小学六年级数学竞赛讲座 第11讲 计数总复习.pdf

第十一讲第十一讲 计数总复习计数总复习 模块一 排列组合 例 1 把同一排 6 张座位编号为 1 2 3 4 5 6 的电影票全部分给 4 个人 每人至少分一张 至多分 2 张 且这 2 张具有连续的编号 那么不同的分法为 144 种 解 先把电影票分组 连续编号有 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 五组分法 在这五组中取 2 组 有 2 5 10C 中取法 但是其中有重复票的 4 种取法是错误的 所以合理的分法有 10 4 6 种 这样把 4 组票分给 4 个人 有 4 4 24A 种分法 一共有 6 24 144 种方法 例 2 体育课上 老师将小明 小强和另外 7 名同学分成 3 组 每组 3 人 一共有 280 种分组方法 如 果要求小明和小强分到同一组 有 70 种分组方法 解 9 个人平均分成 3 组 有 33 96 3 3 84 20 280 6 CC A 种分组方法 小明和小强分到同一组 则从 7 人中选 1 人与他们为一共组 剩下的 6 个人分成 2 组 有 3 1 6 7 2 2 20 770 2 C C A 种分组方法 模块二 概率 例 3 甲 乙两人玩游戏 规则如流程框图所示 求甲连胜两局的概 率 解 把 3 个红球编号为红 1 红 2 红 3 在 4 个球中任取一个有 4 种方法 再取一个有 3 种方法 一共 有 12 种取法 若第一次是从 3 个红球中取得一个 有 3 种取法 第二次在 2 个红球中取得 有 2 种方法 所以甲胜的方法有 6 种 甲胜的概率为 P 61 122 同样乙胜的概率也是 1 2 则甲连胜两局的概率是 1 2 1 2 1 4 模块三 递推归纳 例 4 一个牧民年初买了一头母羊 每年能生 2 只公羊 4 只母羊 每只小母羊两年后 每年又可以生 6 只羊 其中 2 只公羊 4 只母羊 这样从今年开始到第五年底 一共有 多少只羊 解 能生育的 母羊 新生母羊 公羊 合计 第 1 年 1 4 2 7 第 2 年 1 4 5 1 4 4 2 2 4 13 第 3 年 5 4 9 5 4 20 4 5 2 14 43 第 4 年 20 9 29 9 4 36 14 9 2 32 97 第 5 年 29 36 65 29 4 116 32 29 2 90 271 今年是第一年 1 头母羊 生了 2 只公羊 4 只母羊 共 7 只羊 其中只有 1 只母羊到明年仍可生产 另有 4 只母羊要到第三年才可以生产 第二年 新生了 2 只公羊 4 只母羊 所以总羊数是 7 6 13 只 其中有 1 4 5 只母羊明年可以生产 另有 4 只母羊需要到第四年才能生产 第三年 新生了 10 只公羊 20 只母羊 总羊数是 13 30 43 只 其中有 5 4 9 只母羊明年可以生产 另有 20 只母羊需要到第五年才可以生产 第四年 新生了 18 只公羊和 36 只母羊 总羊数是 43 54 97 只 其中有 9 20 只母羊明年可以生产 第五年 新生了 29 6 174 只羊 总羊数是 97 174 271 只 例 5 设 A E 为正八边形 ABCDEFGH 的相对顶点 顶点 A 处有一只青蛙 除顶点 E 外青蛙可以从正八边 形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个 落到顶点 E 的青蛙就停止跳动 则青蛙从顶点 A 出发恰好 跳 10 次后落到顶点 E 的方法总数为 种 解 可以使用递推法 E F G H A B C D E 1 步 1 1 2 步 1 2 1 3 步 1 3 3 1 4 步 1 4 6 4 1 5 步 4 10 10 4 6 步 4 14 20 14 4 7 步 14 34 34 14 8 步 14 48 68 48 14 9 步 48 116 116 48 10 步 48 164 232 16 48 所以 10 步跳到E有 48 48 96 种方法 模块四 计数综合 例 6 将一个正八面体的 8 个三角形表面上涂上红 黄两种颜色 每种颜色各涂 4 个 面 那么一共有 7 种不同的涂色方法 经过旋转 翻转可以重合的算一种涂法 解 每个面都与另 3 个面相邻 但上下两点距离比其他对角距离大 本题实质与染 正方体的 8 个顶点没有区别 考虑红点位置 共有以下 7 种情况 例 7 圆周上有 10 个点 将其中任意两个点相连 请问最多被划分为多少个不同的区域 解 易知圆内的每条线段增加的区域为这条直线段上的交点个数加 1 因此 圆内的区域个数为交点数量 线段数量 1 圆周上的 10 个点最多可将圆划分的区域数量为 210 45 1 256 个 注 圆内接四边形有 2 条对角线 它们交于 1 点 圆周上有 10 个不同点 任选四个构造成一个内接四边形 就产生 1 个交点 所以这 10 个不同的点可构成 4 10 C 210 个 圆内接四边形 就有 210 个交点 线段的条数有 2 10 45C 条 例 8 从 1 到 100 中选取 4 个不同的数 a b c d 有 种不同的选法 不考虑 a b c d 的顺序 使得 a b c d 满足 a c b d 解 如果两边满足 a c b d 5 则有 1 种方法 a c b d 6 有 1 种方法 a c b d 7 有 3 种方法 1 6 2 5 3 4 选法有 2 3 3C 种 a c b d 8 有 3 种方法 a c b d 9 有 6 种方法 1 8 2 7 3 6 4 5 选法有 2 4 6C 种 a c b d 10 有 6 种方法 a c b d 99 有 1176 种方法 1 98 2 97 49 50 选法有 2 49 1176C 种 a c b d 100 有 1176 种方法 a c b d 101 有 1225 种方法 1 100 2 99 50 51 选法有 2 50 1225C 种 a c b d 102 有 1176 种方法 2 100 3 99 50 52 a c b d 103 有 1176 种方法 a c b d 196 有 1 种方法 a c b d 197 有 1 种方法 于是总数是 4 2222 23449 CCCC 2 50 C 其中 2222 23449 CCCC 32223223 33449444950 CCCCCCCC 19600 所以 4 19600 1225 79625 随随 堂堂 练练 习习 1 从 15 名同学中选出 5 人 上场参加篮球比赛 请问 1 如果甲 乙两人必须入选 共有多少种选法 2 如果甲 乙两人中至少有 1 人入选 共有多少种选法 3 如果甲 乙 丙三人中恰好 1 人入选 共有多少种选法 4 如果甲 乙 丙不能同时入选 共有多少种选法 解 1 从其余 13 人中选 3 人 有 3 13 13 12 11 286 3 2 1 C 种选法 2 从全部选法中减去甲 乙都没有入选的种数 为 55 1513 CC 3003 1287 1716 种 3 从其余 12 人中选 4 人 再从甲 乙 丙中选 1 人 为 4 12 3C 1485 种 4 全部选法中减去甲 乙 丙同时入选的种数 即 52 1512 CC 3003 66 2937 种 2 A B 和 C 被安排坐入排成一行的 6 个座位中 若任何两人都不能相邻而坐 共有多少种不同的入座方 式 解 可以这样看 先摆好 3 把椅子 它们之间有 4 个空 让甲 乙 丙带着椅子插空 有 3 4 24A 种入座方式 解法 2 分别给 6 个座位编号为 1 2 3 4 5 6 若任何两个人都不可以相邻而坐 即这 3 个数都不相邻 假设以 A 排在第一位 可有 1 3 5 1 3 6 1 4 6 2 4 6 共 4 种排列 再根据乘法原理 每种情况下 3 个人又有 3 2 1 6 种 排列 所以共有 4 6 24 种 不同的入座方式 3 甲 乙两个学生各从 0 9 这 10 个数字中随机挑选两个数字 可能相同 求 1 这两个数字的差不超过 2 的概率是多少 2 两个数字的差不超过 6 的概率是多少 解 1 挑选两个数字的方式有 10 10 100 种 它们的差为 0 的有 10 种 差为 1 的有 1 0 0 1 2 1 1 2 9 8 8 9 是 9 2 18 种 差为 2 的有 2 0 0 2 3 1 1 3 9 7 7 9 是 8 2 16 种 一共有 44 种 所以概 率是 P 44 100 11 25 2 两个数字的差超过 6 的是 7 0 0 7 8 0 0 8 9 0 0 9 8 1 1 8 9 1 1 9 9 2 2 9 共 6 2 12 种 所以两个数字的差不超过 6 的概率是 P 1 12 100 8822 10025 4 10 枚棋子 每次拿出 2 枚或 3 枚 要想将 10 枚棋子全部拿完 共有多少种不同的拿法 解 10 2 2 2 2 2 或 10 2 2 3 3 对于 10 2 2 2 2 2 只有 1 种拿法 对于 10 2 2 3 3 则是在 4 次拿的过程中 有 2 次是 2 另两次是 3 即 2 4 6C 种 所以一共有 6 1 7 种不同的拿法 5 在正五边形 ABCDE 上 已知青蛙从 A 点开始跳动 它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上 一 旦跳到 D 点上就停止了跳动 青蛙在 6 次之内 含 6 次 跳到 D 点有 种不同的跳法 解 使用递推法 D E A B C D 1 步 1 1 2 步 1 2 1 3 步 2 3 1 4 步 2 5 3 5 步 5 8 3 6 步 5 13 8 6 次以内跳到 D 点有 12 种不同的跳法 6 在 3 3 的方格表内 每个小正方形的面积为 1 请问 1 以格点为顶点可以连出多少个面积为 3 的三角形 2 以格点为顶点可以连出多少个面积为 1 5 的三角形 解 1 在一个 2 3 的长方形中 有 4 个经过旋转或翻转的如下图 1 的三角形 面积为 3 有 4 个经过旋 转或翻转的如下图 2 的三角形 面积为 3 有 2 个经过旋转或翻转的如下图 3 的三角形 面积为 3 这样的在 4 个 2 3 的长方形中 共有 4 4 4 2 40 个 图 1 图 2 图 3 图 4 在 3 3 的方格中 有 8 个经过旋转或翻转的如上图 4 的三角形 面积为 3 综上面积为 3 的三角形一共有 48 个 2 在 1 3 的长方形中 有 8 个面积为 1 5 的三角形 共有 6 8 48 个三角形 在 2 2 的正方形中 有 4 个面积为 1 5 的三角形 共有 4 4 16 个三角形 在 2 3 的长方形中 有 4 个面积为 1 5 的三角形 共有 4 4 16 个三角形 在 3 3 的正方形中 有 12 个面积为 1 5 的三角形 所以一共有 48 16 16 12 92 个面积为 1 5 的三角形 D E C B A 7 圆周上有 8 个点 把它们两两相连 若任意三条线在圆内都不相交于一点 那 么图中顶点全在圆内的三角形共有多少个 解 圆内的三角形是由三条边构成的 这三条边对应圆周上的 6 个点 同样 圆周上每 6 个不同的点连线 就对应了圆内的一个三角形 所以图中顶点全在圆内的三角形共有 62 88 28CC 个 8 从 1 到 366 中选取 2 个数 有多少种选法使得这两个数的和能被 17 整除 解 366 17 21 9 所以把 1 到 366 按除以 17 的余数分成 17