2017高考数学北京卷(文).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知，集合，则（）ABCD【答案】C，补集2若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B，复数计算，复数坐标表示，由，解得3执行如图所示的程序框图，输出的值为（）ABCD【答案】C，程序框图-循环结构，数学计算4若满足， 则的最大值为（）ABCD【答案】D，线性规划5已知函数，则是（）A偶函数，且在上是增函数B奇函数，且在上是增函数C偶函数，且在上是减函数D奇函数，且在上是减函数【答案】B，函数的奇偶性，函数的单调性（增函数-减函数=增函数）6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD【答案】D，三视图，三棱锥体积7设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A，向量的数量积，8根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）ABCD【答案】D，指对数运算，设，则，第二部分（非选择题 共110分）二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分9在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则_【答案】，角终边的位置关系，诱导公式，10若双曲线的离心率为，则实数_【答案】2，双曲线性质，由，得11已知，且，则的取值范围是_【答案】，二次函数求最值方法一：， ，当或时，取最大值；当时，取最小值12已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_【答案】，向量数量积的坐标运算，当时，最大值为13能够说明“设是任意实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_【答案】，验证假命题的反例（还有其他答案）14某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）男学生人数多于女学生人数；（2）女学生人数多于教师人数；（3）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】，不等式范围设男生数，女生数，教师数为，则，第一问：，；第二问：易知，三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题13分）已知等差数列和等比数列满足，（）求的通项公式；（）求和：【解】（）【等差通项】设公差为， 依题意，；（）【等比通项，】设的公比为，依题意，是以为首项，为公比的等比数列，16（本小题13分）已知函数（）求的最小正周期；（II）求证：当时，【解】（）【两角和差的三角函数，三角函数周期】的最小正周期；（）【三角函数取值范围】，当，即时，有最小值，当时，17（本小题13分）某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；（）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【解】【频率分布直方图，频率与概率，样本估计总体】（）由频率分布直方图知，分数小于的频率为，故从总体名学生中随机抽取人，估计其分数小于的概率为；（）由频率分布直方图知分数在之间的人数为（人），又分数小于的学生有人，估计总体中分数在区间内的人数为（人）；（）由频率分布直方图知分数不小于的共人，由已知男女各占人，从而样本中男生有人，女生有人，故估计总体中男生与女生的比例为18（本小题14分）如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（）求证：；（）求证：平面平面；（）当平面时，求三棱锥的体积【解】（）证明： ，平面，平面，且，【线面垂直判定】平面，又平面，【线面垂直性质】；（），是的中点，由（）知平面，平面，【面面垂直判定】平面平面，平面平面，平面，【面面垂直性质】平面，平面，平面平面；（）平面，又平面平面，平面，【线面平行性质】，是中点，为的中点，是的中点，且，【体积分割】19（本小题14分）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为（）求椭圆的方程；（）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点，求证：与的面积之比为【解】（）【椭圆标准方程】椭圆焦点在 轴上，椭圆的方程为：；（）【直线方程，斜率公式，点在椭圆上，直线交点，三角形面积比】设，其中，且有，即直线斜率为：，直线的方程是，易求，直线的方程是，由消去，得，解得，将代入得，即，即与的面积之比为