2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答.doc_第1页
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答.doc_第2页
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答.doc_第3页
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答.doc_第4页
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答.doc_第5页
已阅读5页，还剩8页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答一、计算题（1） 求极限 解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 ,由于 ，所以.解法2 利用，得，,由于，所以 .（2）计算，其中为下半球的上侧，.解法一. 先以代入被积函数， ，补一块有向平面，其法向量与轴正向相反，利用高斯公式，从而得到，其中为围成的空间区域，为上的平面区域，于是 .解法二. 直接分块积分 ，其中为平面上的半圆，.利用极坐标，得， ，其中为平面上的圆域，用极坐标，得 ，因此.（3）现要设计一个容积为的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为，根据题意，可知， ，当且仅当时，等号成立，故当时，所需要的费用最少.（4）已知在内满足求.解： ， ，所以，.二、 求下列极限. （1）； （2），其中，.解：（1） .（2） ，故.一般地，有，其中，.3 设在点附近有定义，且在点可导，求.解：.四、 设在上连续，无穷积分收敛，求.解：设，由条件知， ，利用分部积分，得，于是 .5 设函数在上连续，在内可微，且，.证明：（1）存在，使得； （2）对于每一，存在，使得.证明：（1）令，由题设条件，可知，；利用连续函数的介值定理，得存在，使得，即.（2） 令，由题设条件和（1）中的结果，可知，；利用罗尔中值定理，得存在，使得，由，即得.六、 试证：对每一个整数，成立 . 分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然时，不等式成立；下设.由于，这样问题等价于证明，即，令上式化为，从而等价于，只要证明，设，则只要证明，就有， ，则问题得证.以下证明，成立上式等价于，即，令，则，并且对，有 ，从而当时，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设为整数，证明方程，在上至少有一个根.六、 证明：存在，使得.证明：令，则有， ，由连续函数的介值定理，得存在，使得，故问题得证.这里是由于， ，在上严格单调递减，所以，当时，有.七、 是否存在上的可微函数，使得，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。证明 如果这样的函数存在，我们来求的不动点，即满足的，由此得，这表明有唯一的不动点，易知也仅有唯一的不动点，在等式，两边对求导，得，让，即得，这是不可能的，故这样的函数不存在。八、设函数在上一致连续，且对任何，有，证明： 。试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。证明由在上一致连续，对， ，当且时，便有；取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。对于任意，；从而必有，使得；由条件对每个，有；于是存在，当时，对都成立；故当
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论