2016年圆锥曲线高考题.doc

2016年圆锥曲线高考题一解答题（共9小题）1（2016北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值2（2016浙江）如图，设椭圆C：+y2=1（a1）（）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）（）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围3（2016山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值4（2016天津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA=MAO，求直线l的斜率5（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点（1）直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率6（2016浙江）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围7（2016北京）已知椭圆C：+=1（a0，b0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为1（）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值8（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点（1）若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率9已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA（）当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积；（）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围2016年圆锥曲线高考题参考答案与试题解析一解答题（共9小题）1（2016北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2【解答】（1）解：椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，a=2，b=1，则，椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得|AN|=，|BM|=1=四边形ABNM的面积为定值22（2016浙江）如图，设椭圆C：+y2=1（a1）（）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）（）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围【分析】（）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可（）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围【解答】解：（）由题意可得：，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，得x1=0或x2=，直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=（）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k20，k1k2，由（1）可知|AP|=，|AQ|=，故：=，所以，（k12k22）1+k12+k22+a2（2a2）k12k22=0，由k1k2，k1，k20，可得：1+k12+k22+a2（2a2）k12k22=0，因此a2（a22），因为式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a22）1，所以a因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1a2，e=得，所求离心率的取值范围是：3（2016山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值【分析】（）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（）（）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果（）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值【解答】解：（）椭圆C：+=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（t，0）t0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，2m），（）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k，k=，k=，=3为定值；（）由题意可得，m2=4t2，QM的方程为：y=3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m24=0可得xB=，yB=+m，同理解得xA=，yA=，xBxA=，yByA=+m（）=，kAB=，由m0，x00，可知k0，所以6k+，当且仅当k=时取等号此时，即m=，符合题意所以，直线AB的斜率的最小值为：4（2016天津）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOA=MAO，求直线l的斜率【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFHF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由MOA=MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值【解答】解：（1）由+=，得+=，即=，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x2），（k0），设B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOA=MAO，x0=1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根与系数的关系得，MH所在直线方程为yk（x02）=（xx0），令x=0，得yH=（k+）x02k，BFHF，即1x1+y1yH=1（k+）x02k=0，整理得：=1，即8k2=3k=或k=5（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点（1）直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率【解答】解：（1）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b44b24=0，b0，解得b2=2所求双曲线方程为：x2=1，其渐近线方程为y=x（2）b=，双曲线x2=1，可得F1（2，0），F2（2，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x2），由题意可得：，消去y可得：（3k2）x2+4k2x4k23=0，=36（1+k2）0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x24）=k（4）=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1x2，y1y2）=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+k=0可得：k2=，解得k=l的斜率为：6（2016浙江）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围【分析】（）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围【解答】解：（）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=1的距离，由抛物线定义得，即p=2；（）由（）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t0，t1，AF不垂直y轴，设直线AF：x=sy+1（s0），联立，得y24sy4=0y1y2=4，B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m=，得m0或m2经检验，m0或m2满足题意点M的横坐标的取值范围为（，0）（2，+）7（2016北京）已知椭圆C：+=1（a0，b0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为1（）求椭圆C的方程；（）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值【分析】（）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值4方法二、设P（2cos，sin），（02），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值4【解答】解：（）由题意可得e=，又OAB的面积为1，可得ab=1，且a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得椭圆C的方程为+y2=1；（）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，直线PA：y=（x2），令x=0，可得y=，则|BM|=|1+|；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=，则|AN|=|2+|可得|AN|BM|=|2+|1+|=|=|=|=4，即有|AN|BM|为定值4证法二：设P（2cos，sin），（02），直线PA：y=（x2），令x=0，可得y=，则|BM|=|；直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=，则|AN|=|即有|AN|BM|=|=2|=2|=4则|AN|BM|为定值48（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点（1）若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率【分析】（1）由题意求出A点纵坐标，由F1AB是等边三角形，可得tanAF1F2=tan=，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线l的方程y0=k（x2），即y=kx2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值【解答】解：（1）若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，由tanAF1F2=tan=，求得b2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=bx=x，即双曲线的渐近线方程为y=x（2）设b=，则双曲线为 x2=1，F2（2，0），若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y0=k（x2），即y=kx2k，联立，可得（3k2）x2+4k2x4k23=0，由直线与双曲线有两个交点，则3k20，即k=36（1+k2）0x1+x2=，x1x2=|AB|=|x1x2|=4，化简可得，5k4+42k227=0，解得k2=，求得k=l的斜率为9已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA（）当t=4，|AM|=|AN|时，求AMN的面积；（）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围【分析】（）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM