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例 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题 产销单位运价如下表 单位销地 LINGO模型举例 1 数学模型为 目标函数min 2 使用LINGO软件 编制程序如下 model 6发点8收点运输问题 sets warehouses wh1 wh6 capacity vendors v1 v8 demand links warehouses vendors cost volume endsets 目标函数 min sum links cost volume 需求约束 for vendors J sum warehouses I volume I J demand J 3 产量约束 for warehouses I sum vendors J volume I J capacity I 这里是数据 data capacity 605551434152 demand 3537223241324338 cost 626742954953858252197433767392712395726555228143 enddata end 然后点击工具条上的按钮即可 4 例1 4 1背包问题 某人打算外出旅游并登山 路程比较远 途中要坐火车和飞机 考虑要带许多必要的旅游和生活用品 例如照相机 摄像机 食品 衣服 雨具 书籍等等 共n件物品 重量分别为ai 而受航空行李重量限制 以及个人体力所限 能带的行李总重量为b n件物品的总重量超过了b 需要裁减 该旅行者为了决策带哪些物品 对这些物品的重要性进行了量化 用ci表示 试建立该问题的数学模型 这个问题称为背包问题 KnapsackProblem 5 解 若引入0 1型决策变量xi xi 1表示物品i放入背包中 否则不放 则背包问题等价于如下0 1线性规划 假设现有8件物品 它们的重量分别为1 3 4 3 3 1 5 10 kg 价值分别为2 9 3 8 10 6 4 10 元 假如总重量限制不超过15kg 试决策带哪些物品 使所带物品的总价值最大 6 编写LINGO程序如下 MODEL SETS WP W1 W8 A C X ENDSETSDATA A 134331510 C 2938106410 ENDDATAMAX SUM WP C X 目标函数 FOR WP BIN X 限制X为0 1变量 SUM WP A X 15 END求解得到结果 带1 6号物品 总价值为38 7 选址问题 某公司有6个建筑工地 位置坐标为 ai bi 单位 公里 水泥日用量di 单位 吨 假设 料场和工地之间有直线道路 8 用例中数据计算 最优解为 总吨公里数为136 2 线性规划模型 决策变量 cij 料场j到工地i的运量 12维 9 选址问题 NLP 2 改建两个新料场 需要确定新料场位置 xj yj 和运量cij 在其它条件不变下使总吨公里数最小 决策变量 cij xj yj 16维 非线性规划模型 10 LINGO模型的构成 4个段 集合段 SETSENDSETS 数据段 DATAENDDATA 初始段 INITENDINIT 目标与约束段 局部最优 89 8835 吨公里 LP 移到数据段 11 边界 12 例3基金的优化使用 参见2001年竞赛C题 1 问题的提出假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金 打算将其存入银行 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生 要求每年的奖金额相同 且在n年末仍保留原基金数额 银行存款税后年利率见下表 校基金会希望获得最佳的基金使用计划 以提高每年的奖金额 请在M 5000万元 n 5年的情况下设计具体存款方案 13 2 问题的分析 假定首次发放奖金的时间是在基金到位后一年 以后每隔一年发放一次 每年发放的时间大致相同 校基金会希望获得最佳的基金使用计划 以提高每年的奖金额 且在n年末仍保留原基金数额M 实际上n年中发放的奖金总额全部来自于利息 如果全部基金都存为一年定期 每年都用到期利息发放奖金 则是没有优化的存款方案 每年的奖金数为5000 0 018 90万元 显然 准备在两年后使用的款项应当存成两年定期 比存两次一年定期的收益高 依此类推 目标是合理分配基金的存款方案 使得n年的利息总额最多 14 定义收益比a 本金 利息 本金 于是存2年的收益比为a2 1 2 16 2 1 0432经分析得到两点结论 1 一次性存成最长期 优于两个 或两个以上 较短期的组合 中途转存 2 当存款年限需要组合时 收益比与组合的先后次序无关 存款年限及相应的最优收益比 15 3 建立模型把总基金M分成5 1份 分别用x1 x5 x6表示 其中x1 x5分别表示计划用于第i年发放奖金的一部分初始基金 单位 万元 x6表示用来使5年末本息合计等于原基金总数的那部分初始基金 用S表示每年用于奖励优秀师生的奖金额 用ai表示第i年的最优收益比 目标函数为maxS约束条件有3个 各年度的奖金数额相等 初始基金总数为M n年末保留原基金总额M 于是得到模型如下 16 目标函数 MAXS约束条件 这是线性规划模型 可以用LINGO软件求解 令M 5000 n 5 程序为MAX S 1 018 x1 S 1 0432 x2 S 1 07776 x3 S 1 07776 1 018 x4 S 1 144 x5 S 1 144 x6 M M 5000 x1 x2 x3 x4 x5 x6 M 17 4 优化结果最优存款方案 x1 x5 x6分别为132 8317129 6230125 4664123 2479118 20164370 629 单位 万元 每年度的奖金数额为135 2227万元 18 例 某班8名同学准备分成4个调查队 每队两人 前往4个地区进行社会调查 假设这8名同学两两之间组队的效率如下表 问 如何组队可以使总效率最高 19 model sets students s1 s8 pairs students students 2 gt 1 BENEFIT MATCH EndsetsDataBENEFIT 9342156173521442921552876234enddata 20 objective MAX SUM PAIRS I J BENEFIT I J MATCH I J constraints FOR STUDENTS I SUM PAIRS J K J EQ I OR K EQ I MATCH J K 1 FOR PAIRS I J BIN MATCH I J BIN x 限制x为0或1 注 21 建模实例与求解 最短路问题下料问题露天矿的运输问题钢管运输问题 22 最短路问题 求各点到T的最短路 23 8 9 7 6 5 4 1 3 2 10 9 6 5 3 6 9 7 15 11 9 1 8 7 5 4 10 5 7 24 最短路问题 model data n 10 enddata sets cities 1 n F 10个城市 roads cities cities 1 21 32 42 52 63 43 53 64 74 85 75 85 96 86 97 108 109 10 D P endsets 25 data D 65369751191875410579 enddata 26 F n 0 for cities i i lt n F i min roads i j D i j F j for roads i j P i j if F i eq D i j F j 1 0 end 27 计算的部分结果为 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueN10 00000F 1 17 00000F 2 11 00000F 3 15 00000F 4 8 000000F 5 13 00000F 6 11 00000F 7 5 000000F 8 7 000000F 9 9 000000F 10 0 000000 28 P 1 2 1 000000P 1 3 0 000000P 2 4 1 000000P 2 5 0 00000P 2 6 0 000000P 3 4 1 000000P 3 5 0 000000P 3 6 0 000000P 4 7 0 000000 P 4 8 1 000000P 5 7 1 000000P 5 8 0 000000P 5 9 0 000000P 6 8 1 000000P 6 9 0 000000P 7 10 1 000000P 8 10 1 000000P 9 10 1 000000 29 问题1 如何下料最节省 例钢管下料 问题2 客户增加需求 节省的标准是什么 由于采用不同切割模式太多 会增加生产和管理成本 规定切割模式不能超过3种 如何下料最节省 30 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合 切割模式 合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸 钢管下料 31 为满足客户需要 按照哪些种合理模式 每种模式切割多少根原料钢管 最为节省 合理切割模式 2 所用原料钢管总根数最少 钢管下料问题1 两种标准 1 原料钢管剩余总余量最小 32 xi 按第i种模式切割的原料钢管根数 i 1 2 7 约束 满足需求 决策变量 目标1 总余量 按模式2切割12根 按模式5切割15根 余料27米 最优解 x2 12 x5 15 其余为0 最优值 27 整数约束 xi为整数 33 当余料没有用处时 通常以总根数最少为目标 目标2 总根数 约束条件不变 最优解 x2 15 x5 5 x7 5 其余为0 最优值 25 xi为整数 按模式2切割15根 按模式5切割5根 按模式7切割5根 共25根 余料35米 虽余料增加8米 但减少了2根 与目标1的结果 共切割27根 余料27米 相比 34 钢管下料问题2 对大规模问题 用模型的约束条件界定合理模式 增加一种需求 5米10根 切割模式不超过3种 现有4种需求 4米50根 5米10根 6米20根 8米15根 用枚举法确定合理切割模式 过于复杂 决策变量 15维 xi 按第i种模式切割的原料钢管根数 i 1 2 3 r1i r2i r3i r4i 第i种切割模式下 每根原料钢管生产4米 5米 6米和8米长的钢管的数量 35 满足需求 模式合理 每根余料不超过3米 整数非线性规划模型 钢管下料问题2 目标函数 总根数 约束条件 整数约束 xi r1i r2i r3i r4i i 1 2 3 为整数 36 增加约束 缩小可行域 便于求解 原料钢管总根数下界 最佳切割方式 特殊生产计划 简单切割方式 对每根原料钢管模式1 切割成4根4米钢管 需13根 模式2 切割成1根5米和2根6米钢管 需10根 模式3 切割成2根8米钢管 需8根 原料钢管总根数上界 31 模式排列顺序可任定 需求 4米50根 5米10根 6米20根 8米15根 每根原料钢管长19米 37 LINGO求解整数非线性规划模型 Localoptimalsolutionfoundatiteration 12211Objectivevalue 28 00000VariableValueReducedCostX110 000000 000000X210 000002 000000X38 0000001 000000R113 0000000 000000R122 0000000 000000R130 0000000 000000R210 0000000 000000R221 0000000 000000R230 0000000 000000R311 0000000 000000R321 0000000 000000R330 0000000 000000R410 0000000 000000R420 0000000 000000R432 0000000 000000 模式1 每根原料钢管切割成3根4米和1根6米钢管 共10根 模式2 每根原料钢管切割成2根4米 1根5米和1根6米钢管 共10根 模式3 每根原料钢管切割成2根8米钢管 共8根 原料钢管总根数为28根 38 0 y x VOR2x 629 y 375 309 00 1 30 864 3 2 0 飞机x y VOR1x 764 y 1393 161 20 0 80 VOR3x 1571 y 259 45 10 0 60 北 DMEx 155 y 987 飞机与监控台 图中坐标和测量距离的单位是 公里 实例 飞机精确定位问题 39 40 第1类模型 不考虑误差因素 超定方程组 非线性最小二乘 量纲不符 41 第2类模型 考虑误差因素 作为硬约束 Minx Miny Maxx Maxy 以距离为约束 优化角度误差之和 或平方和 或以角度为约束 优化距离误差 非线性规划 仅部分考虑误差 角度与距离的 地位 不应不同 有人也可能会采用其他目标 如 误差非均匀分布 42 误差一般服从什么分布 正态分布 不同的量纲如何处理 无约束非线性最小二乘模型 归一化处理 飞机坐标 978 31 723 98 误差平方和0 6685 4 角度需要进行预处理 如利用Matlab的atan2函数 值域 pi pi 第3类模型 考虑误差因素 作为软约束 且归一化 43 小技巧 LINGO中没有atan2函数 怎么办 可以直接利用 tan函数 同前面的模型 结果 飞机坐标 980 21 727 30 误差平方和2 6与前面的结果有所不同 为什么 哪个模型合理些 最后 思考以下模型 44 露天矿生产的车辆安排 CUMCM 2003B 钢铁工业是国家工业的基础之一 铁矿是钢铁工业的主要原料基地 许多现代化铁矿是露天开采的 它的生产主要是由电动铲车 以下简称电铲 装车 电动轮自卸卡车 以下简称卡车 运输来完成 提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务 露天矿里有若干个爆破生成的石料堆 每堆称为一个铲位 每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石 一般来说 平均铁含量不低于25 的为矿石 否则为岩石 每个铲位的矿石 岩石数量 以及矿石的平均铁含量 称为品位 都是已知的 每个铲位至多能安置一台电铲 电铲的平均装车时间为5分钟 45 卸货地点 以下简称卸点 有卸矿石的矿石漏 2个铁路倒装场 以下简称倒装场 和卸岩石的岩石漏 岩场等 每个卸点都有各自的产量要求 从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑 应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量 假设要求都为29 5 1 称为品位限制 搭配起来送到卸点 搭配的量在一个班次 8小时 内满足品位限制即可 从长远看 卸点可以移动 但一个班次内不变 卡车的平均卸车时间为3分钟 46 所用卡车载重量为154吨 平均时速28 卡车的耗油量很大 每个班次每台车消耗近1吨柴油 发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量 故一个班次中只在开始工作时点火一次 卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的 原则上在安排时不应发生卡车等待的情况 电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务 卡车每次都是满载运输 47 每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60 每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道 不会出现堵车现象 每段道路的里程都是已知的 一个班次的生产计划应该包含以下内容 出动几台电铲 分别在哪些铲位上 出动几辆卡车 分别在哪些路线上各运输多少次 因为随机因素影响 装卸时间与运输时间都不精确 所以排时计划无效 只求出各条路线上的卡车数及安排即可 一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量 品位 要求 而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一 1 总运量 吨公里 最小 同时出动最少的卡车 从而运输成本最小 2 利用现有车辆运输 获得最大的产量 岩石产量优先 在产量相同的情况下 取总运量最小的解 48 请你就两条原则分别建立数学模型 并给出一个班次生产计划的快速算法 针对下面的实例 给出具体的生产计划 相应的总运量及岩石和矿石产量 某露天矿有铲位10个 卸点5个 现有铲车7台 卡车20辆 各卸点一个班次的产量要求 矿石漏1 2万吨 倒装场 1 3万吨 倒装场 1 3万吨 岩石漏1 9万吨 岩场1 3万吨 49 铲位和卸点位置的二维示意图 50 2020 3 20 51 各铲位和各卸点之间的距离 公里 如下 各铲位矿石 岩石数量 万吨 和矿石的平均铁含量如下 52 问题分析 与典型的运输问题明显有以下不同 这是运输矿石与岩石两种物资的问题 属于产量大于销量的不平衡运输问题 为了完成品位约束 矿石要搭配运输 产地 销地均有单位时间的流量限制 运输车辆只有一种 每次满载运输 154吨 车次 铲位数多于铲车数意味着要最优的选择不多于7个产地作为最后结果中的产地 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排 近似处理 先求出产位 卸点每条线路上的运输量 MIP模型 然后求出各条路线上的派出车辆数及安排 混合整数规划MIP 53 模型假设 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况 在铲位或卸点处由两条路线以上造成的冲突问题面前 我们认为只要平均时间能完成任务 就认为不冲突 空载与重载的速度都是28km h 耗油相差很大 卡车可提前退出系统 等等 54 符号 xij 从i铲位到j号卸点的石料运量 车 单位 吨 cij 从i号铲位到j号卸点的距离公里 Tij 从i号铲位到j号卸点路线上运行一个周期平均时间分 Aij 从i号铲位到j号卸点最多能同时运行的卡车数辆 Bij 从i号铲位到j号卸点路线上一辆车最多可运行的次数次 pi i号铲位的矿石铁含量p 30 28 29 32 31 33 32 31 33 31 qj j号卸点任务需求 q 1 2 1 3 1 3 1 9 1 3 10000吨cki i号铲位的铁矿石储量万吨cyi i号铲位的岩石储量万吨fi 描述第i号铲位是否使用的0 1变量 取1为使用 0为关闭 近似 55 1 道路能力 卡车数 约束 2 电铲能力约束 3 卸点能力约束 4 铲位储量约束 5 产量任务约束 6 铁含量约束 7 电铲数量约束 8 整数约束 xij为非负整数 fi为0 1整数 优化模型 56 model titleCUMCM 2003B 01 sets cai 1 10 crate cnum cy ck flag xie 1 5 xsubject xnum link xie cai distance lsubject number che b endsets 57 data crate 30282932313332313331 xsubject 1 21 31 31 91 3 distance 5 265 194 214 002 952 742 461 900 641 271 900 991 901 131 272 251 482 043 093 515 895 615 614 563 513 652 462 461 060 570 641 761 271 832 742 604 213 725 056 104 423 863 723 162 252 810 781 621 270 50 cy 1 251 101 351 051 151 351 051 151 351 25 ck 0 951 051 001 051 101 251 051 301 351 25 enddata 58 目标函数 min sum cai i sum xie j number j i 154 distance j i max sum link i j number i j max xnum 3 xnum 4 xnum 1 xnum 2 xnum 5 min sum cai i sum xie j number j i 154 distance j i xnum 1 xnum 2 xnum 5 340 xnum 1 xnum 2 xnum 5 341 xnum 3 160 xnum 4 160 59 卡车每一条路线上最多可以运行的次数 for link i j b i j floor 8 60 floor distance i j 28 60 2 3 5 5 1 5 distance i j 28 60 2 3 5 b i j floor 8 60 distance i j 28 60 2 3 5 t i j floor distance i j 28 60 2 3 5 5 b i j floor 8 60 floor distance i j 28 60 2 3 5 5 5 distance i j 28 60 2 3 5 每一条路线上的最大总车次的计算 for link i j lsubject i j floor distance i j 28 60 2 3 5 5 b i j 60 计算各个铲位的总产量 for cai j cnum j sum xie i number i j 计算各个卸点的总产量 for xie i xnum i sum cai j number i j 道路能力约束 for link i j number i j lsubject i j 电铲能力约束 for cai j cnum j flag j 8 60 5 电铲数量约束 addedbyXieJinxing 2003 09 07 sum cai j flag j 7 61 卸点能力约束 for xie i xnum i xsubject i 10000 154 62 铁含量约束 sum cai j number 1 j crate j 30 5 0 sum cai j number 2 j crate j 28 5 0 sum cai j number 5 j crate j 28 5 0 63 关于车辆的具体分配 for link i j che i j number i j b i j 各个路线所需卡车数简单加和 hehe sum link i j che i j 整数约束 for link i j gin number i j for cai j bin flag j 车辆能力约束 hehe 20 ccnum sum cai j cnum j end 64 计算结果 LINGO软件 65 计算结果 派车 结论 铲位1 2 3 4 8 9 10处各放置一台电铲 一共使用了13辆卡车 总运量为85628 62吨公里 岩石产量为32186吨 矿石产量为38192吨 此外 6辆联合派车 方案略 66 最大化产量 结论 略 目标函数变化此外 车辆数量 20辆 限制 其实上面的模型也应该有 67 要铺设一条的输送天然气的主管道 如图一所示 经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 图中粗线表示铁路 单细线表示公路 双细线表示要铺设的管道 假设沿管道或者原来有公路 或者建有施工公路 圆圈表示火车站 每段铁路 公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程 单位km 为方便计 1km主管道钢管称为1单位钢管 一个钢厂如果承担制造这种钢管 至少需要生产500个单位 钢厂 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为 个单位 钢管出厂销价1单位钢管为 万元 如下表 钢管运输问题 CUMCM 2000B 68 1单位钢管的铁路运价如下表 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元 公路运输费用为1单位钢管每公里0 1万元 不足整公里部分按整公里计算 69 钢管可由铁路 公路运往铺设地点 不只是运到点 1 请制定一个主管道钢管的订购和运输计划 使总费用最小 给出总费用 2 请就 1 的模型分析 哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大 哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大 并给出相应的数字结果 3 如果要铺设的管道不是一条线 而是一个树形图 铁路 公路和管道构成网络 请就这种更一般的情形给出一种解决办法 并对图二按 1 的要求给出模型和结果 而是管道全线 70 71 72 常用解法 二次规划先计算最小运费矩阵两种运输方式 铁路 公路 混合最短路问题是普通最短路问题的变种 需要自己设计算法 fi表示钢厂i是否使用 为一个单位钢管从运到的最小费用 xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量 zj是向右铺设的钢管量向两边铺设的费用为 为购运总费用路段的长度 即需铺设的钢管数量 为 73 74 其他优化赛题 飞行管理问题空洞探测问题钻井布局问题抢渡长江问题等等 75 作业 用LINGO软件求解1 露天矿生产的车辆安排2 钢管运输问题 76 LINGO在数值计算中的应用 LINGO的特色功能是求解规划问题 即在一定约束条件下求某个目标函数的最大值或最小值 如果我们充分利用它的强大运算能力 也能在数值计算方面找到其用武之地 一 解非线性方程 混合 组 LINGO把非线性方程组的每一个方程看成是一个等式约束条件 把不等式看成不等式约束条件 把方程 混合 组看成是只有约束条件而没有目标函数的特殊规划 满足所有约束条件的解通常称为可行解 它就是方程组的解 用LINGO求解方程组的优点是不需要初始值 且计算结果的精度通常能达到10 7 77 例 解非线性方程组 解 第一个方程的图象是一条直线 第二个方程的图象是一个椭圆 方程的解是两者的交点 该方程有两组解 78 在LINGO的模型窗口内输入程序 x1 2 x2 3 2 x1 2 x2 2 5 求解得 x1 1 488034 x2 0 7559830 该方程组还有另一组解 x1 0 因LINGO默认变量非负 负根求不出来 如果想求出来 可以通过附加约束条件来解决 bnd 1 x1 0 再次求解 得到另一组解 X1 0 8213709 X2 1 910685 精度达到10 7 79 例 已知方程组 其中x y是变量 u是常数 问u在什么范围内时该方程组有解 若u 1 2 求该方程组的解 解 将约束条件代入第二个方程得2600y 2196 要判断u在什么范围内时该方程组有解 可以把方程组看成约束条件 求能够满足约束条件的u的最大值和最小值 80 即可求出u在什么范围内时该方程组有解 在LINGO模型窗口输入min u y 7500 u 13 u 1300 x 2 y 2 2600 y 900 2600 y 2196 求解得到u的最小值为0 7805724 类似地 在LINGO模型窗口输入max u y 7500 u 13 u 1300 x 2 y 2 2600 y 900 2600 y 2196 81 求解得到u的最大值为1 90599 综上所述 当0 7805724 u 1 90599 方程组有解 当u 1 2时要求方程组的解 只需输入 u 1 2 y 7500 u 13 u 1300 x 2 y 2 2600 y 900 2600 y 2196 求解得到x 21 97852 y 0 5320533 注意到方程组中变量x仅以x 2出现 关于x是偶函数 故当x 21 97852是方程组的解时 x 21 97852必然也时方程组的解 82 二 求函数的极值 求函数极值时 如果没有约束条件 则LINGO极值问题看成是没有约束条件的特殊规划 如果对变量的范围有限制 则把该限制作为约束条件 极值问题就是一个普通的规划问题 用LINGO求极值的优点是不需要初始值 83 例 求函数的极小值点和极小值 解 本题只有目标函数没有约束条件 输入语句 min cos x 2 x y 2 x 2 2 x y y 2 log 1 y 2 求解得到结果 x 1 561665 y 1 613946时 目标函数的最小值为 0 2148464 如果对自变量的取值范围有限制 例如n x m 则用语句 bnd n x m 实现 因LINGO默认变量非负 如果极小值在某个自变量为负值时取得 也用函数 bnd限定该自变量的取值范围 如 bnd 2 y 1 限定 2 y 1 84 三 曲线拟合 1 曲线拟合的概念设观测数据为 xi yi i 1 2 n 希望用一条相对光滑的曲线y f x 来近似表示变量y与x的关系 不要求它通过每一个节点 但要求数据点与曲线之间的距离尽可能小 称f x 为拟合函数或经验公式 85 拟合曲线f x 中往往含有若干待定常数ak k 1 2 m 称为回归系数 记为向量A a1 a2 am 则曲线方程可记为f A x 其具体形式可由散点图或通过建立数学模型来确定 86 2 最小二乘法 确定待定常数的常用方法是最小二乘法 以xi代入f x 得到f xi 它与yi并不相等 需要定出一种规则来衡量曲线f x 与节点的接近程度 令称为均方误差 确定待定常数A的原则是使Q最小 称为最小二乘原理 该方法称为最小二乘法 求出使Q A 取得最小值的A称为最小二乘解 于是问题转化为求多元函数的极小值 87 如果拟合函数y f x 的形式是非线性函数 且无法