4.5 反函数的概念.doc

上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务4.5 反函数的概念反函数的概念对于函数，设它的定义域为，值域为，若对于每一个都有唯一确定的满足，则这样的对应也构成一个函数，称为原函数的反函数，记作在习惯上，自变量常用表示，而因变量用表示，所以把它改写为反函数的性质（1）原函数与其反函数的图象关于直线对称（2）原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域（3）奇函数的反函数仍是奇函数，偶函数没有反函数（4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性例1：求下列函数的定义域（1）；（2）已知函数的定义域是，求的定义域例2：求下列函数的解析式（1）已知，求；（2）设，求例3：某单位用木料制作如图2-1所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：）的矩形上部是等腰直角三角形要求框架围成的总面积问、分别为多少（精确到）时用料最省？例4：求下列函数的反函数 （1） （2）例5：（1）已知（、是常数）的反函数是，求的值（2）设点既在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求【当堂训练】11：已知，求 （对数函数形式）12：已知，求21：已知求 （指数函数形式）22：已知，求31：已知，求 （根式形式）32：已知，求4.1：求的反函数 （分式形式）4.2求的反函数51已知，求的反函数 （二次函数形式）52：已知函数，求61求的反函数 （分段函数形式）62：已知处连续，求7.1已知的值72已知，求8.1已知的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式。8.2已知的反函数为，若的图像经过点，求b 的值。9.1已知函数的图像关于直线对称，求a 的值9.2已知函数 图像关于直线对称，求a 的值【家庭作业】一、填空题1、设函数，则满足的值为 2、函数的定义域为 3、（1）函数的反函数 （2）函数的反函数 4、（1）若函数的反函数的图象过点，则 （2）若函数的反函数为，则 （3）对任意不等于的正数，函数的反函数的图象都经过点，则点的坐标是 （4）已知函数在上存在反函数，若的反函数过点，则函数的反函数图象必过点 图2-2-25、一块边长为的正方形铁片按图2-2-1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器（如图2-2-2），则容器的容积与的函数关系式是 图2-2-16、已知函数（定义域为，值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足 二、选择题7、在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）(A)， (B)，(C)， (D)，8、已知函数，若，则实数（ ）(A) (B) (C)2 (D)9图2-39、如图2-3所示的图象所表示的函数的解析式为（ ）(A)(B)(C)(D)10、下列图形中，不可能是函数图象的是（ ） 三、解答题11、图2-4为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图2-4所示据图中提供的信息，回答下列问题：（1）试建立从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室12、图2-5如图2-5，直角梯形位于直线右侧的图形的面积为（其中O为坐标原点）（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象13、已知，函数（1）求的反函数和反函数的定义域；（2）设，比较与的大小14、已知函数的反函数定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数对任何，满足“积性质”求的表达式参考答案：例1解：（1）（2）例2解：（1）令则即（2）得得例3解：由题意得框架用料长度为 当且仅当即时等号成立 此时，故当x为，y为时用料最省例4解：（1）（2）又函数的反函数是结论：函数的反函数是例5解：（1）令解得即因此由对应项系数相等得（2）点在上，则又点在上点在上 联立解得【当堂训练】1.1解：的值域为R, 令，则 2.1解：令，的值域为，3.1解：令 4.1解：由题意知，反解为原函数的反函数为5.1解： 所以原函数可化为 即 （）（）所以的反函数6.1解：时， 则 （） 则y的反函数为时， 则（）则y的反函数为所以原函数的泛函数注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来7.1解一：先求反函数解：令，得 且故的反函数为 解二：根据性质一解： 即8.1解：的图像过点，的图像过点， 又的图像过点，9.1解：由题意的图像关于直线对称，则 令 所以 由 得= 解得【家庭作业】121、32、3、（1）3、（2）4、（1）4、（2）24、（3）4、（4）5、6、，且或的图象在直线的下方，且与轴的交点为7、B8、C9、B10、D上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务11、解：（1）药物释放过程中，设由图象过点得，解得k=10药物释放完后由函数图象可得所求函数解析式为（2）答：至少需要经过0.6小时即36分钟后，学生方可走进教室12、解：（1）设直线与梯形的交点为、时时所以（2）13、解：（1）设则解得当时，是增函数又，故的定义域为（2）1