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第4 章恒定电场和恒定磁场4.1 / 4.1-1 已知直径2mm的导线，每100m长的电阻为2,当导线上通过电流20A时，求导线中的电场强度及导线的电导率。解 故 或 4.2 / 4.1-2在二同心金属球面间加直流电压，外球接地。二球面间媒质电导率为，远小于金属球的电导率。求该媒质区域恒定电场的电流、电流密度、电场强度及电位。解 此时有恒定电流由内球通过导电媒质流向外球，由于，该电流方向沿径向（垂直于金属球），设其值为I，则二球面间任意点电位密度为 电场强度为 设外球半径b，则二球面间任意点的电位是 4.3 / 4.1-3一半径a=0.5m的铜球深埋在地下，作为电器地线的接地器，如题图4-1所示。大地土壤的电导率为，求铜球的接地电阻（漏电阻）R。解1 静电场中孤立球体的电容为 由于铜球离地面较远，可忽略其影响，则利用静电比拟法式(4.1-14)，便求得铜球的接地电阻为解2 忽略地面影响，则电流线都垂直于铜球表面，所以大地中任一点的电流密度 电场强度为 铜球至无穷远处电压是 从而得接地电阻为 4.4 / 4.1-4一扇形电阻片如题图4-2所示，其电导率为，请计算A、B面之间的电阻。题图4-2 扇形电阻片解1 由式(2.1-21)知导线电阻值为 则图中所示的电阻元是 即电导元是 故A、B面间电导为 即A、B面间电阻为 解2 设A 板电位为U，B板电位为零。A、B板间电位满足拉氏方程： 其通解为 应用边界条件： 故 电场强度： 电流密度： 由A板流向B板的总电流： 故 4.5 / 4.1-5 试用两种方法计算上题扇形电阻片在两圆弧面之间的电阻。解1 解2 解3 采用静电比拟法： 故 4.6 / 4.1-6 平行板电容器由厚度分别为和的两层非理想介质绝缘，它们的电参数分别为、和、，极板面积为。请用两种方法计算电容器的绝缘电阻R。解1 采用静电比拟法令,两极板间电压为U,极板上面电荷密度为,则 则 解2 采用定义及路的概念:题图4-3 同轴线4.7 / 4.2-1无限长同轴线的横截面如题图4-3所示，内外导体通有 大小相等、方向相反的电流I。试求各区的磁通密度（应用安培环路定律）。解由于电流沿轴向，是轴对称分布，,且B仅与有关。(1)区（）：由安培环路定律，以半径为的圆为积分回路，得 故 (2)区（）： 故 (3)区（）： 故 (4)区（）：因所包围I=0，故 随变化的曲线，如图所示。4.8 / 4.2-2 无限长圆柱直导线由两种金属制成，内层a区域电导率为，外层ab区域电导率为。设导线中总的轴向电流为I，求此二区域及导线外区域（b）的磁通密度。解 先求内外层的电流密度，再求。设圆柱体轴向为z，则电流沿z向。在处，。故 ， 则总电流为 得 可由安培环路定律得出。(1) ： (2) ： (3) ： 此时总电流为I，得 4.9 / 4.2-3 已知z0区域为铁磁场物质，其相对磁导率为，z0区域为空气。（a)在z=0面上，若空气中的磁通密度，求铁磁物质中的磁通密度；（b)在z=0面上,若铁磁物质中的磁通密度,则空气中磁通通密度解 （a) 设铁磁物质中磁通密度。在z=0面上根据边界条件(4.2-8)、(4.2-9)，有 , 故 （b) 设空气中磁通密度，由边界条件知图4.4 磁介质与空气边界 , 故 4.10 / 4.3-1如图4-4所示，z0区域为磁导率为的磁介质，z0 区域为空气，一线电流I沿x轴流动。求二区域的磁通密度和磁场强度。解 通过求和。修改坐标，将I流向取为z轴（原题x轴）而将原题z轴改为x轴，则只有分量，且与、z无关，故其拉氏方程为 积分后得 , x0 , xl处P点的磁通密度为。解 （a) 由例2.1-4知，z处单个电流环在O点产生的磁通密度为 则长的N环螺线管在O点产生的磁通密度为 题图4-5 螺线管 （b）参看右图，先求xoy平面上单个电流环在xz面上 点产生的磁矢位，再由求。 由式(4.3-7)知式中，在圆环积分过程中，上半环与下半环的向分量相消，故只需改分量，对任意角，这也就是分量。又，因 ， 故 当，有从而得 若P点位于xoy面上距O点R处，则,由上式得 考虑到RL，对P点而言，可认为每个电流环均处于xoy面内，因而有 . 得证。4.14 / 4.3-5 如果将地球的磁场看成是由位于地心的一个长螺线管产生的，假设地壳的磁导率为，现测得赤道表面处磁通密度为，地球半径为6380Km。试计算位于地心的螺管磁矩多大（参看习题4.3-4b）。解 由习题4.3-4(b)知, 4.15 / 4.4-1 一无限长同轴线中有二层磁介质，如图4-6所示。求单位长度自感。 解 由题4.2-1知， 对外导体区域， 图4-6 双层磁介质同轴线 得 4.16 / 4.4-2 对很长的空气芯螺线管，其半径为a，密绕N匝线圈，求其单位长度自感（参看习题4.3-4）。解 在题4.3-4中已求得单位长度上N匝螺管电流在内部产生的磁通密度为每单位长度螺管通过一匝线圈的磁通为每单位长度磁链为故每单位长度电感为4.17 / 4.4-3 一很长的直导线与一直角三角形导线回路如图 4-7所示。求直导线与三角形回路间的互感。解 如图所示，长直导体在三角形内产生的磁通密度为 则穿过三角形回路的互感磁通为， 图4-7 直导线与直角三角形回路 得 故互感为 4.18 / 4.4-4 一很长的直导线附近有一矩形导线回路，如题 图4-8所示。求二者间的互感。解 长直导线在矩形回路中距离x处产生的磁通密度为则穿过矩形回路的互感磁通为 故互感为 题图4-8 直导线与矩形回路4.19 / 4.4-5 如题图4-9所示，一对平行双线传输线的平 面上有一矩形导线回路。求二者之间的互感。解 题图4-9 双导线与矩形回路图 4.20 / 4.4-6