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文档简介
绵阳市高中2015级第三次诊断性考试数学(文史类)第卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足(是虚数单位),则=( )A1 B-1 C D2.已知集合,集合,则集合的子集个数是( )A1 B2 C3 D43.为了解某高校高中学生的数学运算能力,从编号为0001,0002,2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,并把样本编号从小到大排列,已知抽取的第一个样本编号为0003,则最后一个样本编号是( )A 0047 B 1663 C1960 D1963 4.已知实数满足,则的最小值是( )A4 B5 C. 6 D75.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的取值范围是( )A B C. D6. 如图1,四棱锥中,底面,底面是直角梯形,该四棱锥的俯视图如图2所示,则的长是( )A B C. D7. 在区间上随机取一个实数,则事件“”发生的概率是( )A B C. D8. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车,汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车,丁说:“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞,丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A吉利,奇瑞 B吉利,传祺 C. 奇瑞,吉利 D奇瑞,传祺9. 双曲线的离心率是,过右焦点作渐近线的垂线,垂足为,若的面积是1,则双曲线的实轴长是( )A1 B2 C. D10.若曲线的一条切线是,则的最小值是( )A2 B C.4 D11. 已知圆,圆交于不同的,两点,给出以下列结论:;,其中正确结论的个数是( )A0 B 1 C. 2 D312. 中,点是内(包括边界)的一动点,且,则的最大值是( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.抛物线的焦点坐标是 14.奇函数的图象关于点对称,则 15.已知圆锥的高为3,侧面积为,若此圆锥内有一个体积为的球,则的最大值为 16.四边形中,设、的面积分别为、,则当取最大值时, 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知正项数列的前项和满足:()求数列的通项公式;()令,求数列的前项和.18. 十九大提出,坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚,并利用电商进行销售,为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分别在,(单位:克)中,其频率分布直方图如图所示.()按分层抽样的方法从质量落在,的蜜柚中抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;()以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有蜜柚均以40元/千克收购;B低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250克的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.19. 如图,在四棱锥中,侧棱底面,底面是菱形,且,点是侧棱的中点.()求证:直线平面;()若,三棱锥的体积是,求的值.20. 在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,为椭圆的上顶点,的面积为1.()求椭圆的方程;()过的直线交椭圆于,且满足,求的面积.21. 已知函数的两个极值点,满足,且,其中是自然对数的底数.()时,求的值;()求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.()求曲线的直角坐标方程;()设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点,在第一象限内曲线上任取一点,求四边形面积的最大值.23.选修4-5:设函数.()若的最小值是4,求的值;()若对于任意的实数,总存在,使得成立,求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABDCC 6-10:ADABC 11、12:DB二、填空题13. 14.2 15. 16.三、解答题17. 解:()由已知,可得当时,可解得,或,由是正项数列,故.当时,由已知可得,两式相减得,.化简得,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,故.数列的通项公式为.(),代入化简得,显然是等比数列,其前项和.18.解:()由题得蜜柚质量在和的比例为,应分别在质量为,的蜜柚中各抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为,质量在的蜜柚为,则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种:,其中质量均小于2000克的仅有这1种情况,故所求概率为.()方案好,理由如下:由频率分布直方图可知,蜜柚质量在的频率为,同理,蜜柚质量在,的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案收购:根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250,于是总收益为(元)若按方案收购:蜜柚质量低于2250克的个数为,蜜柚质量低于2250克的个数为,收益为元.方案的收益比方案的收益高,应该选择方案.19.解:()证明:连接,与交于点,连接.由是菱形,知点是的中点.又点是的中点,而,.(),.又,于是.由已知,得.令菱形的边长为,则由,可得,.,解得,于是.20. 解:()设,由题意可得,即.是的中位线,且,即,整理得.又由题知,为椭圆的上顶点,的面积,整理得,即,联立可得,变形得,解得,进而.椭圆的方程为.()由可得,两边平方整理得.直线斜率不存在时,不满足.直线斜率存在时,设直线的方程为,联立,消去,得,(*)由得.将,代入整理得,展开得,将(*)式代入整理得,解得,的面积为,代入计算得,即的面积为.21. 解:()当时,由题意知、为方程的两个根.根据韦达定
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