风险决策模型层次分析法.ppt

7 3层次分析法建模 层次分析法是对一些较为复杂 较为模糊的问题作出决策的简易方法 它特别适用于那些难于完全定量分析的问题 社会的发展导致了社会结构 经济体系及人们之间相互关系的日益复杂 人们希望能在错综复杂的情况下 利用各种信息 通过理智的 科学的分析 作出最佳决策 例如 生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策 消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量的好坏 价格的高低 外形的美观程度等选择自己最为满意的商品 毕业生要根据自己的专业特长 社会的需求情况 福利待遇的好坏等挑选最为合意的工作 科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大小 项目的可行性 项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题 当我们面对这类决策问题时 容易发现 影响我们作决策的因素很多 其中某些因素存在定量指标 可以给以度量 但也有些因素不存在定量指标 只能定性地比较它们的强弱 在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时 如何尽可能克服因主观臆断而造成的片面性 较系统 全面地比较分析并作出较为明智的决策呢 Saaty T L等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合 系统化 层次化分析问题的方法 称为层次分析法 AnalyticHiearchyProcess 简称AHP 层次分析法将人们的思维过程层次化 逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理 从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据 层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法 而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时 如何通过科学分析 在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例 一 层次分析的基本步骤 层次分析过程可分为四个基本步骤 1 建立层次结构模型 2 构造出各层次中的所有判断矩阵 3 层次单排序及一致性检验 4 层次总排序及一致性检验 下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作 例7 13某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用 可供选择的方案有 给职工发奖金 扩建企业的福利设施 改善企业环境 改善食堂等 和引进新技术新设备 工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理 步1建立层次结构模型 在用层次分析法研究问题时 首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次 较简单的问题通常可分解为目标层 最高层 准则层 中间层 和方案措施层 最低层 与其他决策问题一样 研究分析者不一定是决策者 不应自作主张地作出决策 对于本例 如果分析者自行决定分配比例 厂领导必定会询问为什么要按此比例分配 符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解 经过双方沟通 分析者了解到如下信息 决策者的目的是合理利用企业的留成利润 而利润的利用是否合理 决策者的主要标准为 1 是否有利于调动企业职工的积极性 2 是否有利于提高企业的生产能力 3 是否有利于改善职工的工作 生活环境 分析者可以提出自己的看法 但标准的最终确定将由决策者决定 根据决策者的意图 可以建立起本问题的层次结构模型如图8 7所示 图中的连线反映了因素间存在的关联关系 哪些因素存在关联关系也应由决策者决定 对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次 例如 在选购电冰箱时 如以质量 外观 价格 品牌及信誉等为准则 也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则 如制冷性能 结霜情况 耗电量大小等等 建立层次结构模型是进行层次分析的基础 它将思维过程结构化 层次化 为进一步分析研究创造了条件 步2构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系 例如图7 7中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来 但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同 在决策者的心目中 它们各占有一定的比例 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化 虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据 但假如你提出 调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例 之类的问题 不仅会让人感到难以精确回答 而且还会使人感到你书生气十足 不能胜任这一工作 此外 当影响某因素的因子较多时 直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时 常常会因考虑不周全 顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据 甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据 为看清这一点 可作如下设想 将一块重为1千克的石块砸成n小块 你可以精确称出它们的质量 设为w1 wn 现在 请人估计这n小块的重量占总重量的比例 不能让他知道各小石块的重量 此人不仅很难给出精确的比值 而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据 设现在要比较n个因子X x1 xn 对某因素Z的影响大小 怎样比较才能提供可信的数据呢 Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法 即每次取两个因子xi和xj 以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比 全部比较结果用矩阵A aij n n表示 称A为Z X之间的成对比较判断矩阵 简称判断矩阵 容易看出 若xi和xj对Z的影响之比为aij 则xj和xi对Z的影响之比应为 定义7 4若矩阵A aij n n满足 i aij 0 ii i j 1 2 n 则称之为正互反矩阵 易见aii 1 i 1 n 关于如何确定aij的值 Saaty等建议引用数字1 9及其倒数作为标度 他们认为 人们在成对比较差别时 用5种判断级较为合适 即使用相等 较强 强 很强 绝对地强表示差别程度 aij相应地取1 3 5 7和9 在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时 aij可分别取值2 4 6 8 从心理学观点来看 分级太多会超越人们的判断能力 既增加了作判断的难度 又容易因此而提供虚假数据 Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性 实验结果也表明 采用1 9标度最为合适 如果在构造成对比较判断矩阵时 确实感到仅用1 9及其倒数还不够理想时 可以根据情况再采用因子分解聚类的方法 先比较类 再比较每一类中的元素 步3层次单排序及一致性检验 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响 较客观地反映出一对因子影响力的差别 但综合全部比较结果时 其中难免包含一定程度的非一致性 如果比较结果是前后完全一致的 则矩阵A的元素还应当满足 i j k 1 2 n 定义7 5满足 7 5 关系式的正互反矩阵称为一致矩阵 如前所述 如果判断者前后完全一致 则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵 但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较 设有n个因素要两两比较 保证A是正互反矩阵是较容易办到的 但要求所有比较结果严格满足一致性 在n较大时几乎可以说是无法办到的 其中多少带有一定程度的非一致性 更何况比较时采用了1 9标度 已经接受了一定程度的误差 就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性 如何检验构造出来的 正互反 判断矩阵A是否严重地非一致 以便确定是否接受A 并用它作为进一步分析研究的工具 Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上 找到了解决这一困难的办法 给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法 定理7 7正互反矩阵A的最大特征根 max必为正实数 其对应特征向量的所有分量均为正实数 A的其余特征根的模均严格小于 max 证明从略 现在来考察一致矩阵A的性质 回复到将单位重量的大石块剖分成重量为1 n的n块小石块的例子 如果判断者的判断结果完全一致 则构造出来的一致矩阵为 容易看出 一致矩阵A具有以下性质 定理7 8若A为一致矩阵 则 1 A必为正互反矩阵 2 A的转置矩阵AT也是一致矩阵 3 A的任意两行成比例 比例因子 即wi wj 大于零 从而rank A 1 同样 A的任意两列也成比例 4 A的最大特征根 max n 其中n为矩阵A的阶 A的其余特征根均为零 5 若A的最大特征根 max对应的特征向量为W w1 wn I 则aij wi wj i j 1 2 n 注 1 2 可由一致矩阵定义得出 3 5 均容易由线性代数知识得到 证明从略 定理7 9n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 max n 且当正互反矩阵A非一致时 必有 max n 证明 设正互反矩阵A的最大特征根为 max 对应的特征向量为W w1 wn T 由定理 max 0且wi 0 i 1 n 又由特征根和特征向量的性质知 AW maxW 8 7 式两边同除wi且关于i从1到n相加 得到 即 8 8 式的括号内共有项 7 8 现证明必要性 由一致矩阵性质 5 有 故由 7 8 式 得 max n 再证明充分性 由于 7 9 当且仅当 1 即 时 7 9 式中的等号成立 故由 7 8 式 max n 因而当 max n时必有 1 于是aijajk aiki j k 1 2 n成立 A为一致矩阵 当A非一致矩阵时 7 9 式中的等号不能对一切i j成立 从而必有 max n 根据定理7 9 我们可以由 max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵 由于特征根连续地依赖于aij 故 max比n大得越多 A的非一致性程度也就越为严重 max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X x1 xn 在对因素Z的影响中所占的比重 因此 对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验 以决定是否能接受它 为确定多大程度的非一致性是可以允忍的 Saaty等人采用了如下办法 1 求出 称CI为A的一致性指标 容易看出 当且仅当A为一致矩阵时 CI 0 CI的值越大 A的非一致性越严重 利用线性代数知识可以证明 A的n个特征根之和等于其对角线元素之和 即n 故CI事实上是A的除 max以外其余n 1个特征根的平均值的绝对值 若A是一致矩阵 其余n 1个特征根均为零 故CI 0 否则 CI 0 其值随A非一致性程度的加重而连续地增大 当CI略大于零时 对应地 max稍大于n A具有较为满意的一致性 否则 A的一致性就较差 2 上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度 但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的 事实上 我们还需要一个度量标准 为此 Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵 用从1 9及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵 取充分大的子样 求得最大特征根的平均值 并定义 称RI为平均随机一致性指标 对n 1 11 Saaty给出了RI的值 如表7 10所示 表7 10 3 将CI与RI作比较 定义 称CR随机一致性比率 经大量实例比较 Saaty认为 在CR 0 10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性 否则就应当重新调整判断矩阵 直至具有满意的一致性为止 综上所述 在步3中应先求出A的最大特征根 max及 max对应的特征向量W w1 wn T 进行标准化 使得 再对A作一致性检验 计算 查表得到对应于n的RI值 求 若CR 0 1 则一致性较为满意 以i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值 否则必需重新作比较 修正A中的元素 只有在一致性较为满意时 W的分量才可用作层次单排序的权重 现对本节例7 13 即合理利用利润问题的例子 进行层次单排序 为求出C1 C2 C3在目标层A中所占的权值 构造O C层的成对比较矩阵 设构造出的成对比较判断知阵 A 于是经计算 A的最大特征根 max 3 038 CI 0 019 查表得RI 0 58 故CR 0 033 因CR 0 1 接受矩阵A 求出A对应于 max的标准化特征向量W 0 105 0 637 0 258 T 以W的分量作为C1 C2 C3在目标O中所占的权重 类似求措施层中的P1 P2在C1中的权值 P2 P3在C2中的权值及P1 P2在C1中的权值 max 2 CI CR 0W 0 75 0 25 T max 2 CI CR 0W 0 167 0 833 T max 2 CI CR 0W 0 66 0 333 T 经层次单排序 得到图7 8 设上一层次 A层 包含A1 Am共m个因素 它们的层次总排序权值分别为a1 am 又设其后的下一层次 B层 包含n个因素B1 Bn 它们关于Aj的层次单排序权值分别为b1j bnj 当Bi与Aj无关联系时 bij 0 现求B层中各因素关于总目标的权值 即求B层各因素的层次总排序权值b1 bn 计算按表7 11所示方式进行 即 i 1 n 表7 11 步4层次总排序及一致性检验 最后 在步骤 4 中将由最高层到最低层 逐层计算各层次中的诸因素关于总目标 最高层 的相对重要性权值 例如 对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子 措施层层次单排序权值的计算如表7 12所示 对层次总排序也需作一致性检验 检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行 这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验 各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性 但当综合考察时 各层次的非一致性仍有可能积累起来 引起最终分析结果较严重的非一致性 设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验 求得单排序一致性指标为CI j j 1 m 相应的平均随机一致性指标为RI j CI j RI j 已在层次单排序时求得 则B层总排序随机一致性比率为 CR 当CR 0 10时 认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果 对于表7 11中的P层总排序 由于C P层间的三个判断矩阵的一致性指标 即CI j j 1 2 3 均为0 故P层总排序的随机一致性比率CR 0 接受层次分析结果 将留成利润的25 1 用于发奖金 21 8 用于扩建福利事业 余下的53 1 用于引进新技术新设备 二 最大特征根及对应特征向量的近似计算法 众所周知 求矩阵A的特征根与特征向量在n较大时是非常麻烦的 需要求解高次代数方程及高阶线性方程组 由于判断矩阵中aij的给出方法是比较粗糙的 它只是决策者主观看法在一定精度内的定量化反映 也就是说 建模本身存在着较大的模型误差 因而 在计算特征根和特征向量时 没有必要化费太多的时间和精力去求A的特征根与特征向量的精确值 事实上 在应用层次分析法决策时 这些量的计算通常采用较为简便的近似方法 1 方根法 在应用小型计算器求判断矩阵A的最大特征根与对应特征向量时可采用方根法 其计算步骤如下 1 求判断矩阵每行元素的乘积 i 1 2 n 2 求Mi的n次方根 3 对进行标准化 求特征向量各分量的近似值 4 求A的最大特征根的近似值 从 7 6 式中不难看出 当A为一致矩阵时 由A中各行乘积的n次方根组成的向量与A的特征向量成比例 因而当A的非一致性不太严重时 方根法求得的Wi i 1 n 可近似用于层次单排序的权值 对前面例子中的O C判断阵 有 求 得 2 幂法 计算步骤 步1 任取一标准化向量W 0 指定一精度要求 0 k 0 步2 迭代计算 k 0 1 若 i 1 n 则取W 为A的对应于 max的特征向量的近似 否则转步2 步3 将标准化 即求其中为的第i个分量 步4 求 max的近似值 对前面例子中的O C判断矩阵 若取 0 001 利用幂法求近似特征向量如下 第一次迭代 0 0 511 3 1 444 T 4 955 求得W 1 0 103 0 605 2 91 T 第二次迭代 2 0 321 1 993 0 802 T 3 116 求得W 2 0 103 0 639 0 257 T 第三次迭代 3 0 316 1 925 0 779 T 3 02 求得W 3 0 105 0 637 0 258 T 第四次迭代 4 0 318 1 936 0 785 T 3 04 求得W 4 0 105 0 637 0 258 T 因 取W W 4 进而 可求得 3 和积法 步1 将判断矩阵A的每一列标准化 即令 i j 1 n 令 步2 将中元素按行相加得到向量 其分量 i 1 n 步4 求最大特征根近似值 仍以前面例子中的O C判断矩阵为例 以上近似方法计算都很简单 计算结果与实际值相差很小 且A的非一致性越弱相差越小 而当A为一致矩阵时两者完全相同 三 层次分析法应用举例 在应用层次分析法研究问题时 遇到的主要困难有两个 1 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构 2 如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理 提出了一套系统分析问题的方法 为科学管理和决策提供了较有说服力的依据 但层次分析法也有其局限性 主要表现在 1 它在很大程度上依赖于人们的经验 主观因素的影响很大 它至多只能排除思维过程中的严重非一致性 即矛盾性 却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性 2 比较 判断过程较为粗糙 不能用于精度要求较高的决策问题 AHP至多只能算是一种半定量 或定性与定量结合 的方法 如何用更科学 更精确的方法来研究问题并作出决策 还有待于进一步的探讨研究 在应用层次分析法时 建立层次结构模型是十分关键的一步 现再分析若干实例 以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构 例7 14招聘工作人员 某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名 根据工作需要 单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质 由此建立层次结构如图7 9所示 该单位领导认为 作为外销工作人员 知识面与外观形象同样重要 而在能力方面则应有稍强一些的要求 根据以上看法 建立A B层成对比较判断矩阵 求得 max 3 CR 0 类似建立B C层之间的三个成对比较矩阵 注 权系数是根据后面的计算添加上去的 W T 经层次总排序 可求得C层中各因子Ci在总目标中的权重分别为 0 047 0 184 0 019 0 167 0 167 0 167 0 184 0 042 0 024 招聘工作可如下进行 根据应试者的履历 笔试与面试情况 对他们的九项指标作1 9级评分 设其得分为X x1 x9 T 用公式 y 0 047x1 0 184x2 0 019x3 0 167 x4 x5 x6 0 184x7 0 042x8 0 024x9 计算总得分 以y作为应试者的综合指标 按高到低顺序录用 例7 15 挑选合适的工作 经双方恳谈 已有三个单位表示愿意录用某毕业生 该生根据已有信息建立了一个层次结构模型 如图8 10所示 该生经冷静思考 反复比较 建立了各层次的成对比较矩阵 由于比较因素较多 此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵 方案层 层次总排序 如表7 13所示 表7 13 根据层次总排序权值 该生最满意的工作为工作1 由于篇幅限止 本例省略了一致性检验 例7 16作品评比 电影或文学作品评奖时 根据有关部门规定 评判标准有教育性 艺术性和娱乐性 设其间建立的成对比较矩阵为 由此可求得 W 0 158 0 187 0 656 T CR 0 048 0 1 本例的层次结构模型如图7 11所示 在具体评比时 可请专家对作品的教育性 艺术性和娱乐性分别打分 根据作品的得分数X x1 x2 x3 T 利用公式 y 0 158x1 0 187x2 0 656x3 计算出作品的总得分 据此排出的获奖顺序 读者不难看出 A矩阵的建立对评比结果的影响极大 事实上 整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的 评比结果是按组织者的满意程度来排序的 这也说明 为了使评比结果较为理想 A矩阵的建立应尽可能合理 例7 17教师工作情况考评 某高校为了做好教师工作的综合评估 使晋级 奖励等尽可能科学合理 构造了图7 12所示的层次结构模型 图7 12 在C层中共列出了十项指标 有些可用数量表示 有些只能定性表示 如教学效果只能分为若干等级 即使对于可以定量表示的指标 由于各指标具有不同的量纲 例如一篇论文并不等同于一个获奖项目 互相之间不能直接进行比较 为此 在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量 如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数 然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权 在评估某教师时 只要根据该教师的各项指标 利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可 上述诸例有一个共同的特征 模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系 这些因果关系又可以分成若干个层次 同一层次中的各因素间相互影响很小基本上可略去不计 上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系 但不考虑相反的逆关系 更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响 也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用 因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识 本处不准备再作进一步的介绍 有兴趣的读者可以查阅有关的书籍和文献 风险型决策方法 最大可能法期望值决策法及其矩阵运算树型决策法灵敏度分析法效用分析法 风险决策模型 所谓决策 就是人们为了解决当前或未来可能发生的问题 在若干可供选择的行动方案中 选择一个最佳方案的过程 决策的正确与否会给人们带来收益或损失 在一切失误中决策的失误是重大的失误 因此 每个做决策的人 都应学会科学的决策方法 避免产生重大损失 在决策分析中 结局经常用利润值和损失值来表示 如 其中 或 表示在方案在状态下产生的利润值 或损失值 将其列成表格的形式 决策收益表 决策损失表 见下页 决策问题的关键是如何选择行动方案 一般来讲 首先要对每一个方案作出评价 然后根据这些评价去选择最佳或满意的方案 这种评价在决策分析中是以数量化形式表现的 即对每一个方案做出一个数量化的评价值 方案 方案的数量化评价值 在风险决策中 经常采用期望值准则和效用值准则 状态及概率 利润 方案 决策收益表 利润 状态及概率 损失 方案 决策损失表 许多地理问题 常常需要在自然 经济 技术 市场等各种因素共存的环境下做出决策 而在这些因素中 有许多是决策者所不能控制和完全了解的 对于这样一类地理决策问题的研究 风险型决策方法是必不可少的方法 对于风险型决策问题 其常用的决策方法主要有最大可能法 期望值法 灵敏度分析法 效用分析法等 在对实际问题进行决策时 可以采用各种不同方法分别进行计算 比较 然后通过综合分析 选择最佳的决策方案 这样 往往能够减少决策的风险性 一 最大可能法 一 最大可能法在解决风险型决策问题时 选择一个概率最大的自然状态 把它看成是将要发生的唯一确定的状态 而把其他概率较小的自然状态忽略 这样就可以通过比较各行动方案在那个最大概率的自然状态下的益损值进行决策 这种决策方法就是最大可能法 应用条件在一组自然状态中 某一自然状态出现的概率比其他自然状态出现的概率大很多 而且各行动方案在各自然状态下的益损值差别不是很大 实质在 将大概率事件看成必然事件 小概率事件看成不可能事件 的假设条件下 将风险型决策问题转化成确定型决策问题的一种决策方法 例1 用最大可能法对第9章第1节中的例1所描述的风险型决策问题求解 表9 1 1每一种天气类型发生的概率及种植各种农作物的收益 解 由表可知 极旱年 旱年 平年 湿润年 极湿年 5种自然状态发生的概率分别为0 1 0 2 0 4 0 2 0 1 显然 平年 状态的概率最大 按照最大可能法 可以将 平年 状态的发生看成是必然事件 而在 平年 状态下 各行动方案的收益分别是 水稻为18千元 hm2 小麦为17千元 hm2 大豆为23千元 hm2 燕麦为17千元 hm2 显然 大豆的收益最大 所以 该农场应该选择种植大豆为最佳决策方案 二 期望值决策法及其矩阵运算 期望值决策法对于一个离散型的随机变量X 它的数学期望为式中 xi n 1 2 n 为随机变量X的各个取值 Pi为X xi的概率 即Pi P xi 随机变量X的期望值代表了它在概率意义下的平均值 期望值决策法 就是计算各方案的期望益损值 并以它为依据 选择平均收益最大或者平均损失最小的方案作为最佳决策方案 期望值决策法的计算 分析过程 把每一个行动方案看成是一个随机变量 而它在不同自然状态下的益损值就是该随机变量的取值 把每一个行动方案在不同的自然状态下的益损值与其对应的状态概率相乘 再相加 计算该行动方案在概率意义下的平均益损值 选择平均收益最大或平均损失最小的行动方案作为最佳决策方案 例2 试用期望值决策法对表9 1 1所描述的风险型决策问题求解 表9 1 1每一种天气类型发生的概率及种植各种农作物的收益 解 1 方案 水稻B1 小麦B2 大豆B3 燕麦B4 状态 极旱年 1 旱年 2 平年 3 湿润年 4 极湿年 5 方案Bi在状态 j下的收益值aij看做该随机变量的取值 2 计算各个行动方案的期望收益值E B1 10 0 1 12 6 0 2 18 0 4 20 0 2 22 0 1 16 92 千元 hm2 E B2 25 0 1 21 0 2 17 0 4 12 0 2 8 0 1 16 7 千元 hm2 E B3 12 0 1 17 0 2 23 0 4 17 0 2 11 0 1 18 3 千元 hm2 E B4 11 8 0 1 13 0 2 17 0 4 19 0 2 21 0 1 16 48 千元 hm2 表9 2 1风险型决策问题的期望值计算 3 选择最佳决策方案 因为E B3 max E Bi 18 3 千元 hm2 所以 种植大豆为最佳决策方案 期望值决策法的矩阵运算 假设某风险型决策问题 有m个方案B1 B2 Bm 有n个状态 1 2 n 各状态的概率分别为P1 P2 Pn 如果在状态 j下采取方案Bi的益损值为aij i 1 2 m j 1 2 n 则方案Bi的期望益损值为 如果引入下述向量 及矩阵则矩阵运算形式为 例2 试用期望值决策法对第9章第1节中的例1所描述的风险型决策问题求解 在上例中 显然有 由于E B3 max E Bi 18 3 千元 hm2 所以该农场应该选择种植大豆为最佳决策方案 运用矩阵运算法则 经乘积运算可得 三 树型决策法 树型决策法 是研究风险型决策问题经常采取的决策方法 决策树 是树型决策法的基本结构模型 它由决策点 方案分枝 状态结点 概率分枝和结果点等要素构成 决策树结构示意图 在图中 小方框代表决策点 由决策点引出的各分支线段代表各个方案 称之为方案分枝 方案分枝末端的圆圈叫做状态结点 由状态结点引出的各分枝线段代表各种状态发生的概率 叫做概率分枝 概率分枝末端的小三角代表结果点 树型决策法的决策原则树型决策法的决策依据是各个方案的期望益损值 决策的原则一般是选择期望收益值最大或期望损失 成本或代价 值最小的方案作为最佳决策方案 树型决策法进行风险型决策分析的逻辑顺序树根 树杆 树枝 最后向树梢逐渐展开 各个方案的期望值的计算过程恰好与分析问题的逻辑顺序相反 它一般是从每一个树梢开始 经树枝 树杆 逐渐向树根进行 1 画出决策树 把一个具体的决策问题 由决策点逐渐展开为方案分支 状态结点 以及概率分支 结果点等 2 计算期望益损值 在决策树中 由树梢开始 经树枝 树杆 逐渐向树根 依次计算各个方案的期望益损值 3 剪枝 将各个方案的期望益损值分别标注在其对应的状态结点上 进行比较优选 将优胜者填入决策点 用 号剪掉舍弃方案 保留被选取的最优方案 用树型决策法的一般步骤 1 所谓单级风险型决策 是指在整个决策过程中 只需要做出一次决策方案的选择 就可以完成决策任务 实例见例3 2 所谓多级风险型决策 是指在整个决策过程中 需要做出多次决策方案的选择 才能完成决策任务 实例见例4 单级风险型决策与多级风险型决策 例3 某企业为了生产一种新产品 有3个方案可供决策者选择 一是改造原有生产线 二是从国外引进生产线 三是与国内其他企业协作生产 该种产品的市场需求状况大致有高 中 低3种可能 据估计 其发生的概率分别是0 3 0 5 0 2 表9 2 2给出了各种市场需求状况下每一个方案的效益值 试问该企业究竟应该选择哪一种方案 表9 2 2某企业在采用不同方案生产某种新产品的效益值 解 该问题是一个典型的单级风险型决策问题 现在用树型决策法求解这一问题 1 画出该问题的决策树 图9 2 2所示 图9 2 2单级风险型决策问题的决策树 2 计算各方案的期望效益值 状态结点V1的期望效益值为EV1 200 0 3 100 0 5 20 0 2 114 万元 状态结点V2的期望效益值为EV2 220 0 3 120 0 5 60 0 2 138 万元 状态结点V3的期望效益值为EV3 180 0 3 100 0 5 80 0 2 120 万元 3 剪枝 因为EV2 EV1 EV2 EV3 所以 剪掉状态结点V1和V3所对应的方案分枝 保留状态结点V2所对应的方案分枝 即该问题的最优决策方案应该是从国外引进生产线 例4 某企业 由于生产工艺较落后 产品成本高 在价格保持中等水平的情况下无利可图 在价格低落时就要亏损 只有在价格较高时才能盈利 鉴于这种情况 企业管理者有意改进其生产工艺 即用新的工艺代替原来旧的生产工艺 现在 取得新的生产工艺有两种途径 一是自行研制 但其成功的概率是0 6 二是购买专利 估计谈判成功的概率是0 8 如果自行研制成功或者谈判成功 生产规模都将考虑两种方案 一是产量不变 二是增加产量 如果自行研制或谈判都失败 则仍采用原工艺进行生产 并保持原生产规模不变 据市场预测 该企业的产品今后跌价的概率是0 1 价格保持中等水平的概率是0 5 涨价的概率是0 4 表9 2 3给出了各方案在不同价格状态下的效益值 试问 对于这一问题 该企业应该如何决策 解 这个问题是一个典型的多级 二级 风险型决策问题 下面仍然用树型决策法解决该问题 1 画出决策树 图9 2 3 表9 2 3某企业各种生产方案下的效益值 单位 万元 方 案 效 益 价格状态 概率 2 计算期望效益值 并进行剪枝 状态结点V7的期望效益值为EV7 200 0 1 50 0 5 150 0 4 65 万元 状态结点V8的期望效益值为EV8 300 0 1 50 0 5 250 0 4 95 万元 由于EV8 EV7 所以 剪掉状态结点V7对应的方案分枝 并将EV8的数据填入决策点V4 即令EV4 EV8 95 万元 状态结点V3的期望效益值为EV3 100 0 1 0 0 5 100 0 4 30 万元 所以 状态结点V1的期望效益值为EV1 30 0 2 95 0 8 82 万元 状态结点V9的期望效益值为EV9 200 0 1 0 0 5 200 0 4 60 万元 状态结点V10的期望效益值为EV10 300 0 1 250 0 5 600 0 4 85 万元 由于EV10 EV9 所以 剪掉状态结点V9对应的方案分枝 将EV10的数据填入决策点V5 即令EV5 EV10 85 万元 状态结点V6的期望效益值为EV6 100 0 1 0 0 5 100 0 4 30 万元 所以 状态结点V2期望效益值为EV2 30 0 4 85 0 6 63 万元 由于EV1 EV2 所以 剪掉状态结点V2对应的方案分枝将EV1的数据填入决策点EV 即令EV EV1 82 万元 综合以上期望效益值计算与剪枝过程可知 该问题的决策方案应该是 首先采用购买专利方案进行工艺改造 当购买专利改造工艺成功后 再采用扩大生产规模 即增加产量 方案进行生产 问题某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕 根据以往统计记录 每天收寄包裹的情况见表 收寄包裹情况表 已知每个邮局职工平均每小时处理4个包裹 每小时工资为5元 规定每人每天实际工作7小时 如加班工作 每小时工资额增加50 但加班时间每人每天不得超过5小时 加班时间以小时计 不足1小时按1小时计算 试确定该邮局最优雇佣工人的数量 假设设d1表示方案 雇佣2个工人 d2表示方案 雇佣3个工人 表示收寄的包裹数位于区间建模因为每人每天最多处理的包裹数量为 个 正常处理包裹数为4 7 28 个 而每天需要处理的包裹数最多为90个 故我们只考虑两个方案d1 d2 将在不同状态不同方案下 邮局支付工人的工资数列成下表 支付工资 方案 状态概率 状态概率 支付工资 方案 支付工资 方案 求解根据期望值准则 若雇佣两个工人 则邮局的平均支付工资为E d1 0 10 70 0 15 77 5 0 30 100 0 25 115 0 20 137 5 104 875 元 若雇佣三个工人 则邮局的平均支付工资为E d2 0 10 105 0 15 105 0 30 105 0 25 105 0 20 120 108 元 因为E d1 E d2 故从邮局的角度看 最优雇佣工人的数量为2 期望值准则可以借助 决策树 使决策问题形象直观 便于讨论 10 10 30 30 40 25 50 20 10 10 20 15 30 30 40 25 50 20 20 15 d1 d2 104 875 104 875 70 108 77 5 100 115 137 5 105 105 105 105 120 问题 某土木工程采用正常速度施工 若无坏天气的影响 工程可确保在30天内按期完工 但是根据天气预报 15天后天气肯定变坏 有40 的可能出现阴雨天气而不影响工期 有50 的可能遇到小风暴而使工期推迟15天 另有10 的可能遇到大风暴而使工期推迟20天 对于可能出现的情况 可虑两种方案 1 提前紧急加班 确保工程在15天内完成 实施此方案将增加工资支付18千元 2 先维持原定的施工进度 到15天后根据实际出现的天气状况再作对策 若遇到阴雨天 则维持正常进度 不必支付额外费用 若遇到小风暴 则有两个备选方案 a 维持正常进度 支付工程延期损失费20千元 b 采取应急措施 实施此措施可能有三种结果 有50 的可能减少误工期1天 支付延期损失费和应急费用24千元 有30 的可能减少误工期2天 支付延期损失费和应急费用18千元 有20 的可能减少误工期3天 支付延期损失费和应急费用12千元 若遇到大风暴 则仍有两个方案可供选择 c 维持正常进度 支付工程延期损失费用50千元 d 采用应急措施 实施此措施可能出现三种结果 有70 的可能减少误工期2天 支付延期损失费和应急费用54千元 有20 的可能减少误工期3天 支付延期损失费和应急费用46千元 有10 的可能减少误工期4天 支付延期损失费和应急费用38千元 试确定最佳方案 假设设d1表示方案 提前紧急加班 确保工程在15天内完成 d2表示方案 按原定速度施工15天 再根据实际出现的天气状况作决策 d3表示方案 15天后遇到小风暴采取应急措施 d4表示方案 15天后遇到小风暴仍维持正常度 d5表示方案 15天后遇到大风暴采取应急措施 d6表示方案 15天后遇到大风暴仍维持正常进度 i表示 减少误工期i天 i 1 2 3 4 5表示 阴雨天气 6表示 小风暴 7表示 大风暴 为解决这个复杂的决策问题 我们采用期望值准则 现在可能遇到的各种情况用决策树表示 如图所示 见下页 d1 d2 d3 d4 d5 d6 7 6 50 4 10 5 20 3 30 2 20 7 30 2 40 1 14 9 14 9 0 5 0 1 50 19 8 50 8 18 0 24 18 12 20 54 46 38 50 19 8 求解根据决策树 自右向左 计算各方案的期望值E d3 0 5 24 0 3 18 0 2 12 19 8 E d5 0 7 54 0 2 46 0 1 38 50 8 E d2 0 4 0 0 5 19 8 0 1 50 14 9 因为E d3 E d6 50 E d2 E d1 18 所以去掉方案分支d1 d4 d5 留下的方案即为最佳方案 即开始以正常速度施工 15天后根据实际出现的天气状况再做进一步的决策 出现阴雨天气 则维持正常速度施工 出现小风暴 则采取应急措施 出现大风暴 则仍按正常速度施工 整个方案的期望损失值为14 9千元 四风险决策的灵敏度分析 风险决策的关键在于各种自然状态出现的概率是已知的 而且是根据过去经验估计出来的 所以根据这样的概率值计算出来的损益值 不可能十分精确可靠 一旦概率值有了变化 据以确定的决策方案是否仍然有效 就成为值得重视的问题 因此在决策过程中 有必要了解概率值变化对最优方案的选择究竟存在多大影响 即概率变化到什么程度才引起方案的变化 这一临界点的概率称为转折概率 对决策问题作出的这种分析 称为灵敏度分析或敏感性分析 经过灵敏度分析之后 如果决策者所选择的最优方案不因自然状态概率在其允许的误差范围内变动而变动 那么这个方案就是比较可靠的 灵敏度分析的步骤1 求出在保持最优方案稳定的前提下 各自然状态概率所容许的变动范围 2 衡量用来预测和估算这些自然状态概率的方法 其精度是否能保证所得概率值在此允许的误差范围内变动 3 判断所作决策的可靠性 例 某企业拟扩大产品产量 现有两种方案可供选择 一是新建生产线 二是改造生产线 该企业管理者经过研究 运用期望值决策法编制出决策分析表 由于市场情况极其复杂 它受许多不可控因素的影响 因而销售状态的概率可能会发生变化 试针对这种情况 进行灵敏度分析 某企业扩大产品产量决策分析表 解 1 以最大期望效益值为准则确定最佳方案E B1 max E B1 E B2 290万元 所以 新建生产线 B1 为最佳方案 2 灵敏度分析 当考虑市场销售状态中适销的概率由0 7变为0 3时 则两个方案的期望效益值的变化为E B1 10万元 E B2 20万元 所以 在0 7与0 3之间一定存在一点P 当适销状态的概率等于P时 新建生产线方案与改造原生产线方案的期望效益值相等 P称为转折概率500P 1 P 200 300P 1 P 100 P 0 33所以 当P 0 33时 新建生产线 B1 为最佳方案 当P 0 33时 改造原生产线方案 B2 为最佳方案 问题 某公路工程队签署一项开赴远地施工的合同 由于出发之前有一段必要的准备时间 现面临着决定是否在下月开工的问题 如开工后天气好 则当月可顺利完工 获利润12 5万元 如果开工后天气不好 则将造成各种损失计4 8万元 若决定下月不开工 即就地待命 那么 若天气好可临时承包一些零星工程 获利润6 5万元 若天气不好 则付出损失费 主要是窝工费 1 2万元 根据气象预测 下月天气好的概率为0 65 天气不好的概率为0 35 该队领导人该如何决策才能获得最大收益 10 65 20 35 10 65 20 35 d2 d1 6 445 6 445 3 805 12 5 4 8 6 5 1 2 3 805 3 805 20 35 20 35 20 35 6 445 6 445 6 445 10 65 20 35 12 5 4 8 6 5 12 5 4 8 1 2 6 5 12 5 4 8 假设 d1表示方案 开工 d2表示方案 不开工 1表示 天气好 2表示 天气不好 各种状态出现的概率及收益如下图 求解 根据决策树图易计算E d1 0 65 12 5 0 35 4 8 6 445 万元 E d2 0 65 6 5 0 35 1 2 3 805 万元 根据期望值准侧知 开工方案为最佳方案 由于气象预测可能会引起较大的误差 p 0 65是根据过去气象统计资料估计的 若其概率p变为0 5 方案d1是否最优 则须进行灵敏度分析 首先我们求出方案d1为最优方案的稳定性条件 设天气好的概率为p 则天气不好的概率为1 p 因为E d1 12 5p 4 8 1 p 17 3p 4 8E d2 6 5p 1 2 1 p 7 7p 1 2方案d1是最优方案 当且仅当E d1 E d2 即17 3p 4 8 7 7p 1 2解之得p 0 375 故当p 0 375时方案d1是最优方案 当p 0 375时方案d2是最优方案 当p 0 375时两个方案的平均利润相等 即两个方案无好坏区别 称p 0 375为临界概率 灵敏度分析为决策方案的选择提供了很大的方便 只要掌握的概率值不小于临界值 则原方案仍然有效 例如 上述天气好的概率由0 65变为0 5 由于没有低于临界概率0 375 所以原选方案为最优 类似地 也可对各方案的效益值做灵敏度