2010年高考数学试题分类汇编——三角函数.doc

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本题主要考察了必要条件 充分条件与充要条件的意义 以及转化思 想和处理不等关系的能力 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数 sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 答案 B 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将 sin 2 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin 2 3 yx 的图像 故选 B 20102010 陕西文数 陕西文数 3 函数f x 2sinxcosx是 C A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 解析 本题考查三角函数的性质 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 20102010 辽宁文数 辽宁文数 6 设 函数的图像向右平移个单位后0 sin 2 3 yx 4 3 与原图像重合 则的最小值是 A B C D 3 2 3 4 3 3 2 解析 选 C 由已知 周期 243 32 T 状元源 免注册 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下 载 状元源 免注册 免费提供 2010 辽宁理数 辽宁理数 5 设 0 函数 y sin x 2 的图像向右平移个单位后与原图 3 3 4 像重合 则的最小值是 A B C D 3 2 3 4 3 3 2 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性 考查了同 学们对知识灵活掌握的程度 解析 将 y sin x 2 的图像向右平移个单位后为 3 3 4 所以有 2k 即 4 sin 2 33 yx 4 sin 2 33 x 4 3 又因为 所以 k 1 故 所以选 C 3 2 k 0 3 2 k 3 2 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 3 已知 则 2 sin 3 cos 2 x A B C D 5 3 1 9 1 9 5 3 解析解析 B B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 1 2sin 9 20102010 江西理数 江西理数 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则 tanECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 答案 D 解析 考查三角函数的计算 解析化应用意识 解法 1 约定 AB 6 AC BC 由余弦定理 CE CF 再由余弦3 210 定理得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 解法 2 坐标化 约定 AB 6 AC BC F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式3 2 得 状元源 免注册 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下 载 状元源 免注册 免费提供 解得 4 cos 5 ECF 3 tan 4 ECF 2010 重庆文数 6 下列函数中 周期为 且在上为减函数的是 4 2 A B sin 2 2 yx cos 2 2 yx C D sin 2 yx cos 2 yx 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当时 函数为减函数 4 2 x 3 2 22 x sin 2 2 yx 而函数为增函数 所以选 Acos 2 2 yx 2010 重庆理数 重庆理数 6 已知函数 sin 0 2 yx 的部分 图象如题 6 图所示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 6 D 2 6 解析 2 T 由五点作图法知 23 2 6 5 2010 山东文数 山东文数 10 观察 由归纳推理可得 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 若定义在上的函数满足 记为的导函数 则 R f x fxf x g x f x gx A B C D f x f x g x g x 答案 D 20102010 北京文数 北京文数 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组 成 该八边形的面积为 A B 2sin2cos2 sin3cos3 C D 3sin3cos1 2sincos1 答案 A 2010 四川理数 四川理数 6 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度 再sinyx 10 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是w w w k s5 u c o m A B w w w k s 5 u c o msin 2 10 yx sin 2 5 yx C D 1 sin 210 yx 1 sin 220 yx 解析 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度 所得函数图象的解sinyx 10 析式为 y sin x w w w k s 5 u c o m 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 20102010 天津文数 天津文数 8 为了得到这个函 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 数的图象 只要将的图象上所有的点ysinxxR A 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短 3 6 到原来的倍 纵坐标不变 1 2 B 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 3 C 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 6 1 2 D 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 6 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识 属于中等题 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 0 可得的一个值为 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 即 y sin2 x 6 3 3 6 所以只需将 y sinx x R 的图像上所有的点向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐 6 标缩短到原来的倍 纵坐标不变 1 2 温馨提示 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 1 20102010 天津理数 天津理数 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc 则 A sin2 3sinCB A B C D 0 30 0 60 0 120 0 150 答案 A 解析 本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用 属于中等题 由由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR 所以 cosA 所以 A 300 2222 c a3 22 bbcc bcbc 32 33 22 bcbc bc 温馨提示 解三角形的基本思路是利用正弦 余弦定理将边化为角运算或将角化为边 运算 20102010 福建文数 福建文数 7 20102010 福建文数 福建文数 2 计算的结果等于 1 2sin22 5 A B C D 1 2 2 2 3 3 3 2 答案 B 解析 原式 故选 B 2 cos45 2 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 1 cos300 A B C D 3 2 1 2 1 2 3 2 1 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1 cos300cos 36060cos60 2 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 2 记 那么cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2010 四川文数 四川文数 7 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度 sinyx 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是高 考 资 源 网 8 A B sin 2 10 yx y sin 2 5 x C D y 1 sin 210 x 1 sin 220 yx 解析 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度 所得函数图象的解sinyx 10 析式为 y sin x w w w k s5 u c o m 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 2010 湖北文数 湖北文数 2 函数 f x 的最小正周期为3sin 24 x xR A B xC 2D 4 2 答案 D 解析 由 T 4 故 D 正确 2 1 2 2010 湖南理数 湖南理数 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 则2ca A a b B a0 6 g x 2cos 2x 1 的对称轴完全相同 若 则的取值范围是 x 0 2 f x 答案 3 3 2 解析 由题意知 因为 所以 由三角函数图象知 2 x 0 2 5 2x 666 的最小值为 最大值为 所以的取值范围是 f x 3 3sin 62 3sin 3 2 f x 3 3 2 2 2010 江苏卷 江苏卷 10 定义在区间上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交点 2 0 为 P 过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2的长为 13 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 P1P2的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 线段 P1P2的长为 2 3 2 3 3 2010 江苏卷 江苏卷 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为 a b c 则 6cos ba C ab tantan tantan CC AB 解析 考查三角形中的正 余弦定理三角函数知识的应用 等价转化思想 一题多解 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 A B 和边和边 a b 具有轮换性 具有轮换性 当当 A B 或或 a b 时满足题意 此时有 时满足题意 此时有 1 cos 3 C 2 1 cos1 tan 21 cos2 CC C 2 tan 22 C 4 1 tantan2 tan 2 AB C tantan tantan CC AB 方法二 方法二 22 6cos6cos ba CabCab ab 2222 2222 3 6 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin 1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 三角函数解答三角函数解答 2010 上海文数 上海文数 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知 化简 0 2 x 2 lg costan1 2sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 2010 湖南文数 湖南文数 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数的最小正周期 f x II 求函数的最大值及取最大值时 x 的集合 f x f x 14 2010 浙江理数 浙江理数 18 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 及 0 C 1 4 所以 sinC 10 4 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 得 ac sinAsinC c 4 由 cos2C 2cos2C 1 J 及 0 C 得 1 4 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 b 12 06 解得 b 或 266 所以 b b 66 c 4 或 c 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 15 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用 考查考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出现 这 类题型难度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保留 不 会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或 将边角互化 20102010 陕西文数 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 10036 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB AB 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A 20102010 辽宁文数 辽宁文数 17 本小题满分 12 分 在中 分别为内角的对边 ABC abc ABC 且2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求的大小 A 16 若 试判断的形状 sinsin1BC ABC 解 由已知 根据正弦定理得cbcbcba 2 2 2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又 得1sinsin CB 2 1 sinsin CB 因为 90 0 900CB 故BC 所以是等腰的钝角三角形 ABC 2010 辽宁理数 辽宁理数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2 sin 2 sin 2 sin aAacBcbC 求 A 的大小 求的最大值 sinsinBC 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 2 2 abc bcb c 即 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 A 120 6 分 1 cos 2 A 由 得 sinsinsinsin 60 BCBB 31 cossin 22 sin 60 BB B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 17 本小题满分 10 分 17 中 为边上的一点 求 ABCADBC33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC AD 解析解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由由与与的差求出的差求出 根据同角关系及差角公式求出 根据同角关系及差角公式求出的正弦 在三角形的正弦 在三角形 ADC B BAD BAD ABDABD 中 由正弦定理可求得中 由正弦定理可求得 ADAD 20102010 江西理数 江西理数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 1 当 m 0 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2a 时 3 5 f a 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托三 角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等 题 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x 由已知 得 1 2sin 2 1 24 x 3 84 x 2 2 1 42 x 从而得 的值域为 f x 12 0 2 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当 得 tan2 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 2010 安徽文数 安徽文数 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 A B C所对边长分别为 a b c 12 cos 13 A 求AB AC A 若 求a的值 1cb 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用余 18 弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由得的值 再根据面积 12 cos 13 A sin AABC 公式得 直接求数量积 由余弦定理 代入已知条156bc AB AC A 222 2cosabcbcA 件 及求 a 的值 1cb 156bc 解 由 得 12 cos 13 A 2 125 sin1 1313 A 又 1 sin30 2 bcA 156bc 12 cos156144 13 AB ACbcA 222 2cosabcbcA 2 12 2 1 cos 12 156 1 25 13 cbbcA 5a 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求的值 考虑已知ABC 的bc 面积是 30 所以先求的值 然后根据三角形面积公式得的值 第二问 12 cos 13 A sin Abc 中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 2010 重庆文数 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 3 3 4bc ABC 2 b 2 c 2 a2 求 sinA 的值 求的值 2sin sin 44 1 cos2 ABC A 19 2010 浙江文数 浙江文数 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 222 3 4 Sabc 求角 C 的大小 求的最大值 sinsinAB 2010 重庆理数 重庆理数 16 本小题满分 13 分 I 小问 7 分 II 小问 6 分 设函数 2 2 cos2cos 32 x f xxxR I 求的值域 f x II 记的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 1 b 1 c ABC f B3 求 a 的值 20 2010 山东文数 山东文数 17 本小题满分 12 分 已知函数 的最小正周期为 2 sin coscosf xxxx 0 求的值 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到 yf x 1 2 函数的图像 求函数在区间上的最小值 yg x yg x 0 16 21 20102010 北京文数 北京文数 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求的值 3 f 求的最大值和最小值 f x 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 所以 当时取最大值 2 当时 cos1 1x cos1x f xcos0 x 去最小值 1 f x 20102010 北京理数北京理数 15 本小题共 13 分 www ks 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求的值 3 f 22 求的最大值和最小值 x f 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为 cosx 1 1 所以 当时 取最大值 6 当时 取最小值cos1x f x 2 cos 3 x f x 7 3 2010 四川理数 四川理数 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式 1 C cos coscossinsin 由推导两角和的正弦公式 2 C S sin sincoscossin 已知 ABC 的面积 且 求 cosC 1 3 2 SABAC 3 5 cosB 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力 解 1 如图 在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O 并作出角 与 使角 的始边为 Ox 交 O 于点 P1 终边交 O 于 P2 角 的始边为 OP2 终边交 O 于 P3 角 的始边 为 OP1 终边交 O 于 P4 则 P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin w w w k s5 u c o m 由 P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得 cos sin sin cos 2 2 sin cos cos 2 2 cos cos sin sin 2 2 sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC 的角 B C 的对边分别为 b c 23 则 S bcsinA 1 2 1 2 bccosA 3 0w w w k s5 u c o mABAC A 0 cosA 3sinA 2 又 sin2A cos2A 1 sinA cosA 10 10 3 10 10 由题意 cosB 得 sinB 3 5 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB w w w k s5 u c o m 10 10 故 cosC cos A B cos A B 12 分 10 10 20102010 天津文数 天津文数 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若 求 sin的值 cos A 1 3 4B 3 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角 的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 于是 sinBcosC sinB sinC cosB cosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为 从而 B C 0 BC 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设 OD COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为和 10 10 3tan 30 t 10 3 cos t v 所以 解得 10 10 3tan 30 10 3 cosv 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 从而值 且最小值为 于是30 90 30tan 由于时 取得最小 3 3 当取得最小值 且最小值为 30 时 10 10 3tan 30 t 2 3 此时 在中 故可设计航行方案如下 OAB 20OAOBAB 航行方向为北偏东 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 30 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设是锐角三角形 分别是内角所对边长 并且ABC a b c A B C 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角的值 A 若 求 其中 12 2 7AB ACa A b cbc 31 2010 江苏卷 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使与之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔 的实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用