非线性代数方程组的数值解法.ppt

非线性代数方程组的数值解法 2012级硕士生课程 直接迭代法牛顿法和修正牛顿法增量方法增量弧长法 内容 非线性问题可分为三类 材料非线性 几何非线性和边界非线性 我们只讨论前两类问题 不管那类非线性问题 最终都归结为一组非线性方程 a 0 a为待求的未知量 a 0可写成平衡方程的形式 a P a R K a a R 0 对非线性方程 a 0 一般只能用数值方法求近似解答 其实质是 用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解 分段线性法 非线性问题及其求解方法 1直接迭代法 a P a R K a a R 0 设初始未知量为a0 根据上式有 a1 K a0 1R 如果问题是收敛的 a1将比a0有所改善 如此反复迭代可得 an 1 K an 1R an an 1 an 当设范数为 或设范数为 收敛条件则为 将 an 视为不平衡力并作为衡量收敛的标准 对于单变量问题的非线性方程 直接迭代法的计算过程如下图所示 图上给出的是P a K a a和a之间的关系 而不是K a 和a之间的关系 1直接迭代法 对单变量情况 直接迭代实质是 割线 法 一定条件下这种迭代过程是收敛的 但对多自由度情况 由于未知量通过矩阵K an 的元素互相耦合 在迭代过程中可能会出现不稳定现象 a1 K a0 1R 直至 an an 1 an满足收敛条件 满足线弹性问题得到 1直接迭代法 1直接迭代法 an 1 K an 1R an an 1 an 2牛顿法和修正牛顿法 如果将非线性方程 a 0在an附近展开 则 记KT an a n Pn an an a n 1 an 切线矩阵 不平衡力 如此逐步计算 即可得到非线性方程的解答 这就是牛顿 拉夫森法 a an a n an 0 an KT an 1Pn an 1 an an 直至 an满足收敛性 2牛顿法和修正牛顿法 如果在迭代计算的每一步内 矩阵KT都用初始近似解KT0计算 在这种情况下 仅第一步迭代需要完全求解一个线性方程组 如果将KT0三角分解并存储起来 而以后各步迭代中采用迭代公式 则只需对上式右端项中的进行回代就行了 这种方法称为修正的牛顿法 2牛顿法和修正牛顿法 使用修正的牛顿法求解非线性方程组 虽然每一步迭代所花费的计算时间减少了 但迭代过程的收敛速度也降低了 为了提高修正牛顿法的收敛速度可采用某些过量修正加速技术 2牛顿法和修正牛顿法 加速技术修正牛顿法的过量修正技术 确定 的一维搜索办法 将看做N维空间中的搜索方向 我们希望在该方向上找到一个更好的近似值 即找到一个符合下式最好的值 虽然沿这一方向 不能期望求得精确解 但我们可以迭择因子 在搜索问题中称为步长因子 使在搜索方向上的分量为零 即 上式是一个关于的单变量非线性方程 通常可用一些比较简单的方法来估算出的大小 加速技术修正牛顿法的过量修正技术 加速技术 Aitken加速技术 返首页 在算出 后 新的近似解由下式给出 其中 是大于1的正数 它称为加速因子 其中 n的作用是改变切线矩阵KT的主对角元素 使奇异性或病态得到改善 此外 在某些非线性问题 如理想塑性和软化塑性问题 塑性卸载 中用牛顿法 迭代过程中切线矩阵可能是奇异的或病态的 为了克服这一现象 可有多种处理方法 其一是按下式来求 2牛顿法和修正牛顿法 使用某种算法的计算效率 除了与收敛速度有关外 还与每一步迭代所花费的计算量有关 关于每步的计算量 牛顿法最大 而修正牛顿法最小 因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较高 往往需要进行数值实验 总的看来 不同的算法可能适用于不同的问题 选用哪种算法 与所研究问题的性质 例如 对线性的偏离程度 规模 离散的自由度总数 以及容许误差等因素有关 2牛顿法和修正牛顿法 求解非线性方程组的另一类方法是增量方法 使用这种方法需要知道 荷载 项 R 为零时问题的解 a 0 在实际问题中 R 经常代表真实荷载 a 0代表结构位移 在问题的初始状态 它们均为零 这种从问题的初值开始 随着荷载列阵 R 按增量形式逐渐增大 研究 a i的变化规律的方法 称为增量方法 当问题的性质与加载的历史有关时 如弹塑性问题 则必须采用增量方法 3增量方法 设 荷载 R 在任一增量步的值为 R 为荷载增量因子 R 为标准荷载列阵 则非线性方程 a 0可写为 a P a R 0 若 时的解答为a a 象牛顿法一样 将 a a 按Taylor级数展开 则可得 3增量方法 引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为 3增量方法 设荷载增量因子 分别取如下值 则荷载 R 可分成M级 第m级荷载为 mR 其增量为 m 1 m R mR am 1 am am 由此可得 am KT am m 1 mR 但是 这样做的每一步都将产生误差 结果使解答漂移 3增量方法 自修正 混合法 自修正算法 在增量法每一增量步进行自修正计算 计算公式为 自修正 不平衡力 使用这种改进的算法 对于每一增量步都相当于做一次修正 3增量方法 混合法 在增量法每一增量步进行自修正的迭代计算 其m增量步n次迭代的计算公式为 在实际计算中 对于m M 1的各增量步的计算 可以只进行少许几次 例如3次 迭代 而对于m M 1 即最后的一个荷载增量 需耍使用较多次迭代 以使近似解更接近于真解 自修正 不平衡力 用混合法求解时 所选取的荷载增量的步长可以比普通增量算法的步长大一些 3增量方法 用迭代法或增量法进行极限分析时 在极值点附近往往可能不收敛 这时可用增量弧长法来解决 为便于理解 以杆单向拉伸为例加以说明 4增量弧长法 增量弧长法的基本思想是 将 作为独立变量 在每个增量步进行自修正法平衡迭代 在迭代过程中自动控制荷载因子 的取值 也即 前步结果 本步n次增量 如图所示 矢径可表达为 有 由此可得 4增量弧长法 由于弧长法引入了如下约束方程 4增量弧长法 由矢量代数和约束方程可得 也即 4增量弧长法 若记 式中系数为 上述式子是从简单情况推出的 如果除外均理解为矩阵 即为一般情况的弧长法方程 4增量弧长法 4增量弧长法 4增量弧长法 这样做迭代的轨迹很接近圆弧 而计算工作量可减少很多 从上述公式可见 求的工作量是很大的 为此 可令和相互垂直 也即 4增量弧长法 由相互垂直的条件可得 4增量弧长法 综上所述 弧长法求解步骤为 1 选定荷载参考值 和本步荷载因子 解得 由求弧长 2 修改切线刚度矩阵并三角化 检查对角元