2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科数学解析.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学(理科)一选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分（1）已知集合M=x|(x-1)2 0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，2），则C的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x （C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x解：过M和MF中点P做抛物线准线的垂线，垂足分别是N,Q,设准线和x轴的交点为B，A是PQ和x轴的交点.则PQ是梯形FBNM的中位线，PQ= 设M()，则MN=，而FB=，所以PQ=， 所以PA=PQ-= 有因为MN=MF=,所以以MF为直径的圆的半径为，即该 圆和x轴相切.所以，点A和点P的纵坐标相等，A（0，2），所以M点的纵坐标，即，得或，故选C. 另解：由已知得抛物线的焦点，设，点，则, ，由已知,所以，得 所以，由|MF|=5得又，得得或，故选C.（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1） (B)（，） ( C)（， (D) , ）解：当直线y=ax+b过点A和BC的中点时，;当时，直线y=ax+b和边AC,BC相交，才可满足要求，如图，设交点分别是E,F,由，,；当时，直线y=ax+b和边AB,BC相交，如图，设交点分别是E,F, ；所以，选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.解：如图，设,，向量平面的一对底基向量，显然有，,因为，所以.另解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则E(1,2),D(0,2),B(2,0),则，,所以（14）从n个正整数1，2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=_.解：n显然大于4，则两数之和等于5的两个只能是1和4，2和3，两种情况，所以（15）设为第二象限角，若 ，则sin+con=_. 解：，为第二象限角， 另解：， （16）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为_. 解：由S10=0，S15 =25，则； ， ， 在时为递减，在时为递增，所以 ,的最小值是-49.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。（）求B；（）若b=2，求ABC面积的最大值。 解：(1)由正弦定理可知： 由因为A=-(B+C),所以因为，则，即，而所以B=45.（或者）.（2）若b=2，由（1）知B=45，则三角形ABC的外接圆直径2R=.作半径为的圆O，如图，取圆O的弦AC=2，在优弧上任意取一点B，则ABC=45，显然当三角形是等腰三角形时，高最大，即面积最大. AOC为等腰直角三角形，则高为1（是AC的一半），ABC的高为1+，则面积的最大值是.另解：由余弦定理可知:.又因为，所以；当且仅当时，ABC 的面积s取最大值为另解：因为B=45，b=2，由正弦定理 所以,，即因为，当即时，取最大值.（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB.（）证明：BC1/平面A1CD；（）求二面角D-A1C-E的正弦值.（1）证明：连接AC1,和A1C相交于F，则F是AC1的中点，又D是AB的中点，连接FD，则FD是ABC1的中位线，所以FDBC1，又因为FD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1/平面A1CD.另解：因为AA1=AC=CB=AB，则ACBC,又由直棱柱可知， CC1AC,CC1BC,则以C为原点，CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，设AC=2，则A(2,0,0),B(0,2,0)D(1,1,0),A1(2,0,2),E(0,2,1),C1(0,0,2)(1)设平面A1CD的法向量是,因为,即，可设，而,，BC1平面A1CD, BC1/平面A1CD（2）设平面A1CE的法向量是,因为,即，可设， 从而，故 所以二面角D-A1C-E的正弦值（19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，设1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （）将T表示为x的函数（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率。（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x，则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100，110的频率），求T的数学期望.解：（1）当x100,130时，T=500x-300（130-x）=800x-39000，当x130,150时，T=500130=65000，所以（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当120x150.由直方图知需求量x的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于75000元的概率估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为：T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400。(20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:右焦点交M于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.()求M的方程（）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.解（1）设，,则由此得又因为，由题意知，M的右焦点为（，故M的方程为.（2）由解得，或.即.由题意可设直线CD的方程为设，,由得则因为直线CD的斜率为1，所以由已知，四边形ACBD的面积当时，四边形ACBD的面积取得最大值，最大值是.所以四边形ACBD面积的最大值为.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=ex-ln(x+m)()设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；（）当m2时，证明f(x)0.解：（1）由是的极值点，则，得.于是，定义域是，函数在上单调递增，因，所以当时，当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2) 当m2，时，故只需证明当m=2时，当m=2时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根，且当时，当时， ，从而当时，取得最小值.由得故，综上，当m2时， f(x)0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆。（1） 证明：CA是ABC外接圆的直径；（2） 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。 解（1）因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCB=A,由题设知故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆，所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90，因此CA是ABC外接圆的直径.（2）连接CE，因为CBE=90，所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE，由DB=DE,有CE=DC,又所以故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.（23）（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程已知动点p，Q都在曲线C：上，对应参数分别为与，M为PQ的中点。（）求M的轨迹的参数方程（）将M到坐标原点的距离d表示为的函数