特征方程解数列递推关系

叮叮小文库用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2aAn+1bAn特征方程为 X2 =aX+b 解得两根X1 X2 (1)若X1X2 则An=pX1n+qX2n (2)若X1=X2=X 则An=(pn+q)Xn (其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)(3)若为虚数根，则为周期数列类型二 递推公式为An+1 特征方程为X= 解得两根X1 X2 (1)若X1X2 则计算=k接着做代换Bn= 即成等比数列（2）若X1=X2=X 则计算=k+ 接着做代换Bn= 即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为An+1特征方程为X= 解得两根X1 X2 。然后参照类型二的方法进行整理类型四 k阶常系数齐次线性递归式 An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+ckAn 特征方程为 Xk= c1Xk-1+c2Xk-2+ck(1) 若X1X2Xk 则An=+(2) 若所有特征根X1,X2,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+ts=k 则An=+ ， 其中=+（B1,B2，Bti为待定系数）二.特征方程的推导及应用 类型一、递推公式为（其中p，q均为非零常数）。先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。 1） 如果，则，成等比，很容易求通项公式。2） 如果，则成等比。公比为， 所以，转化成：，( I )又如果，则等差，公差为，所以，即： 可以整理成通式： Ii)如果，则令，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得： ，可以整理成通式小结特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，为特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法）：例1：数列：， 解：特征方程是： ,。又由，于是故例2：设p、q为实数，、是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)求数列xn的通项公式。 解： 显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：1 当=时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得2 当时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得，+类型二、递推公式为 解法：如果数列满足：已知，且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则；如果则是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）例1：已知数列满足：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有 即例2：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在， 当4，时，.(3) 令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知，时，是存在的，当时，有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在。于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在。例3: 数列记 求