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生活中的优化问题举例 优化问题与导数的综合应用 ks5u精品课件 1 例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 高是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 ks5u精品课件 2 分析 根据所给几何体的体积公式建模 解析 设箱高为xcm 则箱底边长为 60 2x cm 则得箱子容积V是x的函数 V x 60 2x 2 x 00 当10 x 30时 V x 0 ks5u精品课件 3 当x 10时 V x 取极大值 这个极大值就是V x 的最大值 答 当箱子的高为10cm 底面边长为40cm时 箱子的体积最大 点评 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值 不必再与端点的函数值进行比较 ks5u精品课件 4 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 ks5u精品课件 5 例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成本是0 8 r2分 已知每出售1ml的饮料 可获利0 2分 且瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 ks5u精品课件 6 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 ks5u精品课件 7 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 ks5u精品课件 8 例3 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 R R h ks5u精品课件 10 解 设圆柱的高为h 底面半径为R 则表面积为 又 定值 即h 2R 可以判断S R 只有一个极值点 且是最小值点 答 罐高与底的直径相等时 所用材料最省 ks5u精品课件 11 练1 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空心面积最小 ks5u精品课件 12 解 设版心的高为dm 则版心的宽为dm 此时四周空白面积为 求导数 得 于是宽为 因此 x 16是函数S x 的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 答 当版心高为16dm 宽为8dm时 海报四周空白面积最小 ks5u精品课件 13 解法二 由解法 一 得 ks5u精品课件 14 分析 根据题意 月收入 月产量 单价 px月利润 月收入 成本 px 50000 200 x x 0 列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值 ks5u精品课件 15 ks5u精品课件 16 答 每月生产200吨产品时利润达到最大 最大利润为315万元 点评 建立数学模型后 注意找准函数的定义域 这是此类题解答过程中极易出错的地方 ks5u精品课件 17 回顾总结 利用导数解决优化问题的基本思路 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 解决优化问题的方法 通过搜集大量的