动物集群运动行为模型系列之三.docx

动物集群运动行为模型动物集群运动行为模型摘要通过观看大量集结成群进行移动或者觅食的动物行为视频和探究动物集群运动的机理，我们建立了鱼群模型模拟动物的集群运动，建立微分方程模型研究鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，建立模型分析动物群中有一部分信息丰富者对于群运动行为的影响，并且解释群运动方向决策如何形成。针对问题一，通过个体与个体之间以及个体与环境之间的相互作用来推导模拟整个鱼群的运动。个体鱼具有一定的感知能力以及遵循下列三个行为规则：（1）避免与相邻的鱼发生碰撞冲突；（2）尽量与自己周围的鱼在运动方向上保持协调和一致；（3）向鱼自己周围的邻居的位置中心运动。建立出 从而通过matlab编程得出模拟动物的集群行为图。（见图1.1）针对问题二，通过对鱼群轨迹和鲨鱼轨迹的分析，在鲨鱼追踪鱼群的任何时刻都要朝向鱼群的运动，我们建立微分方程模型来模拟鲨鱼的追踪和鱼群的躲避的运动过程。鱼群的位置 鲨鱼的位置 从而得出鲨鱼的追踪和鱼群躲避图（见图2.1）针对问题三，假设鱼群中有一部分领导者，它们掌握着丰富信息，根据掌握信息的多少，我们将之分为领导者和次领导者。通过建立A/R模型分析发现，次领导者的个数,和预测步长（领导者和次领导者间的距离）是影响集群信息传递的两大因素。领导者将重要信息传递给次领导者，次领导者然后传递给鱼群中的跟随者。领导者和各个次领导者间的距离不宜过大，同时次领导者数量应维持在一定数目，过多的次领导者反而影响信息传递，成为多余。关键词：鱼群模型 集群运动 模型 微分方程模型目录一、问题重述51.1问题背景51.2问题提出5二、模型假设 5三、符号说明5四、问题分析6五、模型的建立与求解75.1问题一75.1.1鱼群模型的建立75.1.2鱼群模型的求解85.2问题二115.2.1微分方程模型的建立115.2.2微分方程模型的求解125.3问题三135.3.1模型的建立135.3.2模型的求解14六、模型的评价与推广196.1模型的优缺点196.2模型的推广19参考文献21附录22一、问题重述1.1问题背景在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食的例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。这些动物群在运动过程中具有很明显的特征：群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。1.2问题提出通过观察附件中给出的图片和视频资料和在网上搜索相关资料观察，思考动物集群运动的机理，需要建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为；从而明确了我们需要建立数学模型解决以下问题:(1)建立数学模型模拟动物的集群运动,即建立集群运动的正常运动的模型。 (2)建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，即建立鱼群应激反应的模型。(3)假定动物群中有一部分个体是信息丰富者，建立数学模型分析它们对于集群运动行为的影响，并解释集群运动方向决策如何达成的。二、模型假设 1.集群中的每个个体都有形同的特性且健康正常。2.每个个体都有向邻居中心靠拢的特性。3.每个个体会和它的邻居朝同一个方向游动。4.当个体和它的邻居靠的太近时(距离小于碰撞距离)都自动避开。5.鲨鱼追踪鱼群的任意时刻,鲨鱼始终朝向鱼群运动。6.集群的领导者是信息丰富的个体。7.模型开始运行时，环境中任意分布一定数量的个体,每个个体具有自己的状态属性。三、符号说明周期t中个体的游动方向周期t个体到邻居平均位置的方向个体的邻居的平均方向,小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值个体各个邻居的方向个体各个邻居的位置个体和的物理距离次领导者的位置状态跟随者的位置状态次领导者的预测步数次领导者的个数有预测机制的有领导者集群的群体性能指标无预测机制的有领导者集群的群体性能指标鱼群在第时刻的位置鲨鱼在第时刻的位置鲨鱼的感知范围鱼群的感知范围惯性系数应激系数鲨鱼与鱼群的距离四、问题分析针对问题一，以鱼群为研究对象，采用鱼群集群运动模型，先从个体鱼出发研究其运动的一般特点，再通过个体与个体之间以及个体与环境之间的相互作用推导来模拟整个鱼群的运动。个体鱼具有一定的感知能力以及遵循下列三个行为规则：（1）避免与相邻的鱼发生碰撞冲突。（2）尽量与自己周围的鱼在运动方向上保持协调和一致。（3）尽量试图向自己所认为的群体中靠近。针对问题二，通过对鱼群轨迹和鲨鱼轨迹的分析，在鲨鱼追踪鱼群的任何时刻都要朝向鱼群的运动，当鲨鱼运动轨迹和鱼群运动轨迹相交时，即鲨鱼捕食成功。要求二者运动轨迹，建立微分方程模型，根据给定的条件，对该模型求解，运用MATLAB软件求出解。针对问题三，动物群中有一部分个体是信息丰富者,因此把经验丰富的个体视为领导者，把经验较为丰富的个体视为次领导者，其他的个体视为跟随者。为了更清楚的说明集群同步预测机制的优势,我们将对加入预测机制的有领者集群进行统计仿真同时分析和比较无预测机制的有领导者集群和有预测机制的有领导者集群的群体性能指标和。五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1鱼群模型的建立每个个体鱼运动要遵循以下三个行为规则：避免碰撞 指向邻居中心 邻居方向个体的游动方向图1.1 鱼游动方向（1）每个个体鱼有向邻居中心靠近：邻居中心为在观察范围内每个个体鱼所位置的平均值 ： 为邻居平均值， 为当前位置，为当前各个邻居的位置，为当前个体到的方向 。（2）与邻近鱼保持方向上一致：为各个邻居的方向, N 为邻居的个数, 为邻居的平均方向。 （3）避免与相邻的鱼发生碰撞： 为小于碰撞距离的邻居到当前个体方向的平均值,M 为邻居中小于碰撞距离的邻居个数。另外鱼在运动的过程中，要想改变方向，还需考虑在前一时刻运动方向上的惯性作用。综合考虑四个因素的影响，且每个因素影响的程度不一样，设各个影响因素的权重为、。 且。5.1.2鱼群模型的求解鱼游动方向的确定：需要对、的大小进行在matlab程序调试中改进，从而得出了模拟动物的集群行为图。（程序见附录1）图1.1动物的集群行为图（5张）5.2问题二5.2.1微分方程模型的建立模型模拟是鲨鱼追踪鱼群的过程。鲨鱼以速度V向鱼群追来，鲨鱼始终以朝向鱼群的方向运动，即沿着鲨鱼与鱼群的连线方向，其运动的单位方向向量为：然而鱼群当感知到鲨鱼的追踪时，也会调节其运动方向，但鱼群的运动方向要受到多方面徳影响：鱼群本身的运动方向、鲨鱼的追踪方向、水流的方向、以及其他因素造成徳影响。在这里我们主要考虑两方面的影响：（1）鱼群自身的运动方向，其方向向量的初值为： （2）鲨鱼的追踪方向，其方向向量即为。考虑到这两方面因素对鱼群运动徳影响重要性不一样，我们对这两个因素设置权重系数：惯性系数，应激系数。 则鱼群运动方向单位向量为：运动时间T离散化:由于鱼群与鲨鱼的运动是随着时间随时发生变化的，因此我们将他们运动的时间离散化。即将时间t等分为为n份，其中一份时间长度定为。运动规律分析：表示鱼群在第时刻的位置，表示鲨鱼在第时刻的位置；则在时刻鱼群的位置向量坐标表示为：时刻鲨鱼的位置向量坐标表示为5.2.2微分方程模型的求解（程序见附录2）在前面问题的分析中，我们给鱼群的运动方向设置两个影响的参数：惯性参数和应激参数。二者满足：我们在研究其运动时考虑鱼群运动主要是运动方向的两方面参数：初始运动方向以及两个参数、。在研究他们作用时，我们分别取不同的值来观察鲨鱼的追踪效果图，如下图所示：图2.1鲨鱼的追踪和鱼群躲避效果图;(1)由图知当鱼群受到鲨鱼攻击时，惯性系数基本不发生作用，起决定性作用的是应激系数。(2)由后两个图可知，当鱼群受到攻击时，不论其初始时刻运动方向如何，当鱼群发现受攻击时会逐渐沿着追击方向远离。5.3问题三5.3.1模型的建立为了更清楚的说明集群同步预测机制的优势,我们将对加入预测机制的有领者集群进行统计仿真同时分析和比较无预测机制的有领导者集群和有预测机制的有领导者集群的群体性能指标和。首先，我们引入A/R模型对有领导者集群进行仿真，我们用L表示领导者，P表示次领导者，F表示跟随者。其中A/R函数为为三个自由常量，表示个体和的物理距离。则次领导者的位置状态由如下方程确定：式中代表了次领导者与领导者的长边，表示周围邻居对次领导者的作用。跟随者的位置状态由如下方程确定：是此领导者与领导者未来步时位置之间的距离。5.3.2模型的求解我们考虑一个有M=50 个节点的网络，表示次领导者的预测步数，=10，p-leader 表示次领导者，表示次领导者个数，A/R 函数参数为a =1，b = 2.2 ， c = 0.2。领导者的轨迹函数，领导者的速度，表示采样时间。其中表示领导者，表示次领导者，表示跟随者，蓝线为领导者的轨迹。图3.3 有领导者集群的初始状态在经过65步后。当时，未加入预测机制的集群的运动状态如图3.4所示，可以看出群体的个体形成一个环，由于次领导者无法预测领导者未来的状态，群体的个体慢慢地掉队，偏离领导者轨迹。图3.4 无预测机制的集群的稳定状态另一方面我们对有预测机制的集群进行仿真,图3.5 为=10 时有预测机制的群体经过65 步后的运动状态可以看出群体的个体形成一个环，由于两个次领导者的加入群体的个体能更紧密地跟随领导者，提高了群体的同步性和群体的整体稳定性。 图3.5 有预测机制的集群的稳定状态（=10）图3.6 为有过多预测步数的群体经过65 步后的运动状态，其中=70。可以看到次领导者预测过多的领导者步数后群体的同步性并没有得到提高反而变差。这是因为如果次领导者预测领导者未来步数太多，次领导者会以一个相当快的速度脱离群体，最终失去了对跟随者的影响作用。图3.6 有预测机制的集群的稳定状态（=70）接着我们对无预测机制的集群和有预测机制的集群的群体性能指标之一速度进行仿真并比较结果。其中为每个个体的速度, i=1,.,N 。每个个体速度的大小不变始终为，为领导者速度代表着群体中个体的相对速度，越小，群体间相对速度越小。当 时群体间相对速度为0则群体编队性越好。首先，我们观察对于不同的预测步数时的变化。从图3.7 我们可以看出随着 的增大 能达到的最小值越小，同时我们发现在固定的预测步数 条件下和 的关系，随着增大 先减小在达到一个最小值后缓慢上升，最后趋于稳定。换句话说在预测范围一定的情况下，并不是次领导者越多越好，而是有最优次领导者个数。这也意味着加入一些次领导者能将一个强局限化的网络拓扑结构变成一个小世界网络拓扑结构，从而很大程度上提高群体性能。然而当次领导者个数达到最优次领导者个数后，群体编队特性开始变差过多的次领导者变的多余。之后，我们对在不同的预测步数下进行仿真。从图3.8 中可以看出，随着的增大能达到的最小值越小。同时我们发现在固定的次领导者个数条件下 和的关系，随着 增大 先减小在达到一个最小值后缓慢上升，最后趋于稳定。换句话说，在次领导者个数一定的情况下，并不是预测范围越大越好，而是有最优预测范围。这也意味着适当的预测能力能显著提高群体编队性能。但是对于未来的过多预测会降低群体编队特性。图3 . 7 不同的预测步数 时与的关系图3 . 8 不同次领导者个数下 与的关系同时，我们也对无预测机制的集群和有预测机制的集群的群体性能指标之一位置误差指数分析其仿真结果。其中为每个个体的当前位置, 。 为领导者的当前位置。代表着群体中个体的相对位置，越小，群体间相对位置越小，则群体聚集性能越好。如图3.9 所示，随着 的增大值越小，同时在固定的预测步数下与成反比。也就是说，在预测范围一定的情况下，次领导者越多 值越小，群体的跟随性和收敛性越好。同时我们研究了 与 的关系。从图3.10 可知在固定的次领导者个数条件下和 的关系，随着 增大先减小，在达到一个最小值后缓慢上升，最后趋于稳定。这也说明了适当的预测能力能显著提高群体聚集特性。但是对于未来的过多预测会降低群体聚集特性。图3 . 9 不同的预测步数 时 与 的关系图3 . 1 0 不同次领导者个数 下 与 的关系图3.7 与图3.9 最大的区别是后者是单调的且没有最小值。换句话说 的增加始终改善。一个特殊的例子解释了这种现象,如果所有的跟随者都作为次领导者,则他们会聚集在领导者周围。然而,当超过某个值后, 改进作用非常慢,几乎没有实质的改善。因此适当的对未来的预测及适中的次领导者个数能起到改善群体的最好效果。通过以上仿真结果及数据分析我们可以看出预测机制对有领导者集群同步性,(包括速度同步和位置同步)、粘连特性和群体的整体稳定性的改善。同时长边的个数,即次领导者的个数,和预测步长是影响集群预测能力的两大因素。长边的个数与预测步长之间存在博弈关系。当长边个数不够时,可以增加预测步长来补偿。当网络预测能力不够时,可以增加长边个数来补偿六、模型的评价与推广6.1模型的优缺点（1）采用鱼群模型拟合鱼群的运动较为简单易行，解决过程清晰，通过Matlab编程模拟出来的动态效果较好。（2）问题二中影响鱼群逃避鲨鱼的方向的因素考虑的可能不够完善。 （3）三个问题采用的都是单一模型求解的，单一模型得到的结果可能存在较大误差，结果无法比较。6.2模型的推广鱼群模型对于智能系统，如多机器人系统、多无人飞行等实际系统工程具有一定的推广价值，例如可用于无人机群作战控制以及逃避导弹的追踪等。参考文献1赵静 但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2006。2郑阿奇 曹弋，matlab实用教程，北京：电子工业出版社，2012。3陈超,matlab应用实例精讲，北京：电子工业出版社，2010。4李小雪,生命集群动态行为的预测机制研究:23-28，2008。附录附录1function boid1(n,eta)%generates boids in a fieldrange = 0.2;speed =0.03;TIME = 500;density = 0.5;RUNS = 1;fieldsize = sqrt(n/density);pos = fieldsize*rand(n,2);heading = 2*pi*rand(n,1);relposX = zeros(n);relposY = zeros(n);neighbours = zeros(n);RelHead = zeros(n,1);B = zeros(n,1);newHeading = zeros(n,1);newPos = zeros(n,2);meanHeading = zeros(TIME,1);deviationMean = zeros(n,TIME);for run=1:RUNSfor time=1:TIMEfor i=1:nfor j=1:nrelposX(i,j) = abs(pos(i,1) - pos(j,1);relposY(i,j) = abs(pos(i,2) - pos(j,2);if(sqrt(relposX(i,j)2 + relposY(i,j)2) = range)neighbours(i,j)=1;endendendfor i=1:nfor j=1:nif(neighbours(i,j)=1)relheading(i,j) = heading(j,1)-heading(i,1);endendendRelHead = sum(relheading,2);for i=1:nwhile RelHead(i,1) piRelHead(i,1) = RelHead(i,1) - pi;endendnoise = (rand(n,1)*eta) -eta/2;newHeading(:,1) = heading(:,1) + RelHead(:,1)./sum(neighbours,2) + noise(:,1);newPos(:,1) = pos(:,1) + cos(newHeading(:,1)*speed;newPos(:,2) = pos(:,2) + sin(newHeading(:,1)*speed;for k=1:nwhile newPos(k,1) = fieldsizenewPos(k,1) = newPos(k,1) - fieldsize;endwhile newPos(k,2) = 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