5年山东高考数学试卷及答案详解(理科).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学参考公式： 柱体的体积公式：，其中是柱体的底面积，是柱体的高。 圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱的地面周长，是圆柱的母线长。球的体积公式：，其中是球的半径。球的表面积公式：V=4R2，其中是球的半径。用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b=如果事件A、B互斥，那么；如果事件A、B独立，那么。第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设集合则(A) (B) (C) (D) 2、复数在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3、若点在函数的图象上，则的值为(A) 0 (B) (C) 1 (D) 4、不等式的解集是(A) (B) (C) (D) 5、对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6、若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则(A) 3 (B) 2 (C) (D) 7、某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A) 63.6万元 (B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元8、已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为(A) (B) (C) (D) 9、函数的图象大致是(A) (B) (C) (D) 10、已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数 的图象在区间上与轴的交点的个数为俯视图正（主）视图(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真命题的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 012、设是平面直角坐标系中两两不相同的四点，若，且，则称调和分割。已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是(A) 可能是线段的中点 (B) 可能是线段的中点 (C) 可能同时在线段上 (D) 不可能同时在线段的延长线上第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，输入， 则输出的的值是_.14、若展开式的常数项为60，则常数的值为_.15、设函数，观察 根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，_. 16、已知函数，当时，函数的零点，则_. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17、（本小题满分12分） 在中，内角的对边分别为，已知. （）求的值； （）若，求的面积. 18、（本小题满分12分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员进行围棋比赛，甲对、乙对、丙对各一盘已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立. （）求红队至少两名队员获胜的概率； （）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望. 19、（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，AMDBEFC （）若是线段的中点，求证：； （）若，求二面角的大小. 20、（本小题满分12分） 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818 （）求数列的通项公式； （）若数列满足：求数列的前项和. 21、（本小题满分12分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元。（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小值时的. 22、（本小题满分14分） 已知动直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.（）证明：均为定值； （）设线段的中点为，求的最大值； （）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.理科数学试题参考答案一、选择题ADDDB CBACB AD二、填空题68 4 2三、解答题 17、（1）由正弦定理，设 ， 则 ， 所以， 即 ， 化简可得 ， 又 ， 所以 ， 因此 . （2）由 得 ， 由余弦定理 及 ， 得 ， 解得 ， 从而 ， 又因为 ， 所以 因此 18、（1）设甲胜的事件为，乙胜的事件为，丙胜的事件为， 则分别表示甲不胜、乙不胜、丙不胜的事件. 因为 ， 由对立事件的概率公式知 ， 红队至少两人获胜的事件有：， 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 （2）由题意知可能的取值为0，1，2，3. 又由（1）知是两两互斥时间，且各盘比赛的结果相互独立， 因此 由对立事件的概率公式得 01230.10.350.40.15 所以的分布列为因此 19、（1）证法一： 因为 ， 所以 ， 由于 ，因此 ，连接 ，由于 ，在中，是线段的中点，则 ，且因此 且，所以四边形为平行四边形，因此，又 ，所以 证法二： 因为 ， 所以 ， 由于 ，所以 . 取的中点，连接， 因此 四边形为平行四边形 所以 在中，是线段的中点，连接， 则 因为 ， 所以 又 所以 （2）解法一： 因为，所以 又 所以两两垂直 分别以所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则由题意得 所以 又 ， 所以 设平面的法向量为 ，则 所以 取 ，得所以 设平面的法向量为 则 所以 取，得 则 所以 因此二面角的大小为.解法二：由题意知，取的中点，连接因为 所以 则 过向引垂线交于，连接，则 所以 为二面角的平面角由题意，不妨设,则直角梯形中，连接则 又 所以 因此 在中，由于 所以在中，因此二面角的大小为. 20、（1）当时，不合题意； 当时，当且仅当时，符合题意； 当时，不合题意； 因此 所以公比 故 （2）因为 所以 所以 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述， 21、（1）设容器的容积为， 由题意知 ，又， 故 由于 ， 因此 所以建造费用 因此 （2）由（1）得， 由于 ，所以 ， 当 时，令 ，则 所以 当即时， 当时，当时，当时， 所以 是函数的极小值点，也是最小值点. 当即时 当时，函数单调递减，所以，是函数的最小值点.综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 22、（1）解:（）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称， 所以， 因为在椭圆上， 因此 又因为 所以 由、得 此时 （）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知，将其代入得 其中 即 (*) 又 所以 因为点到直线的距离为 所以 又 ， 整理得 ，且符合(*)式， 此时 综上所述，结论成立. （2）解法一： （）当直线的斜率不存在时由（1）知 因此 （）当直线的斜率存在时，由（1）知： 所以 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 综合（）、（）得 的最大值为. 解法二： 所以 即 ，当且仅当时等号成立. 因此 的最大值为. （3）椭圆上不存在三点，使得 证明：假设存在满足 由（1）得 解得 因此 只能从中选取，只能从中选取. 因此 只能在这四点中选取三个不同点 而这三点的两两连线中必有一条过原点 与矛盾 所以椭圆上不存在满足条件的三点.2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）P（B）.第I卷（共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 【答案】A【解析】.答案选A.另解：设，则,根据复数相等可知，解得，于是.【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了对学生计算能力，属于基础题.明年可能结合复数概念或者几何意义考查.2.已知全集=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3,，B=2,4 ，则为A.1,2,4 B.2,3,4 C.0,2,4 D.0,2,3,4【答案】C【解析】由题意可知，,故而选择答案C.【点评】本题考查了集合的概念和集合的运算，考查了考生的运算能力；子集与真子集也是常常考查内容，估计明年会结合子集考查.3设a0 a1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可知，反之，由于可知，当时，函数并不单调递减，故而“函数f(x)= a3在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数”的 充分不必要条件，答案选A.【点评】本题考查了函数的性质和充要条件的判断，体现了学生的推论能力.判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法简易逻辑是高考中必考内容，明年可能结合命题考察.4采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15【答案】C【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C.【点评】本题考查了抽样方法，注意到系统抽样原则的应用，是对学生推理能力的考查.分层抽样也是重要考点，明年可能考分层抽样.【答案】A【解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，而目标函数可以看做2x+y=44x-y=-1x+2y=2，截距最小时值最大，当截距最大时值最小，根据条件，故当目目标函数过时，取到的最大，由，当目标函数经过时，取到最小值，故而答案为A.【点评】本题考查了线性规划问题，是典型的线性规划求最值问题，体现了数形结合法思想的应用.在线性约束条件下，线性约束条件所表示的区域一般是一个多边形区域或者一个以直线为边界的无限区域，如果目标函数是线性的，则可以根据目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值和最小值的位置，如本题中的目标函数变换后即 z，则目标函数z的几何意义即直线在y轴上的截距相反数，截距最大(小)时的位置就是目标函数取得最小(大)值的位置，在一些含有参数的线性规划问题中这个思想显得更为重要.线性规划是高考必考内容，估计明年还会考到.（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】B【解析】；，.答案应选B.【点评】本题考察了程序框图的应用，根据程序框图推算结果.程序框图也是常考内容，明年还会结合这些知识考察.(7)若， ，则sin=（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由可得，答案应选D.另解：由及可得，而当时，结合选项即可得.答案应选D.【点评】本题考察了二倍角公式和同角基本关系的应用，考察了学生的运算能力；三角恒等变换往往结合三角函数图象与性质考察，故而明年可能出现三角函数图象与性质考点.8定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3x-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1x3时，f（x）=x.则f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012【答案】B【解析】根据条件可知函数是周期为6的周期函数，由因为当-3x-1时，f（x）=，当-1x3时，f（x）=x可知，故而，故而f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=【点评】本题考查了函数的周期性的应用，属于函数的性质的考查，这种性质的考察是常见的形式，故而明年会继续考察，可能结合初等函数出现. (9)函数的图像大致为【答案】D【解析】函数，为奇函数，当，且时；当，且时；当，；当，.答案应选D.【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质特点，结合图象语言，考查了数形结合法的思想，函数图象是考点中重要内容，估计明年还会继续考察.（10）已知椭圆C：的离心率为，双曲线x-y1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【答案】D【解析】双曲线x-y1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，于是.椭圆方程为，答案应选D.【点评】本题考察了双曲线与椭圆的基本性质,属于运算能力的考察,求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A）232 (B)252 (C)472 (D)484【答案】C【解析】由题意可知，抽取的三张卡可以分为两类，一类为不含红色的卡，一类是含一张红色的卡片，第一类的抽取法的种数为,第二类抽取法的种数为,故而总的种数为【点评】本题考察排列组合知识，属于推论能力的考察.排列组合、二项式定理属于高考考点，估计明年可能结合二项式定理考察. (12)设函数（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是A.当a0时，x1+x20B. 当a0, y1+y20时，x1+x20, y1+y20时，x1+x20, y1+y20【答案】B【解析】令，则，设，.令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时.答案应选B.另解：令可得.设，不妨设，结合图形可知，当时如右图，此时，即，此时，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B.【点评】题考察了函数与方程知识，反比例函数与二次函数图象的应用是数形结合法思想的应用, 函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来, 函数零点问题是函数与方程思想的考法，估计明年可能结合基本初等函数考察. 第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）若不等式的解集为，则实数k=_.【答案】2【解析】，根据解集为，故而，这是故而得另解：由题意可知是的两根，则，解得.【点评】本题考察了绝对值不等式的解法，属于对学生计算能力考察，绝对值不等式性质也是常考知识，估计明年可能考查.解析：由可得，即，而，所以.（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_.【答案】【解析】由题意可知，【点评】本题考察多面体与体积公式的应用，同时考察了学生的空间想象能力；明年有可能结合三视图考查.（15）设a0.若曲线与直线xa，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=_.【答案】【解析】【点评】考察了微积分的应用，属于计算能力的考察.这是理科的特色，估计明年还会考查.（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为_.CD【答案】【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了弧度，此时点的坐标为另解1：根据题意可知滚动自圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.【点评】本题考察了三角函数与向量知识的灵活应用，属于知识点交汇处的题目.解决好本题的关键是充分利用图象语言，属于典型的数形结合法思想的应用，数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野；结合新情境考查明年还会继续.三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）已知向量m=（sinx，1），函数f（x）=mn的最大值为6.（）求A；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象.求g（x）在上的值域.【解析】（），则;（）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.当时，.故函数g（x）在上的值域为.另解：由可得，令， 则，而，则，于是，故，即函数g（x）在上的值域为.【点评】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换和三角函数图象与性质，是对三角和向量的综合考察，考察了学生的计算能力，属于基础题.解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究明年可能结合解三角形来考察.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF.（）求证：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值.【解析】（）在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60，CB=CD,由余弦定理可知,即,在中，DAB=60，则为直角三角形，且.又AEBD，平面AED，平面AED，且，故BD平面AED；（）由（）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，向量为平面的一个法向量.设向量为平面的法向量，则,即，取，则，则为平面的一个法向量.，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则二面角F-BD-C的余弦值为.【点评】本题考查本题考察了线面垂直的位置关系的判断，和利用空间向量来求二面角的余弦问题. 明年可以结合线面平行的知识进行考察，二面角或者线面角的形式考察空间向量的应用.（19）（本小题满分12分） 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX【解析】（）；（）,X012345PEX=0+1+2+3+4+5=.【点评】本题考查了概率、随机变量、分布列和数学期望属于对概率知识的综合考察，考察了学生的计算能力和逻辑推理能力；这种考法在山东卷中相对固定，明年还会继续考察.（20）（本小题满分12分）在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求数列an的通项公式；（）对任意mN，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.【解析】（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（）对任意mN，则，即，而，由题意可知，于是，即.【点评】本题考查本题考察了数列的求通项与求和的方法，属于数列的典型问题.考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力数列求通项与求和是常见的考法，故而明年会继续围绕这些内容进行考察. （21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为.（）求抛物线C的方程；（）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当k2时，的最小值.【解析】（）F抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F，设M，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.（）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而，由可得，则，即，解得，点M的坐标为.（）若点M的横坐标为，则点M，.由可得，设，圆，于是，令，设，当时，即当时.故当时，.【点评】本题考查求曲线方程的方法以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于圆锥曲线问题的综合应用，全面考核综合数学素养.明年可能考察直线与椭圆的位置关系考察.22(本小题满分13分)已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行.（）求k的值；（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x0，.【解析】由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，当时，；当时，.于是在区间内为增函数；在内为减函数.简证（），当时， ，.当时，要证.只需证，然后构造函数即可证明.【点评】本题考察了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间以及导数在函数与不等式中的应用，体现了等价转换思想应用.函数与导数结合不等式考察在山东卷中相对固定，明年会继续考察.2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）参考公式：如果事件A、B互斥，那么；如果事件A、B独立，那么。第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数满组（为虚数单位），则的共轭复数为(A) (B) (C) (D) 2、已知集合，则集合中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 3、已知函数为奇函数，且当时，则(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 24、已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(A) (B) (C) (D) 5、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(A) (B) (C) (D) 6、在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) (D) 7、给定两个命题 若是的必要不充分条件，则是的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 8、函数的图象大致为(A) (B) (C) (D) 9、过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(A) (B) (C) (D) 10、用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则(A) (B) (C) (D) 12、设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) (D) 是结 束输出否开 始输入第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，若输入的值为0.25，则输出的的值为 _.14、在区间上随机取一个数，使得成立的概率为_.15、已知向量与的夹角为，且若，且，则实数的值为_. 16、定义“正对数”： 现有四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17、（本小题满分12分） 设的内角所对的边分别为，且.FPHEGACBQD （）求的值； （）求的值. 18、（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥中，分别是的中点，与交于点，与交于点，连接. （）求证：； （）求二面角的余弦值。19、（本小题满分12分） 甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。 （）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率； （）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分的分布列和数学期望。 20、（本小题满分12分） 设等差数列的前项和为，且 （）求数列的通项公式； （）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前项和。21、（本小题满分13分） 设函数（是自然对数的底数，）（）求的单调区间、最大值； （）讨论关于的方程根的个数。 22、（本小题满分13分） 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（）求椭圆的方程； （）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（）在（）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.理科数学试题参考答案一、选择题DCABB CADAB DB二、填空题3 三、解答题 17、（）由余弦定理 ， 得 ， 又， 所以 ， 解得 . （）在 中， ， 由正弦定理得 ， 因为 ， 所以 为锐角. 所以， 因此 18、（）证明：因为 分别是的中点， 所以 ， 所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以，又 ，所以.FPHEGACBQD （）解法一：在中， 所以 ，即， 因为， 所以 ， 又 ， 所以 .由（）知，所以 又 ，所以 ， 同理可得 所以为二面角 的平面角.设 ，连接，在 中，由勾股定理得，在 中，由勾股定理得.又为 的重心，所以 ，同理 .在中，由余弦定理得，即二面角的余弦值为.FPHEGACBQD解法二：在中，所以.又 ，所以 两两垂直.以 为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则 ,所以 设平面的一个法向量为，由， 得 取 ，得.设平面的一个法向量为，由， 得 取 ，得.所以 ,因为 二面角为钝角，所以 二面角的余弦值为.19、（）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件 ， 由题意，各局比赛结果相互独立， 故， ，. 所以，甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为. （）记“乙队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立， 所以， 由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3， 又 ， 0123 所以的分布列为因此 . 20、（）设等差数列的首项为，公差为. 由得 解得 因此 . （）由题意知：， 所以时， 故， 所以 ， 则 ， 两式相减得 整理得 所以 数列的前项和 21、解：（）， 由 ，解得， 当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 所以，函数 的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为. （）令. （1） 当 时， ，则， 所以 . 因为 ， 所以 因此 在上单调递增.（2）当 时， ，则，所以 .因为，所以.又，所以，即，因此 在上单调递减.综合（1）（2）可知 当 时，.当，即时，没有零点，故关于的方程的根的个数为0；当，即时，只有一个零点，故关于的方程的根的个数为1；当，即时， 当时，由（）知 ， 要使，只需使，即 ； 当时，由（）知 ， 要使，只需使，即 ；所以 时，有两个零点，故关于的方程的根的个数为2.综上所述，当时，关于的方程的根的个数为0；当时，关于的方程的根的个数为1；当时，关于的方程的根的个数为2. 22、解:（）由于，将代入椭圆方程，得， 由题意知，即. 又，所以. 所以 椭圆的方程为 （）解法一：设.又 ，所以直线的方程分别为:由题意知 ，由于点在椭圆上，所以所以因为，可得.所以.因此.解法二：设，当时， 当时，直线的斜率不存在，易知或.若，则直线的方程为.由题意得，因为，所以.若,同理可得. 当时，设直线的方程分别为 ，由题意知 ，所以 ，因为 并且 ，所以 ，即 .因为 所以 .整理得 ，故 .综合可得 .当时，同理可得 .综上所述，的取值范围是 .（）设，则直线的方程为， 联立 整理得 由题意 ， 即 又 所以 故 ， 由（）知 ， 所以 ， 因此 为定值，这个定值为. 2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。1. 已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A） (B) (C) (D) 答案：D解析：与互为共轭复数，2. 设集合则(A) 0,2 (B) (1,3) (C) 1,3) (D