2014年高考(湖北卷)理科数学.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题全卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014湖北，理1)i为虚数单位，()A1 B1 Ci Di答案：A解析：，故选A.2(2014湖北，理2)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B C1 D答案：C解析：二项式通项Tr1(2x)7r(ax1)r27rarx72r.由题意知72r3，则r5.令22a584，解得a1.3(2014湖北，理3)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件答案：C解析：如图可知，存在集合C，使AC，BUC，则有AB.若AB，显然存在集合C.满足AC，BUC.故选C.4(2014湖北，理4)根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0答案：B解析：由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的故b0，又回归直线过第一象限，故纵截距a0.故选B.5(2014湖北，理5)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和C和 D和答案：D解析：如图所示A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，B，C，D点在面yOz上的射影分别为B1，C1，D1，它们在一条线上，且C1为B1D1的中点从前往后看时，看不到棱AC，正视图中AC1应为虚线故正视图应为图.点A，D，C在面xOy内的射影分别为O，B，C2，俯视图为OC2B，故选图.综上选D.6(2014湖北，理6)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：，；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D3答案：C解析：对于，0.故为一组正交函数；对于，故不是一组正交函数；对于，.故为一组正交函数，故选C.7(2014湖北，理7)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A B C D答案：D解析：如图，由题意知平面区域1的面积SAOM222.1与2的公共区域为阴影部分，面积.由几何概型得该点恰好落在2内的概率.故选D.8(2014湖北，理8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A B C D答案：B解析：由题意可知：L2r，即，圆锥体积，故，故选B.9(2014湖北，理9)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A B C3 D2答案：A解析：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|2c.由余弦定理4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|.而|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2可得.令a12ccos ，即.故最大值为，故选A.10(2014湖北，理10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为()A BC D答案：B解析：由题意得，若a0，f(x)x，显然成立；若a0，当x0时，作出x0的图象 ，利用f(x)是奇函数作出整个定义域上的图象如图：而f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x，都有f(x1)f(x)，至少应向右平移6a2个单位，所以6a21，解得，且a0.综上，实数a的取值范围是.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分(一)必考题(1114题)11(2014湖北，理11)设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.答案：3解析：由题意得(ab)(ab)0，即a22b20，则a22b2.3.12(2014湖北，理12)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.答案：2解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，所以a2b21，故a2b22.13(2014湖北，理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a815，则I(a)158，D(a)851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b_.答案：495解析：不妨取a815，则I(a)158，D(a)851，b693；则取a693，则I(a)369，D(a)963，b594；则取a594，则I(a)459，D(a)954，b495；则取a495，则I(a)459，D(a)954，b495.故输出结果b495.14(2014湖北，理14)设f(x)是定义在(0，)上的函数，且f(x)0.对任意a0，b0，若经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线与x轴的交点为(c,0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)例如，当f(x)1(x0)时，可得Mf(a，b)c，即Mf(a，b)为a，b的算术平均数(1)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)_(x0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案：(1)(2)x(或填(1)，(2)k2x，其中k1，k2为正常数均可)解析：经过点(a，f(a)，(b，f(b)的直线方程为令xc，y0得；(1)令，则得，可令.前面等式成立(2)令，则得af(b)bf(a)，可令f(x)x，前面等式成立(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分)15(2014湖北，理15)(选修41：几何证明选讲)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，则PB_.答案：4解析：由题意知PAPB.PA切O于点A，由切割线定理可得QA2QCQD1(13)4.QA2，PA224PB.16(2014湖北，理16)(选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_答案：解析：由曲线C1的参数方程得(x0)， 曲线C2的极坐标方程为2，可得方程x2y24， 由联立解得故C1与C2交点的直角坐标为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分11分)(2014湖北，理17)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？分析：由函数f(t)为acos tbsin t型，故可利用辅助角公式对f(t)化简为f(t)102sin，再根据t0,24)，把的范围求出，再利用单位圆或者正弦函数的图象求出的范围，从而求得f(t)的最大与最小值对于第(2)问，要求实验室温度不高于11 ，即满足不等式f(t)11的t的范围就是实验室需要降温的时间段，可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式解：(1)因为，又0t24，所以，.当t2时，；当t14时，.于是f(t)在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得，故有，即.又0t24，因此，即10t18.在10时至18时实验室需要降温18(本小题满分12分)(2014湖北，理18)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由分析：(1)根据an是等差数列，首项a1已知，可设公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，即建立关于d的方程求出d来，可得通项公式an.第(2)问可由(1)问求出的an，求出数列an的前n项和Sn，解不等式Sn60n800.若有解则存在正整数n，若无解则不存在解：(1)设数列an的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得Sn60n800成立当an4n2时，.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.19(本小题满分12分)(2014湖北，理19)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由分析：解决立体几何问题往往用两种方法来解决一是几何法，二是向量法对于第(1)问，欲证直线BC1平面EFPQ，首先想到的是利用线面平行的判定定理，即能否在平面EFPQ内找到一条直线与BC1平行，当1时，由P，F分别是DD1与AD的中点，利用中位线定理可得FPAD1，从而得BC1FP，于是得证对于第(2)问，研究是否存在的值使面EFPQ与面PQMN成直二面角，可根据条件利用几何法作出二面角的平面角，再令此平面角为90，看是否有解若有解就存在，若无解则不存在若用向量法，由于是立方体，可建立空间直角坐标系，要把各点各向量的坐标写准确第(1)问还可利用向量共线，在平面EFPQ内找到一直线与BC1平行来解决，或求出平面EFPQ的法向量n1，利用来证明BC1平面EFPQ.对于第(2)问分别求面EFPQ与平面MNPQ的法向量n，m，若存在使两平面成直二面角，则mn0有解，若不存在则无解方法一(几何方法)(1)证明：如图，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知BC1AD1.当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FPAD1.图所以BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)解：如图，连接BD.图因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，且.又DPBQ，DPBQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQBD，且PQBD，从而EFPQ，且.在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是，所以四边形EFPQ是等腰梯形同理可证四边形PQMN是等腰梯形分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90.连接EM，FN，则由EFMN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GHME2.在GOH中，GH24，由OG2OH2GH2，得，解得，故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角方法二(向量方法)以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.图由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，(1)证明：当1时，因为，所以，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)解：设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2，2，1)若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得.故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角20(本小题满分12分)(2014湖北，理20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080X120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？分析：(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率用样本估计总体的方法估计未来的年入流量因各年的年入流量相互独立，可利用二项分布求出至多有1年的年入流量超过120的概率(2)分别求出安装1台，2台，3台发电机时，水电站年总利润的数学期望，比较它们的期望值，选择最佳方案解：(1)依题意，p2P(80X120)0.7，p3P(X120)0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，2台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8；由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；当80X120时，2台发电机运行，此时Y5 00028009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；当X120时，3台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台21(本小题满分14分)(2014湖北，理21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围分析：第(1)问求动点M的轨迹C的方程，就是找出动点M(x，y)中x与y的关系，依据点M到点F(1,0)的距离比它到y轴距离多1建立等式|MF|x|1，而|MF|可用两点间距离公式表示，化简整理可得轨迹C的方程而对于第(2)问，由于直线过定点(2,1)，可用点斜式得直线方程y1k(x2)，讨论直线l与曲线C公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题由第(1)问知曲线C的方程分为两段：一段是抛物线，一段为射线，而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程，需对二次项系数以及根的判别式作出讨论，还要注意与抛物线联立后有解时x的取值为非负这一条件解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即，化简整理得y22(|x|x). 故点M的轨迹C的方程为(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0. )当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1) 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得. (a)若由解得k1，或.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(b)若或由解得，或.即当时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(c)若由解得，或.即当时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合，可知，当时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当时，直线l与轨迹C恰好