平面的夹角 垂直 平行问题均转化为它们的法 向量和方向向量的夹角 垂直 平行问题 例题 1 直线 158 121 xyz 与直线6 23xyyz 的夹角为 3 解直线 158 121 xyz 的方向向量 1 1 2 1 s 直线6 23xyyz 的方向向量 2 110 1 1 2 021 ijk s 12 12 31 cos 26 6 s s s s 故这两条直线的夹角 3 2 直线3210 21030 xyzxyz 与平面4220 xyz 的位置关系 是 垂直 解直线3210 21030 xyzxyz 的方向向量 132 28 14 7 2110 ijk s 平面4220 xyz 的法向量 4 2 1 n ns 故直线垂直于平面 问题 7如何求点到平面的距离 如何求点到直线的距离 答1 点 000 P xyz到平面0AxByCzD 的距离 000 222 AxByCzD d ABC 2 点 000 P xyz到直线l的距离公式 0 P Ps d s 其中 0 P为直线l上一点 s为直线l的方向向量 其几何意义是以 0 P P s为邻边的平行四边形的高 例题 1 求点 2 1 0 到平面3450 xyz 的距离d 解由点到平面的距离公式 得 222 3 24 1 5 010 2 5 2 345 d 2 求点 1 1 1 P到直线3 224xyzxyz 的距离 三 曲面与曲线 问题 8何谓旋转曲面 如何求旋转曲面方程 答旋转曲面是曲线绕定直线旋转所形成的曲面 该曲线称为旋转曲面的母线 定直线称为旋转曲面的轴 求旋转曲面方程的方法有 利用已知结论 yoz面上的曲线 0f y z 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 22 0fxyz yoz面上的曲线 0f y z 绕y轴旋转所得旋转曲面方程为 22 0f yxz 例如yoz面上的曲线 2 zy 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 22 zxy 绕y轴旋转所得旋转曲面方程为 222 xzy 利用求曲面方程的一般方法 例题 1 求直线 11 111 xyz L 在平面 210 xyz 上的投影直线 0 L的方程 并求 0 L绕y轴旋转一周 所成曲面方程 解 L的方程为 10 10 xy yz 过L的平面束 1 方程为1 1 0 xyyz 即 1 10 xyz 令 1 即法向量 1 nn 得1 1 20 故2 所以投影面方程为3210 xyz 故投影直线 0 L的方程为 210 3210 xyz xyz 过曲面 上任一点 P x y z作垂直于y轴的平面 交y轴于 0 0 Qy 交 0 L于 00 R xy z 由 PQQR 得 2222 00 xzxz 又 00 00 210 3210 xyz xyz 解得 00 1 2 2 y xy z 代入 得旋转曲面 方程 222 4174210 xyzy 2 求直线L 01 xybz a 绕z轴旋转一周所成的旋转曲面 的方程 22222 xya zb 3 设 1 0 0 0 1 1 AB 则线段AB绕z轴旋转一周所成曲面与所围立体体积为 解直线AB的方向向量 1 1 1 s 方程为 1 111 xyz 即 1 xz yz 旋转曲面垂直于z轴的截面 面积 22 1 A zzz 所求旋转体体积 11 22 00 2 1 3 VA z dzzz dz 问题 9何谓柱面 母线平行于坐标轴的柱面方程有何特点 答柱面是直线沿曲线平行移动所形成的曲面 该曲线称为柱面的准线 该直线称为柱面的母线 母线平 行于z轴的柱面方程为 0F x y 方程中不含z 问题 10曲线与曲线在坐标面上的投影 答空间曲线可以看作两个曲面的交线 1 曲线方程 曲线的一般方程 0 0 F x y z G x y z 曲线的参数方程 xx t yy t zz t 2 空间曲线在坐标平面上的投影 空间曲线 的方程为 0 0 F x y z G x y z 由曲线方程消去z得到投影柱面方程 0H x y 从而得到 在 xoy面上的投影方程 0 0 H x y z 例题求空间曲线 22 22 2 zxy zxy 在xoy面上的投影 解由方程组 22 22 2 zxy zxy 得 2222 2xyxy 解得 22 1xy 22 2xy 舍去 投影柱面为 22 1xy 投影曲线为 22 1 0 xy z 问题 11二次曲面 椭球面 抛物面 双曲面和椭圆锥面 答考纲要求了解常用二次曲面的方程及其图形 用截痕法 椭球面的标准方程 222 222 1 xyz abc 抛物面的标准方程 22 22 xy z pq 0pq 时为椭圆抛物面 0pq 时为双曲抛物面 双曲面的标准方程 222 222 1 xyz abc 单叶双曲面 222 222 1 xyz abc 双叶双曲面 椭圆锥面的标准方程 222 222 0 xyz abc 例题 1 方程 22222 xya zb 表示何种曲面 答当0ab 时 22222 xya zb 表示单叶双曲面 当0 0ab 时 222 xyb 表示圆柱面 当 0 0ab 时 2222 0 xya z 表示圆锥面 2 求直线 0 xb bc b yz c 绕z轴旋转所得旋转面的方程 它表示什么曲面 解设 P x y z为旋转面上任一点 过该点作z轴的垂面 交z轴于 0 0 Qz 交直线 xb b yz c 于 00 R xyz 则QPQR 所以 2222 00 xyxy 又 0 0 xb b yz c 代入上式 得旋转面的方程 222 222 1 xyz bbc 这是旋转单叶双曲面 第八章向量代数与空间解析几何作业题 专业 学号 姓名 分数 一 选择题 1 轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量yakjia A kjiBkji 3 3 3 3 kiDkiC 2 2 2 2 2 已知向量 a b的模分别为4 a 2 b且24 ba 则 ba A 2 2 B 22C 24D 2 3 设向量AB与三坐标轴正向夹角依次为 当cos0 时 有 A ABxOy面 B AByOz面 C ABxOz面 D AByOz 面 4 表示方程 1 3694 222 y zyx A 椭球面B 1 y平面上的椭圆 C 椭圆柱面D 椭圆柱面在0 y上的投影曲线 5 平面320 xy 的位置是 A 平行于z轴 B 斜交于z轴C 垂直于z轴 D 通过z轴 6 直线 2 4 1 3 3 2 zyx 与平面423 zyx的关系是 A 平行B 既不平行也不垂直C 垂直D 直线在平面上 7 如果平面250 xyz 和31270 xyz 平行 则 A 32120 B 10 C D 无法确定 的关系 8 平面23490 xyz 与234150 xyz 的距离为 A 6 29 B 24 29 C 24 29 D 6 29 二 填空题 1 设a b c 两两互相垂直 且abc 121 则向量 cbas的模等于 2 上的投影等于在向量向量1 2 24 1 1 ab 3 xoy平面曲线1 49 22 yx 绕x轴旋转所形成的旋转曲面方程为 4 球面9 222 zyx与平面1 zx的交线在xoy面上的投影方程为 5 过x轴及点 1 1 1 的平面方程为 6 直线 123 141 xyz 与 123 221 xyz 的夹角为 7 平面 0522 zyx 与 xoy 坐标面夹角为 三 判断题 1 垂直的充要条件与是 baba0 2 平行的充要条件与是 baba0 3 方程1 22 yx在空间几何中表示母线平行于z轴的圆柱面 4 方程 2 222 yxz 在空间几何中表示椭圆锥面 5 点 3 2 1 关于xoy坐标面的对称点坐标 3 2 1 四 计算题 1 已知向量a b满足条件1 a 1 b 向量a与b的夹角为 2 且有bam 2 ban 3 求向量m与n的夹角 2 1 5 2 1 3 2 zyx xoz又垂直于直线且通过原点上一直线在坐标面求它的对称式方程 3 已知直线L过点 0 1 0 2 M 且与平面 3460 xyz 平行 又与直线 1 L 32 141 xyz 垂直 求直线L的方程 4 求通过点 2 1 3 且通过直线 12 3 5 4zyx 的平面方程 5 求过直线 3210 23220 xyz xyz 且垂直于平面2350 xyz 的平面方程 第九部分 多元函数微分法及其应用各种 总结精析 1 求函数的定义域 略 2 求函数的表达式 略 如 已知 f xy xy 求 f x y 3 计算函数的极限 可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理 4 证明多元函数极限不存在 通常是取两条不同的路径 计算出函数在这两条路径上的极限不等即可 也可设 ykx ykx 2等 证明极限值和k 有关 如 xy xy xyf x y xy 22 22 22 0 00 5 讨论分界函数在分解点的连续性 只需按照连续的定义 lim xx yy f x yf xy 0 0 00 6 计算函数 zf x y 的偏导数 只需将其中一个变量看作常数 对另一个变量求导 7 计算分界函数在分界点的偏导数 一般需用偏导数的定义做 lim x x x x yy f xx yf xy z x 0 0 0000 0 lim x xy y yy f xyyf xy z y 0 0 0000 0 8 复合函数求偏导数口诀 分叉相加 分段相乘 单路全导 多路偏导 9 隐函数求偏导数 x y Fdy F x y dxF 0或 y x F dy dxF y x zz F Fzz F x y z xFyF 0或 y x F dy dxF 假设 zf x y F x y u v G x y u v 0 0 方程 组两边分别对 x y求偏导数 再用消元法求解即可 假设 uu x y vv x y 10 全微分的计算 xy zf x ydzz dxz dy xyz uf x y zduu dxu dyu dz zf x y 全微分存在的判断方法一 xy zz存在且连续 zf x y 全微分存在的判断方法二 需要证明 lim xy zzxzy 0 0 其中 zf xx yyf x y xy 22 11 计算二阶偏导数 xx z是 x z对x的偏导数 xy z是 x z对y的偏导数 抽象二阶偏导数的计算 以 zf xy xy 为例 要注意 f 1 表示z对中间变量 uxy 的偏导数 f 2 表示z对中间变量 vxy 的偏导数 而 f 1 和 f 2 依然是和 zf xy xy 一样的复合结构 12 求曲面 F x y z 0在点 xy 00 的切平面方程 xyz F xyzxxF xyzyyF xyzzz 000000000000 0 1 xyy F xyzF xyzF xyz 000000000 称为曲面在点 xy 00 处的法向量 求曲面 F x y z 0在点 xy 00 的法线方程 xyz xxyyzz F xyzF xyzF xyz 000 000000000 特殊地 曲面 zf x y 在点 xy 00 的切平面方程的求法是 设 F x y zf x yz 在应用公式 1 即可 最好将结果记住 xy fxyxxfxyyyzz 0000000 0 曲面 zf x y 在点 xy 00 的法线方程的求法是 xy xxyyzz fxyfxy 000 0000 1 13 空间曲线 xx t yy t zz t 在点tt 0处的切线方程是 xx tyy tzz t x ty tz t 000 000 这是切点 这是切平面 这是法线 空间曲线 xx t yy t zz t 在点tt 0处的法平面方程是 x txx ty tyy tz tzz t 000000 0 14 求函数 zf x y 在点 xy 00 沿方向 L a b的方向导数 x x yy z L 0 0 x xxy x x yy yy zab zz L abab 0 0 0 0 2222 xy ab fxyfxy abab 0000 2222 15 求函数 zf x y 在点 xy 00 的梯度 gradf xy 00 xyxy gradf xyfxyfxyfxy ifxyj 0000000000 16 求函数的极值 从驻点 偏导数不存在点和边界中选取 17 判断极大值和极小值 见书 P110 面定理 2 17 求最值 对于实际问题 若计算出只有一个驻点 则一般该点就是所求的最值点 这是方向 L a b的单 位方向向量 这是 gradf xy 00 第九章多元微分学作业题 专业 学号 姓名 分数 一 单项选择题 1 函数 zf x y在 00 xy处偏导数存在是 f x y在该点可微的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充分必要条件D 既非充分又非必要条件 2 曲面 22 zxy 在点 1 2 处的切平面方程为 A 227xyz B 27xyz C 7xyz D 220 xyz 3 可微函数 y f x yxe 在向量 3 4 a 上的方向导数为 A 1 34 5 y x e B 34 yy exe C 35 yy xee D 43 y x e 4 设函数 zf x y 的全微分为d 2 d 2 dzxyxyxy 则 22 2 zz yx y A 1B xC 3D xy 5 曲线 222 0 0 xyz xyz 在点 1 2 1 处的切向量为 A 1 2 1 B 1 0 1 C 1 2 1 D 1 0 1 二 填空题 1 0 0 lim 1 1 x y xy xy 2 若 3 cos 1 1 x f x yxyy y 则 1 1 x f 3 函数 2 zf x yx y在点 2 1 处的全微分是 4 曲线cos sin xayazb 在点 0 0 a处的切向量为 5 函数 2 zx y 在附加条件1xy 下的极大值点为 样 品 三 综合题 1 求函数 33 3 zxyxy 的极值 2 求函数 2 uxy z 在点 0 1 1 2 P 处变化最快的方向 并求沿这个方向的方向导数 3 设 22 zuvuv 而uxy vxy 求 2 zz xx y 4 某直线L过原点 且与曲面 222 22xyz 在点 1 0 1 处的法向量垂直 又与平面20 xyz 平行 求直线L的方程 5 证明 由2sin 23 23 xyzxyz确定的函数 zz x y 满足 1 zz xy 第十部分 重积分解题方法归纳 总结精析 一 重积分的概念 性质一 重积分的概念 性质 对于一些和式极限问题 有时可根据定义 将其转化为重积分 再利用重积分的计算方法求 解 考试在选择题或填空题中 直接考查重积分的性质 常考的性质一般有 比较性质 对称性 质 中值定理等 例例 1 22 11 lim nn n ij n ni nj 11 2 0000 11 1 1 1 1 xx AdxdyBdxdy xyxy 1111 2 0000 11 1 1 1 1 CdxdyDdxdy xyxy 解解由于 2222 1111 1 nnnn ijij nn ni njninj 而 1 0 11 1111 limlim 1 1 nn nn ii dx i ninx n 1 222 0 2 11 111 limlim 1 1 nn nn jj n dy j njny n 因此 11 222 00 11 1 lim 1 1 nn n ij n dxdy ni njxy 故选 D 方法技巧 当遇到黎曼和的形式时 经常考查积分的定义式 在积分中 积分变量的符 号是任意的 可根据题目的要求选取 二 二 重积分的计算方法重积分的计算方法 当给定被积函数和积分区域时 重积分是一个确定的数值 对于简单的函数 用性质或几何意 义即可求得积分值 对一般函数 需要化为累次积分计算 1 1 重积分的计算方法归纳如下重积分的计算方法归纳如下 1 利用重积分的性质计算重积分 2 利用重积分的几何意义 针对二重积分 计算重积分 3 直角坐标系下计算重积分 4 极坐标系 柱面坐标系和球面坐标系下 计算重积分 5 利用换元法计算重积分 2 2 在具体计算时 常用到如下一些结论 在具体计算时 常用到如下一些结论 1 若积分区域D是X 或Y 型域 即 12 axb D xyx 或 12 cyd D yxy 则二重积分 2 1 bx ax D f x y ddxf x y dy 或 2 1 dy cy D f x y ddyf x y dx 2 若极点O在积分区域D内或边界上 即 02 0 D 则二重积分 2 00 cos sin cos sin DD f x y dfd ddfd 3 若极点O在积分区域D外 即 12 D 则二重积分 2 1 cos sin cos sin DD f x y dfd ddfd 4 若积分区域 12 xy x y z z x yzzx yx yD 或 12 yz x y z x y zxxy zy zD 12 zx x y z y z xyyz xz xD 则三重积分 投影法 2 1 xy zx y zx y D f x y z dvdxdyf x y z dz 或 2 1 yz xy z xy z D f x y z dvdydzf x y z dx 2 1 zx yz x yz x D f x y z dvdzdxf x y z dy 5 若积分区域 z x y z azb x yD 或 x x y z cxdy zD y x y z myn z xD 则三重积分 截痕法 z b a D f x y z dvdzf x y z dxdy 或 x d c D f x y z dvdxf x y z dydz y n m D f x y z dvdyf x y z dzdx 6 若积分区域 12 O z zzzD 或 12 O x xxxD 12 O y yyyD 则三重积分 柱面坐标 cos sin f x y z dvfzd d dz 2 1 cos sin O z z D d dfz dz 或 cos sin f x y z dvfzd d dz 2 1 cos sin O x x D d dfx dx cos sin f x y z dvfzd d dz 2 1 cos sin O y y D d dfy dy 3 3 计算重积分的步骤 计算重积分的步骤 1 二重积分画出积分区域D的草图 三重积分想象出积分区域 的图形 2 选取坐标系 依据D或 的形状和被积函数 f x y或 f x y z形式 3 选择积分次序 4 确定累次积分的上 下限 分别计算定积分 例例 2设 222 0Dx y xyaa 若 222 D axy dxdy 则 a 333 331 1 242 ABCD 解解由于被积函数 222 zaxy 是球心在原点 半径为a的上半个球面 根据二重积分的 几何意义知 222 D axy dxdy 等于以D为底 222 zaxy 为顶的立体的体积 即 2223 1 4 2 3 D axy dxdya 因此 3 3 2 a 故选 B 方法技巧 当被积函数是我们比较熟悉的曲面时 首先要考虑二重积分的几何意义 本题 也可直接利用极坐标计算二重积分 例例 3设 1Dx yxy 计算二重积分 D xy dxdy 解解积分区域D如图 10 35 所示 它关于 x轴 y轴及原点对称 1 D为D在第一象限部分 DDD xy dxdyx dxdyydxdy 对于二重积分 D x dxdy 由于被积函数对变量x和y 均为偶函数 由二重积分的对称性知 1 4 DD x dxdyxdxdy 对于二重积分 D ydxdy 由于被积函数对y为奇函数 由二重积分的对称性知0 D ydxdy 故 1 11 00 44 x DD xy dxdyxdxdydxxdy 1 0 2 4 1 3 xx dx 方法技巧 当积分区域关于x轴或y轴对称时 首先要考虑被积函数是否存在对变量x和 y的奇 偶性 若存在 可以先化简 再计算 这样会简化运算过程 本题也可直接利用直角坐 标计算二重积分 例例 4设 22 1 1Dx y xyxy 计算二重积分 22 D xy dxdy xy 解解积分区域D如图 10 36 所示 由于积分区域 与圆有关 被积函数中含有 22 xy 因此采用极坐标 22 11xy 1 1 sincos xy 所以 1 1 0 sincos2 D 故 222 cossin cossin DDD xy dxdyd dd d xy 1 22 1 00 sincos cossin cossin1 2 2 ddd 1xy x 1 D 0 1 o y 图 10 35 1 0 22 1xy 1xy x D 1 o y 图 10 36 1 yx 2 yx x D 图 10 38 o y 方法技巧 当积分区域与圆 圆 圆环 扇形 有关 被积函数中含有 22 xy x y 或 y x 时 一般计算二重积分时 会考虑利用极坐标 三 交换积分次序三 交换积分次序 交换积分次序的题目 在考试中选择题和填空题居多 且大多数为二重积分 题型可分为以 下几类 1 给出一种次序的二次积分 要求交换成另一种次序的二次积分 2 给出一种次序的二次积分 要求计算此积分 一般按给定次序不能进行计算 3 计算一个二重积分 只有一种次序的二次积分可以计算 4 直角坐标系下的二次积分与极坐标系下的二次积分互相转化 5 证明一个二次积分等于一个定积分时 需要先交换二次积分 的积分次序 例例 5计算 sin D x Idxdy x 其中积分区域D是由直线 yx及抛 物线 2 yx围成的闭区域 解解积分区域D如图 10 38 所示 积分区域既是X型又是Y型区域 但被积 函数为 sin x y x 若对x积分时 不能得到原函数 故化为二次积分时 只能先对y后对x积分 故 2 11 00 sinsin 1 sin1 sin1 x x D xx Idxdydxdyxxdx xx 方法技巧 二重积分用任何次序都可转化为二次积分 但并不代表用任何次序的二次积 分都可以求出结果 因此 做题时 若一种次序的二次积分计算非常繁琐 就需要考虑换一种积 分次序试一试 尤其当被积函数中含有 sin x x 2 x e等函数时 要特别注意 例例 6证明 211 000 y yx dye f x dxeedx 证证在左边的二次积分中 由于被积函数含有 未知函数 f x 而积分变量又是x 因此不能按给 定次序求出定积分 需要交换积分次序 首先还原成 二重积分的积分区域D 如图 10 39 所示 1 1 2 yx x D 图 10 39 o y 左边 22 11111 0000 y yyy xx dye f x dxdxe f x dyf x dxe dy 2 2 11 1 00 yx x f x edxeef x dx 右边证毕 四 四 重积分的几何应用和物理应用重积分的几何应用和物理应用 在几何上 二重积分可以求平面图形的面积 曲顶柱体的体积及空间曲面的面积等 三重积 分可以求空间区域的体积 在物理上 重积分可以求物体的质量 质心 形心 坐标及转动惯量等 在具体计算时 常用到如下一些结论 在具体计算时 常用到如下一些结论 1 D dA D的面积 2 D f x y dVDf x y以 为底 为顶的曲顶柱体的体积 3 dv V的体积 4 22 1 xy D ffdxdyA的面积 其中D为曲面 zf x y在xOy面的投影区域 5 D x y dMxOyD占平面上区域 的物体的质量 x y z dvM 占空间区域 的物体的质量 6 质心坐标 平面物体的质心坐标 DD DD xx y dyx y d xy x y dx y d 空间物体的质心坐标 xx y z dvyx y z dvzx y z dv xyz x y z dvx y z dvx y z dv 当密度均匀时 质心也称为形心 例例 7设 2222 x y zxaybzcR 则 xyz dv 解解利用球的形心坐标公式 3 1 4 3 xdvydvzdv a b cx y zxdvydvzdv dvdvdv R 因此 333 444 333 xdvaRydvbRzdvcR 故 3 4 3 xyz dvxdvydvzdvabc R 例例 8设 22 2 Dx y xyy 计算 4 D xy d 解解由于积分区域D是圆域 关于y轴对称 且形心 圆心 为 0 1 半径为 1 因此 0 1 DDD xdydd 故 4 4403 DDDD xy ddxdyd 方法技巧 以上两题说明 若积分区域的形状是规则的 如圆形 球形 柱形等 形心 坐标很容易看出 在计算被积函数为x y或z的积分时 可以逆向利用形心坐标公式 使得计 算更加简单 此方法非常实用 第十章 重积分作业题 学院专业姓名学号 一 判断题 1 D dyxf 的几何意义是曲顶柱体的体积 2 设D由直线 2yx yx x 所围成 则 31 12 D xyd 3 若0 xzdv 其中 是由 222 1xyz 及0z 所围成的上半球体 4 设11 10 yxD 则 2 0 D xy d 5 设22 11 1 yxD 20 10 2 yxD 则 12 322322 4 DD dyxdyx 二 选择题 1 二重积分 22 D fxydxdy 其中 0 222 aayxD为 则把其化为极坐标下的二次积分得 A 2 00 a dfr rdr B 2 00 a df r dr C 2 00 a dfa dr D 2 00 a dxfa rdr 2 设积分区域D为 222 Ryx 则 22 D xyd A 0B 4 2 R C 2 3 R D 3 2 3 R 3 空间区域 由曲面 22 yxz 与平面 z 1 围成 积分 dvzyx 222 可化为累次积分 A 2 211 22 00 r rzdzdrd B 2 211 22 00 r rzrdzdrd C 211 22 000 rzrdzdrd D 2 21 22 001 r rzrdzdrd 4 设积分域 D 222 22 D deayx yx 那么 是 A dedr a a 2 00 B derdr a a 2 00 2 C dedr r a 2 00 D derdr r a 2 00 2 5 区域D由x轴 y轴 直线1 yx所围成 则下列不等式正确的是 A DD dyxdyx 2 B DD dyxdyx 2 C dyxdyx 2 D 3 D D ddyx D 三 填空题 1 设 其它0 10 xa xgxf 0 a D表示全平面 则积分 D dxdyxygxf 2 改变二次积分 ln 10 ey dyf x y dx 的积分次序得 3 设区域D为 222 xya 且 222 18 D axy dxdy 则a 4 三重积分 dxdydzzx 1 2 其中1 222 zyx 5 设积分区域9 22 yxD 则二重积分 D dxdyyx4 22 四 计算下列各题 1 2 62 D xxyd 其中D是由圆 22 1xy 所围成的闭区域 2 D d x y arctan 其中D是由圆周4 1 2222 yxyx及直线3yx 和x轴所围成的在第一 象限的闭区域 3 求 y D xe d 其中D是由 2 0 2yxyx 所围成的闭区域 4 3 yx1 z dxdydz 其中 是由平面1 0 0 0 zyxzyx所围成的四面体 5 dvzyx 其中 是由平面4 z及曲面 22 yxz 所围成的闭区域 6 计算求曲面01 22 zyxz的部分的面积 参考答案 一 1 2 3 4 5 二 1 A2 B3 B4 D5 A 三 1 2 a2 1 0 x e e dxf x y dy 3 34 4 3 5 41 2 四 1 9 4 2 2 12 3 4 5 2 e 4 15 ln2 28 5 64 6 3 2 51 6 第十一部分曲线积分和曲面积分 1 计算下列对弧长的曲线积分 1 dsyx n L 22 其中 20 sin cos ttaytaxL 2 xds L 其中围成及为由 2 xyxyL 3 2 yzdsx T 其中 T 为折线 ABCD 这里 A B C D 依次为点 0 0 0 0 0 2 1 0 2 1 3 2 4 22 dsyx L 其中 L 20 cos sin sin cos ttttaytttax 2 计算下列对坐标的曲线积分 1 22 dxyx L 其中 L 是 2 xy 上从 0 0 到 2 4 的一段弧 2 xydx L 其中 L 是 222 ayax 及 x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界 逆时针 向 3 ydzdydx T 其中 T 为有向闭折线 ABCA 这里 A B C 依次为点 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 dyxyydxxyx L 2 2 22 其中 L 是 2 xy 上从点 1 1 到 1 1 的一段弧 3 利用格林公式 计算下列曲线积分 1 635 42 dyxydxyx L 其中 L 为三顶点分别为 0 0 3 0 和 3 2 的三 角形正向边界 2 2sin sin2cos 222 dyyexxdxeyxxyxyx xx L 其 中L为 正 向 星 形 线 0 3 2 3 2 3 2 aayx 3 3sin21 cos2 2223 dyyxxydxxyxy L 其中 L 为抛物线 2 2yx 上由 0 0 到 1 2 的一段弧 样 品 4 验证下列dyyxQdxyxP 在整个xoy面内是某个 yxu的全微分 并求这样的 yxu 1 dyyxdxyx 2 2 2 dyyxxydxxyyx sinsin2 coscos2 22 5 计算下列对面积的曲面积分 1 3 4 2 dszyx其中 为平面1 432 zyx 在第一卦限中的部分 2 dsxzyzxy其中 为锥面 22 yxz 被柱面axyx2 22 所截得的有限部分 6 计算下列对坐标的曲面积分 1 22 zdxdyyx其中 是球面 2222 Rzyx 的下半部分的下侧 样 品 2 yzdzdxxydydzxzdxdy其中 是平面1 0 0 0 zyxzyx围成区域的整个边界 曲面的外侧 7 利用高斯公式计算曲面积分 1 333 dxdyzdzdxydydzx其中 为球面 2222 azyx 的外侧 2 zdxdyydzdxxdydz其中 为界于3 0 zz之间的圆柱体9 22 yx的整个表面的外 侧 8 求下列向量的散度 1 kxyzjxzyiyzxA 222 2 kxzjxyieA xy cos cos 2 9 求下列向量场 A 的旋度 1 kxyjzxiyzA 2 3 32 2 jyxziyzA c