行测数学运算题.doc

.行测数学运算题构造法解题时直接构造出满足条件的情况，从而得到答案的方法。【例1】（天津2008-9）如果售货员将一袋袋的水饺摆成10堆，其中9堆是合格的，每袋500克；一堆是份量不足的，每袋450克，从外形上看，分不出哪一堆是450克的，执法人员最少称几次就可发现份量不足的那一堆？（）A. 1次B 2次 C 3次D 4次答案A解析我们只需要从这十堆水饺当中，分别取出1、2、3、48、9、10袋一起称，看看比标准重量轻了多少，因为每袋不合格水饺轻50克，于是我们便能知道轻了多少袋，从而知道是哪一堆份量不足了。【例2】（浙江2007B类-15）8个一元真币和1个一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这9个硬币中找出假币？（）A. 2次 B. 3次 C. 4次 D. 5次答案A解析第一次：将9枚硬币中平均分成三组，记作甲组、乙组、丙组，每组三枚。 称量：将甲组置于天平的左端，乙组置于天平的右端 结论：如果天平左端较重，则假币在甲组中；如右盘较重，则假币在乙组中；如两盘平衡，则假币在丙组中。 第二次：记假币所在组的三枚硬币分别为A、B、C。 称量：将A置于天平的左端，B置于天平的右端 结论：如果天平左端较重，则假币为A；如右盘较重，则假币为B；如两盘平衡，则假币为C。注释若知道假币是轻或是重，N次称量可从3N个硬币（其中有一个假币）中选出假币。【例3】（天津2008-13）将一个正方形分成9个小正方形，填上1到9这9个自然数，使得任意一个横行，一个纵列以及每一对角线上的3个数之和等于15，请问位于中间的小正方形应填哪个数？（）A. 4 B 5 C 6 D 7答案B解析我们下面利用“构造法”来解释一下填写九宫格数字的问题。假如我们需要将一串等差数列（不一定是19这9个数字）填写到下图一的九宫格中，我们以数列2、5、8、11、14、17、20、23、26为例：第一步（图二），将九宫格每条边向外延伸一个方格；第二步（图三），按照图二箭头所指的顺序将这九个数字从小到大放入九个阴影格中；第三步（图四），将第一步延伸出去的格中的数字延到对边空格，即得到图五最终结果。二、 极端法极端法题目中若出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样，通常可考虑极端分析法。其基本思想是构造“极端”的情形。【例4】（山东2009-114）用234567六个数字组成两个三位数，每个数字只用一次，这两个三位数的差最小是多少? （）A. 47B. 49 C. 69D. 111答案A解析这两个三位数的差要尽可能的小，其百位要尽可能的接近，而这六个数字各不相同，所以百位只能相差“1”，而其中大一点的那个百位后面接尽可能小的数，即“23”，小一点的那个百位后面接尽可能大的小数，即“76”，剩下4和5即是百位。即523-47647。【例5】（国家2009-118）100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加？（）A. 22 B. 21C. 24D. 23答案A解一极端思维：要保证“第四多的活动越多越好”，那么我们要求“其他活动的人越少越好”。其中有三个比其多，另外三个比其少，比“第四多”的少的最少就是1、2、3，还剩100-1-2-394，剩下四个活动需要尽量的接近，以保证“第四多”能够尽可能的多，所以最好是四个连续的自然数，94/4=23.5，所以这四个数分别为22、23、24、25。解二不等式解法：假设这7个项目参加的人数分别为abcdefg0g1，f2，e3，cd+1，bd+2，ad+3100=a+b+c+d+e+f+gd+3+d+2+d+1+d+3+2+1解得d22注释相比之下，不等式解法更加精确，看起来也更加清晰，但实际上考场的时候，“极端思维”解题更快，虽然写下来是很长的文字，但其思维过程时间并不长。【例6】（国家2006一类-43）有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要多少天？（）A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天答案A解析为了使审核完这些课题的天数尽量多，应该让每天审核的课题数尽量少。由于“每天安排审核的课题个数互不相同且不为零”，可以让第一天审核1个方案；第二天审核2个方案；第三天审核3个方案；第四天审核4个方案因为：1+2+3+4+5+6+7+8=36，8天至少要审核36个方案，排除B、C、D。构造：1+2+3+4+5+6+9=30，因此至多可以审核七天。【例7】（国家2006二类-44）5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人，最重可能重多少斤？ （）A. 80斤 B. 82斤 C. 84斤 D. 86斤答案B解析由于5人的体重和为定值，所以欲使体重最轻的人最重，5人体重应尽量接近。而他们的平均值满足：844235=84.685。如果最轻的人体重大于等于83斤，则5人体重之和大于等于83+84+85+86+87=425斤，与5人体重之和为423斤，矛盾。如果最轻的人体重等于82斤，我们可以构造：82+83+84+85+89=423，即当5人的体重分别为82、83、84、85、89时，他们的体重和为423斤，满足题意，选择B。【例8】（广东2004下-12）某中学在高考前夕进行了 4 次数学摸底考试，成绩一次比一次好：第一次得80分以上的比例是70%；第二次是75%；第三次是85%；第四次是90%。请问在四次考试中都得80分以上的学生的百分比至少是多少？（）A. 20% B. 40% C. 50% D. 80%答案A解析四次考试不足80分的分别占30%、25%、15%、10%，因为：四次考试中有一次不足80分的同学至多有30%+25%+15%+10%=80%，故四次考试都在80分以上的学生比例最少是1-80%=20%。【例9】（国家2008-56）共有100人，参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1-5题分别有80、92、86、78和74人答对，答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试?（）A. 30 B. 55 C. 70 D. 74答案C解析所有人共答对80+92+86+78+74=410道题目。由于一共500道题目，因此共答错题目90道。由于每个不通过的人至少要3道题目答错，因此不通过的人至多有30人，通过的人至少为70人。注释可构造结果如下图所示，此时恰好70人通过。（事实上，如果不进行以下构造的话，本题求出来的70不一定是最终结果，“解析”的过程只能证明通过考试的人数不少于70，如果答错的90题不能完全平均分给30个人的话，及格人数将比70要多。）序号1题2题3题4题5题得分序号1题2题3题4题5题得分14216122242171223421812244219122552201226522127522228522313295224132105225132115226132125227132135228132145229132155230132（剩下70名考生五题全部答对）三、 枚举法枚举法解题时直接枚举满足条件的所有情况，从而得到答案的方法。【例10】（江苏2009A类-16）整数15具有被它的十位数字和个位数字同时整除的性质，则在12和50之间（包括12和50）具有这种性质的整数的个数是（）。A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个答案A解析十位数字为1的数有12、15；十位数字为2的数有22、24；十位数字为3的数有33、36；十位数字为4的数有44、48。【例11】（四川2009-10）将参加社会活动的108个学生平均分成若干小组，每组人数在8人到30人之间，则共有（）种不同的分法。A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案B解析枚举8与30之间108的约数：9、12、18、27满足题意，共4个。四、 归纳法归纳法有些和N有关的数学问题，需要先计算当N较小时比较容易计算的情况，再总结归纳出一些规律，从而得到较大的数的规律。【例12】十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？（）A. 55B. 67C. 74D. 89答案D解析我们从简单的列表着手楼梯阶数12345678910走完楼梯的方法数12358（13）（21）（34）（55）（89）“一阶楼梯1种走法，二阶楼梯2种走法，三阶楼梯3种走法，四阶楼梯5种走法”这四个数非常容易得到，然后我们通过观察表格当中1、2、3、5这四个数，非常明显的递推和数列（前两项相加等于第三项），后面的数就不难记忆了。注释本题的递推公式An+2=An+1+An，可以通过简单的等价转化得到。比如说走10阶楼梯，第一步有两种走法：如果第一步走1阶，那么之后还有9阶，剩下的就是走9阶的方法数；如果第一步走2阶，那么之后还有8阶，剩下的就是走8阶的方法数。所以走10阶的方法数就等于走9阶与走8阶的方法数之总和。其余类比可得。【例13】（广东2003-15）小璐有8元钱，她准备从明天起，用这8元钱每天买一个冰激淋或者一包果冻吃。冰激淋1元一个，果冻2元一包。请问小璐花完这8元钱一共有多少种方法？（）A. 21B. 34C. 55D. 89答案B解析本题数学本质与上例完全相同，从1、2开始列，下一项为前两项的和，列到第8项为34，所以选B。【例14】（国家2003B类-8）100张多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为1、2、3、99、100。第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌，依此类推。请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？（）A. 32B. 64C. 88D. 96答案B解析最初的骨牌为：1、2、3、99、100是1的倍数第一次操作后：剩余的骨牌为2、4、6、8、10、100是2的倍数第二次操作后：剩余的骨牌为4、8、12、100是4的倍数第三次操作后：剩余的骨牌为8、16、24、96是8的倍数第四次操作后：剩余的骨牌为16、32、48、96是16的倍数第五次操作后：剩余的骨牌为32、64、96是32的倍数第六次操作后：剩余的骨牌为64是64的倍数注释由上述归纳可知，上题为求2N100的数当中N取最大的那个数字。【例15】有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃糖的方式？（）A. 256B. 512C. 1024D. 2048答案A解析我们发现9颗糖计算起来非常麻烦，所以可以简单着手试一试：1颗糖：1，1种吃法2颗糖：1+1，22种吃法3颗糖：1+1+1，1+2，2+1，34种吃法猜测吃n颗糖的方式一共有2n-1；那么吃9颗糖应该就是28=256种方式。注释由上述归纳可知，N颗相同的糖可以有2N-1种吃的方式。五、 逆向法逆向法一些数学问题，从正面不容易着手，这时可以从它的反面去考虑。即首先计算出不满足题目要求的情形，从而进一步算出满足题目要求的情形。 【例16】（国家2004A类-42）一个边长为8的立方体，由若干个边长为l的立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色? （）A. 296 B. 324 C. 328 D. 384答案A解析欲求出有多少个小立方体被涂上颜色，可先求出有多少个小立方体没有被染色。没有被染色的小立方体构成一个较小的立方体，体积63216。大立方体的体积83512；所以染了色的总体积大立方体体积-小立方体体积=512-216=296，而每个小立方体的体积为1，所以有296个小立方体被涂上了颜色。【例17】一个边长为20的方阵，最外面三圈人数总和为多少？（）A. 196 B. 204 C. 256 D. 324答案B解析方阵边长为20，总人数为400，除去最外面三圈人数，里面的小方阵边长为20-2314，人数为196，所以最外面三圈人数为400-196204人。【例18】5个男生与6个女生，从中选出5人出来参加智力大赛，要求其中至少有1名男生，问有多少种方法？（）A. 367 B. 412 C. 456 D. 524答案C解析从11人中选出5人来，总共有C511462种方法，其中全部是女生共有6种方法，那么至少有1名男生就应该有462-6456种方法。【例19】（江苏2008A类-24）一个箱子中有若干个玩具，每次拿出其中的一半再收回去一个玩具，这样共拿了5次，箱子里还有5个玩具，箱子原有玩具的个数为（）。A. 76B. 98C. 100D. 120答案B解一我们知道，原题过程为“2、1”重复五次，逆过程就是“-1、2”重复五次：5-1428-17214-113226-125250-149298解二本题还可以根据数字特性来代入排除，明显原有玩具的个数去掉一半再收回一个之后还应该是偶数，满足这个条件的只有B选项。六、 图示法图示法解题