小学教材知识呈现中数学思想表达合理性的研究论文.doc

本科生毕业设计(论文)中文题目 小学教材知识呈现中数学思想表达合理性的研究外文题目 Research on the Rationality of Mathematical Thought in Knowledge Presenting on Primary Mathematical Textbooks 学号 201104012032 姓名 赖正阳 学院 初等教育学院 专业 小学教育（数学） 指导教师 刘祖洋 副教授 完成时间 2015年5月 江西师范大学教务处制声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而作的材料。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意。本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学所有。特此声明。声明人（毕业设计（论文）作者）学号：（ ）声明人（毕业设计（论文）作者）签名：（ ）签名日期： 年 月 日摘 要“基本数学思想”作为数学教育的“四基”目标之一，必然在教材中有所渗透，在知识呈现中有所表达。而数学教材是学生理解数学的重要窗口，这使得对教材知识呈现中数学思想表达合理性的研究，有利于教材编写的改进，从而有利于学生对数学本质的更有效把握。本研究在通过文献法深刻理解数学思想是建立数学和使用数学工具解决问题的指导思想的内涵的基础上，对教材知识内容、重点、表达的核心数学思想进行整理后，将数学思想表达合理性的评价确定为阶段合理性和呈现合理性两方面其中阶段合理性关注思想表达是否符合学生身心发展规律，呈现合理性关注是否突出数学思想及其合理与否。本研究得出评价结果：一，知识呈现中，教材将数学思想渗透的阶段性处理得较好，二，教材对于是否突出数学思想加以呈现知识处理得极为明确，而在突出数学思想的知识呈现中将数学思想表达得非常恰当，但其中部分知识内容的表达还是有不足。关 键 词：小学数学教材；知识呈现；数学思想的表达 IIABSTRACTAs one of “four basis” goals of mathematics education, “basic mathematical thought” is bound to have penetration in textbooks, and express in knowledge presenting. Mathematical textbook is a important window that students understand mathematic, which allow the research on the rationality of mathematical thought in knowledge presenting on primary mathematical textbooks in favor of textbooks improvements, Which will help students better grasp the essence of mathematics.This research is based on profoundly understanding of mathematical research. After list systematically knowledge, important points, core mathematical thought, research use the reasonableness of the stage and the rationality of presenting as standard of evaluation of rationality. The reasonableness of the stage involve if the presenting of thought conform the law of physical and mental development of students. The rationality of presenting involve if knowledge presentation outstand mathematical thinking and its rationality.The research obtains the evaluation results: First, the handle on stage of thought penetration in knowledge presenting of textbooks is very appropriate. Second, the handle on this problem that if knowledge presentation outstand mathematical thinking. On the other hand, the expression of mathematical thought in the part of knowledge that outstand thought is very appropriate. But part of it still exist inappropriate expression.Key words: primary mathematical textbooks knowledge presentation the expression of mathematical thought目 录摘 要IABSTRACTII一、引论1（一）问题提出1（二）研究的问题1（三）研究的目的和意义2二、研究设计2（一）论文构架2（二）研究方法2三、文献综述2(一)国外研究21. 对数学思想的研究22. 对数学思想在小学数学教育的重要性的认识3(二)国内研究31. 关于教材中的数学思想的解析32. 关于教材中的数学思想的应用33. 关于教材中数学思想表达的审思与评价4四、对小学数学教材中数学思想表达的探讨4（一）对小学数学中数学思想的理解51. 数学思想的内涵52. 小学数学中数学思想的层次划分5（二）教材知识呈现中的数学思想表达71. 教材知识呈现的内涵72. 教材知识呈现中数学思想表达的内涵83. 对教材知识呈现中表达的数学思想的整体概览84. 对教材知识呈现中数学思想表达的局部分析12（三）对教材知识呈现中数学思想表达的评价131. 数学思想表达合理性评价的维度142. 数学思想表达合理性评价的标准143. 数学思想表达合理性评价的结果14五、结语16（一）本研究的总结16（二）对本研究的反思和展望16参考文献17致 谢1819一、 引论（一）问题提出自2001年全日制义务教育数学课程标准（实验稿）颁布以来，数学教育正式开始要求数学教学中渗透基本的数学思想方法。2011年的义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称新课标）更是在总体目标中明确把“基本数学思想”作为“四基”目标之一。数学思想在数学教育中的地位不言而喻。新时期下数学教育内涵的深化，无论对教师，还是对教师教学，都提出了更高的要求。关于数学思想及其教学的研究有非常多，有关注数学思想在数学教育、数学教学、数学学习中的地位的，有关注数学思想在数学教学中的渗透的，等等。而数学思想在教材中的渗透，也是研究的重中之重。教材作为教学活动的基本要素之一，作为学生和老师必须共同面对与处理的媒体，是数学教育的重要阵地，是数学思想渗透的重点。现有研究中，关于教材中数学思想的渗透，有挖掘教材资源，总结数学思想的渗透点、方法种类的，有旨在依托教材资源，进行数学思想渗透的教学的，等等。这些研究的目的主要是挖掘教材内容现存编排中表达的数学思想，以指导教学。而对数学思想表达合理与否的研究并不多。截至2015年1月，本研究只搜索到张奠宙、郑毓信、熊华等几位研究者的为数不多的几篇文献。对教材中数学思想表达合理性的研究，与人的元认知有相似之处。某件事某人是这么认为的，当此人思量自己这样思考对不对、好不好时，这人就是在进行元认知。而元认知是人的心智发展的必要途径。同理，教材编写者是这样进行这部分教学内容的编排的，但作为一个教材研究者，教学实施者，甚至教材编写者，对教学内容编排是否合理、科学的思考是必不可少的。这是教材改进与发展的必要环节。基于以上考虑，本研究着力于对教材中数学思想渗透合理性的研究。教材中数学思想的渗透是多维度的，如知识引入、例题、习题、文字语言等，但无可否认的是，知识的引入是教材知识内容的主体与核心。因此，本研究将研究范围确定为知识呈现中的数学思想渗透。（二）研究的问题数学思想更多的是渗透在数学知识的形成、发展、应用之中，体现在教材内容的呈现上。也就是说，从广义上来讲，数学思想渗透在教材内容的方方面面，包括数学知识的呈现、运用、拓展。而由于知识的呈现是教材内容的核心，因此本研究决定主要关注“教材知识呈现中数学思想表达合理性”的问题。为此，需要探寻这些子问题：什么是教材知识呈现精确研究范围；教材知识呈现中数学思想的表达是怎样的明确评价对象；对表达合理性的评价具体应该评价什么具体评价维度；做出合理性评价的标准是什么清晰评价标准。这些是对评价过程的细化。当然，在进入评价之前，本研究必须先解决一个关于基本概念的问题数学思想到底是什么。如此，才能进入后续的研究。（三）研究的目的和意义由以上的分析可以看出，本研究的目的其实很明确，就是分析教材知识呈现中数学思想的表达是否合理。其中教材知识既包括数学的基本知识、基本技能，如数的认识与运算，也包括直接蕴含数学思想的知识内容，如数学广角中所呈现的问题类型或原理。对教材中数学思想合理性的研究，属于教材研究。进行这样的研究，有利于引起编写者对教材的再思考，为教材的改进添一些助益。而教材对数学思想的更恰当表达也将有利于学生对数学本质的更有效理解。二、 研究设计（一）论文构架围绕研究问题，本论文具体展开为：第一部分主要是研究背景的分析，从而明确自己的研究问题、思考研究的目的与内容。第二部分是对研究的规划。第三部分是文献研究。第四部分主要是对数学思想的理解，对知识呈现的界定，对数学思想表达的尝试定义，对知识呈现中数学思想表达的从整体到部分的认识。第五部分是在确认评价维度、评价标准后，对数学思想表达的评价。第六部分是对研究的总结和反思。（二）研究方法文献法。本研究需要采用文献法认识数学思想的内涵，梳理研究的起点，同时还需要用文献法梳理国内外在教材中数学思想表达的研究，以便获取研究的启示，以及知识呈现中数学思想表达合理性的评价依据。案例分析法。本研究需要就教材中各知识点的呈现进行数学思想层面的分析一个是为了理解知识呈现中的数学思想表达，另一个就是对知识呈现中的数学思想表达进行评价。三、 文献综述(一) 国外研究对小学教材知识内容中展现的数学思想及其表达合理性的研究，属于教材研究，且是教材研究的一个比较细致的方面。不过，鉴于自身条件与能力的限制，这里仅对西方数学思想研究及其在小学数学教育领域的应用作一个简要陈述。 1. 对数学思想的研究数学思想是数学学习不断提高的动力，其重要性很早就引起国外学者的关注，并进行了相关研究燕学敏,华国栋.国内外关于现代数学思想方法的研究综述与启示J.数学教育学报,2008,03:84-87.。如波利亚的怎样解题（1944年出版）、数学的发现、数学与猜想，出版于1953年的前苏联数学家亚历山大洛夫的数学它的内容、方法和意义，1969年的日本数学教育家米山国藏的数学的精神、思想和方法，20世纪70年代的美国数学家M.克莱因的古今数学思想，等等。这些著作一方面研究数学的本质，认为数学的本质就在于其发展过程展现的数学思考，即数学化的思维方式，另一方面研究具体的数学思考方式，即将数学思想方法的种类归纳概括。2. 对数学思想在小学数学教育的重要性的认识随着对数学思想的不断研究，人们不断审视数学思想对数学学习的重要性。进入21世纪后，各国已明确要求应将数学思想作为数学教育的一个维度。美国2000年公布的学校数学教育的原则和标准、新加坡2003年公布的小学数学教学大纲、日本2008年修订的小学数学学习指导要领均要求教育教学应关注学生有序思考、数学地表达等数学思维的发展，推理、证明、猜想等数学思想的培养熊华.加强数学思想渗透发展数学思维能力对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考J.课程教材教法,2011,09:61-66.。限于条件和能力，这里仅简单介绍了国外关于数学思想及其与小学数学教育的紧密联系。但从这少数的文献也可看出，国外学者认为数学学习中数学思想很重要这一事实毋庸置疑，并且国外非常重视在小学阶段的数学教学中渗透数学思想，培养数学思维。相比于国外，我国小学数学教育在数学思想上的重视并不落后，这从2001年的课程标准就可看出。(二) 国内研究国内对教材中的数学思想还是较为关注的，文献也非常多，本研究主要将其划分成以下几类：1. 关于教材中的数学思想的解析教材是知识的物化形式，是知识的载体，而数学思想是数学的本质，知识的呈现过程必然蕴含了数学思想,因此，教材内蕴数学思想是必然的。有的研究者关注的是整个教材中数学思想的渗透形式与内容。卢志明卢志明.小学数学新教材中数学思想方法渗透点的研究D.广州大学,2011.较全面地介绍了人教版实验教材的数学思想方法渗透的原因、可行性、渗透点、有效利用策略，其中渗透点的呈现形式有主题图、数学问题、平实的语言、数学广角。有的研究者重点研究教材中某一类思想的渗透，如陈新华陈新华.小学数学教材和教学中的函数思想的研究D.首都师范大学,2008.借助人教版教材，探索和研究函数思想在小学数学课程中的渗透和体现，发现其主要体现在：对“模式”初步认识；对“关系”体验；对多种数学语言的感受和初步运用。2. 关于教材中的数学思想的应用有的研究者关注数学思想进入教学目标的内容及其教学方法。郑开华郑开华.挖掘教材内涵资源加强数学思想方法渗透J.小学教学参考,2007,36:28.以人教版四年级上册教材为依据，在分类列举了教材中隐含的各种数学思想方法后强调：教师在备课过程应研读教材，挖掘教材渗透数学思想的各种形式，总结渗透内容并纳入到教学目标，思考教学渗透方法。对于“数学广角”知识内容的教学，邵力标邵陈标.“数学广角”的灵魂:数学思想方法J.中小学教师培训,2009,10:31-34.在阐述了“数学广角”渗透数学思想方法的原因、内容后，在教学策略中提出应以数学思想方法为核心，确立教学目标，整合教学资源。有的研究者重视旨在挖掘数学思想的教材分析。如谭文晖谭文辉.挖掘教材资源,领悟数学思想依托新教材培养学生数学思想的实践研究J.考试周刊,2014,17:21-27.在阐述了研究背景、前提思考，描述了数学思想方法获得过程后，提出教师教学应将教材知识内容中隐含的数学思想方法清晰化，将深层知识表露出来。3. 关于教材中数学思想表达的审思与评价史丹华史丹华.小学数学教材中数学思想方法的解析J.小学时代(教育研究),2014,04:5.在揭示了小学数学教材在数学思想表达方面的不足后，呈现了归纳、类比、分类、转化、符号化、数形结合等几种建议教师在小学数学教学中应用的数学思想方法。张奠宙教授分析了人教版教材在“字母表示数”内容的编排，阐述了“字母表示数”表达的数学思想后，提出“字母表示数”内容重点应突出“字母参与运算”，表达了知识内容的编排应更恰当地表达知识本质，以使学生更好理解知识内容的观点张奠宙.把数学思想方法适当地说出来从“文字代表数”的意义说到方程的本质J.小学教学(数学版),2014,10:4-6.。他主张教材编写应按“四基”要求，知识内容应突出数学思想方法加以呈现张奠宙.按“四基”的要求编写数学教材以“抽屉原理”为例J.教学月刊小学版(数学),2014,10:4-6.。对于“数学广角”内容编写，人教社的熊华熊华.加强数学思想渗透发展数学思维能力对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考J.课程教材教法,2011,09:61-66.进行了较全面的分析与思考。他在进行了对数学思想的思考、各版本实验教材中数学思想编写比较、数学广角教学现状分析后，对“数学广角”的修订从内容选取、呈现方式、目标制定提出了自己的思考。综合以上分析，显然，对于数学思想在数学教育教学的重要性，教育实践者、教材编写者、数学教育研究者们已经有足够的重视，并在教材层面进行了有益于教学的实践探索和有益于教材改进的思考。但本研究发现，众多研究更多关注的是对教材中渗透的数学思想的分析，即着眼于捕捉知识呈现中的数学思想类型与水平，目的是指导教学，而对其是否恰当，即知识呈现中的数学思想表达得怎么样，只有少数研究者关注。数学思想是数学的本质，教材是学生和教师必须处理的媒体。因此，教材中的数学思想表达得怎么样，关乎学生对数学本质的理解，进而关乎学生对数学知识的有效学习。本研究正是着眼于此，关注对教材知识呈现中数学思想表达情况的评价。四、 对小学数学教材中数学思想表达的探讨（一）对小学数学中数学思想的理解对数学思想的理解是本研究的起点。唯有深刻理解了数学思想的内涵，才有可能对教材知识内容进行数学思想层面的解析，进而对其表达合理性进行研究。1. 数学思想的内涵对任何事物要有本质的认识，都应追溯到事物产生的源头，在事物的产生、发展和应用过程中把握其本质。从数学的产生发展看，数学思想是“对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，并在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想”谭文辉.挖掘教材资源,领悟数学思想依托新教材培养学生数学思想的实践研究J.考试周刊,2014,17:21-27.。可以看出，数学思想是数学发展的基石与动力，并与数学的产生和发展紧密缠绕。对于数学思想与数学的关系，顾泠沅等人甚至有这样一个观点：就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等，究其本质，其实就是数学思想方法的几次重要突破顾泠沅.数学思想方法M. 北京：中央广播电视大学出版社,2004.27-27.。以上的定义与见解是从较为宏观的角度认知数学思想的，侧重于数学思想的历史性与发展性。相比于探讨数学思想的具体内涵，显然历史角度的定义让我们能够以一种更为宽阔的视野认识数学思想。经过历史的洗炼留下的就是文化。数学思想是数学文化的组成部分，而数学文化是历史的积淀，是千百年人类思考的结晶。文化由形式、历史、思想三部分组成。数学知识，如加法是计算物体总和的方法，三角形的面积计算公式是底乘高除以二，计算平均数是用各个体的数量总和除以个体的数量，等等，是数学文化的形式，是文化的外部表征。从认识数到数的运算，从算术到代数，从研究常量到研究变量这样的不断演进的过程就是数学文化的历史发展。数学思想又是什么呢？数量的不断增加导致的记述混乱，让人们产生了数量表示的需要，从而创造了数字。面对数量的变化过程，人们创造了加法运算。如中国使用的十进制记数，就是人们创造的结果。数字与加法运算的创造，就是一个抽象过程：将数量抽象为数字，将数量变化抽象为加法运算。玄之又玄，抽象的数学思想却内蕴其中。而抽象思想正是数学建立的支柱之一。2. 小学数学中数学思想的层次划分数学思想是数学建立的动力，是数学文化的核心。显然，对它的任何具体表述都是不全面的。但为着研究需要，仍要对数学思想作一个具体的呈现，以指导研究。新课标撰写及解读的学者认为数学思想是有层次的，较高层次的数学思想有抽象、推理、模型，它们对数学学科的建立、发展、应用起到非常重要的作用。并且认为由这三个基本思想演变、派生、发展出许多较低层次的数学思想，如分类思想、数形结合思想、方程思想等。王永春.小学数学与数学思想方法M.上海:华东师范大学出版社，2014.03-03.（1）较高层次的基本思想以下是课标修订组组长史宁中教授对较高层次数学思想的理解史宁中.漫谈数学的基本思想J.中国大学教学,2011,07:9-11.：抽象。通过抽象，把外界与数学有关的东西抽象到数学内部，得到基本概念，形成数学的研究对象。这些基本概念包括定义、术语、符号、运算方法等。如数量与数量关系的抽象。数学把数量抽象为数，形成了自然数，产生了数量关系。数量关系再抽象，就是数的大小。大小关系派生出了自然数的加法，逆运算产生减法，加法简便运算产生乘法，乘法逆运算产生除法。对运算性质的分析产生运算法则，对运算结果的分析抽象出数的集合。推理。通过推理，能够深刻理解研究对象之间的逻辑关系，并利用抽象了的术语、符号描述这种关系，从而形成了各种命题、定理和运算法则，促进数学内部的发展。如三段论的推理。大前题：所有的人都有鼻子。小前提：小明是人。结论：小明有鼻子。三角形全等的证明其实就是三段论推理。大前提：若两个三角形两条边及其所夹的角相等，那么两个三角形全等。小前提：AB=DE,BC=EF,角B=角E。结论：三角形ABC=三角形DEF。模型。数学模型是指用数学的概念、原理、思维方法描述现实世界中规律性的东西。通俗地说，数学模型就是用数学的语言讲述现实世界。二年级下册学习除法时会有“总数=份数*每份数”，这其实就是一个模型。任何关于平均分的除法问题都可以用这个模型。比如钱的问题小明有10元钱，文具盒每个要2元，问小明可以买几个文具盒。模型的学习有利于学生理清问题中的数量关系。从以上的简要陈述可以看出，通过抽象，数学获得研究的对象和基本语言要素，通过推理，使数学向前发展，通过模型，使数学与外部世界广泛联系。（2）较低层次的基本思想较低层次的数学思想是较高层次数学思想的具体展现形式。根据人民教育出版社教材编写副主编王永春的小学数学与数学思想方法王永春.小学数学与数学思想方法M.上海:华东师范大学出版社，2014.13-140.可陈述为：与抽象有关的数学思想有:抽象思想，符号化思想，分类思想，集合思想，变中有不变的思想，有限与无限的思想。忽略对象的其他组成要素，只关注对象的某一要素，就是一个抽象过程。符号化就是用一个符号代替个体的做法，如将某个地方称作“A地”，将长方体的长称为“a”。分类也是只关注对象的某一个性质，如按是否能被2整除，所有自然数被分为奇数和偶数。与推理有关的思想有：归纳推理，类比推理，演绎推理，转化思想，数形结合思想，几何变换思想，极限思想，代换思想。推理就是根据条件运用各种方法一步步接近结论。与模型有关的思想有：模型思想，方程思想，函数思想，优化思想，统计思想，随机思想。其中有必要对模型思想作进一步的稍具体的理解。“图形与几何”中用字母表示公式，即用字母表示各种图形的面积、体积就是在构建模型，目的是以模型为核心进行数学问题或现实问题的解决。再如路程=速度*时间就是一个模型，利用这个模型可以解决各种有关匀速运动的简单实际问题。（二）教材知识呈现中的数学思想表达1. 教材知识呈现的内涵教材的知识呈现是本研究的研究范围。只有将研究范围确定下来，才能使研究具有明确的方向，而不是四处摸索。教材是课程学习的物质载体。人教版教材有知识呈现、例题、习题、知识拓展四个部分的内容：“知识呈现”引导知识的学习，“例题”与“习题”应用和巩固知识，“知识拓展”进行知识延伸和加深对知识的理解。如五年级下册第二单元“因数和倍数”中第一节“因数和倍数”。首先通过对一系列算式的观察、分类，引出“倍数”和“因数”的概念。随后呈现“做一做”在四组数中找谁是谁的因数，谁是谁的倍数、例题二和例题三18的因数有哪几个，2的倍数有哪些。此时的例题既起知识巩固的作用，也承担着引导发现因数和倍数的规律的任务。之后是练习二的内容。在本节最后，为进行知识的拓展，教材呈现了“你知道吗”模块。类似的过程在整套教材随处可见。显然，数学知识是教材内容的主体与核心，教材始终以知识为核心展开内容。至于知识呈现的含义，简而言之，就是教材进行概念引入、公式推导、规律发现等引入新知识的过程。且由于在例题的知识应用过程中会发现新规律，因此例题与知识呈现其实略有重合。关于知识的呈现，本研究发现：教材进行知识的引入有三种形式，一是呈现知识的形成过程。如一年级上册，其中大部分内容其实都是在进行从开始到结束的抽象。首先将数量与数对应，初步引入数字，并且通过一一对应比较数量的多少，获得对数量多少的理解。第三单元先正式学习了数字，在进行数量多少的比较后，直接呈现数字的大小比较，建立数字大小的表象，同时引入、=数的学习的就是一个不断的抽象过程，展现人类认识数的过程。其他的还有数的四则运算，各个层次的加减乘除都详细呈现了引入、推理过程；各种图形的周长、面积、表面积、体积公式，都是通过各种方法推导而来；因数和倍数、比和比例等，通过归纳找到特点、规律、性质。二是陈述知识的含义。如常见的量元、角、分、钟表的认识、年、月、日等等；图形的认识、运动认识图形、观察物体、角的认识、图形的运动等等；测量、统计与概率等。三是在问题情境中引入知识。如数的运算。以六年级上册分数除法为例，教学分数除以整数时，以求“一张纸的五分之四平均分成两份，每份是这张纸的几分之几”的问题呈现；教学整数除以分数时，以求“小明三分之二小时走了两千米，小红十二分之五小时走了六分之五千米，问谁走得快”的问题呈现。2. 教材知识呈现中数学思想表达的内涵什么是数学思想表达，这是本研究必须明确的问题，因为数学思想的表达是本研究的直接研究对象。教材内容囊括新课标的要求内容是肯定的，如新课标“内容标准”部分在两个学段分别就“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个方面作了详细的教学内容要求。至于教材如何呈现这些教学内容，这就涉及知识的呈现。教材中虽然也有部分知识内容是直观展现的，如角的认识，但大部分教学内容的展开尽量体现着知识的形成过程。知识的形成过程就是数学思想展现的过程，从而完成数学思想的表达。比如数的运算如何呈现教学内容。教材是通过小棒的分与合学习简单的加减法，之后在二年级上册学习100以内稍复杂加减法，如不进位加、进位加、不退位减等，将小棒的分与合抽象成竖式的运算，从而脱离对具体物品的依赖，完成数的运算的抽象化。显然这样的知识呈现就体现了抽象思想将小棒的分与合抽象成数的运算，并且抽象过程是由浅到深的。如六年级上册“圆的面积”部分，通过把圆剪开后得到近似等腰三角形的小纸片的拼接，发现结果近似长方形，从而转化成长方形来计算面积，最后得到圆面积计算公式。整个过程就渗透了有限与无限的思想、转化思想、极限思想。因此，我们似乎可以这样下一个定义：教材知识呈现中数学思想的表达是指教材呈现知识形成过程时使用或表现出数学思想方法的过程。3. 对教材知识呈现中表达的数学思想的整体概览对表达的数学思想的整体概览，一方面是为后文的阶段合理性分析打下实践基础，另一方面则是展现本研究从整体到局部的研究思路本文的下一部分将对部分突出数学思想的知识呈现做详细的案例分析。从整体到局部有两个层面的意义：一是通过对整体的把握，明确表达的数学思想的种类、特点，以促进对局部知识点展现的理解，二是通过对知识点展现的核心数学思想的清晰化，为细节的数学思想表达的评价指引方向。以下是各册教材各单元的主要知识点及其呈现时表达的核心数学思想：册单元内容重点数学思想一年级上册1.准备课数一数，比多少数量与数，一一对应与多少关系，抽象2.位置上、下、前、后，左、右3.1-5的认识和加减法1-5的认识，比多少，第几，分与合，加法，减法，0分类，增加与数的变化，对应后比较多少，进而比较数的大小，物品放置与数的分解或组成抽象4.认识图形（一）长方体、正方体、圆柱、球，搭一搭5.6-10的认识和加减6和7，8和9，10，连加连减，加减混合摆小棒，用稍抽象的直尺上的数理解大小关系，强调数的组成，动物的合与散，分步混合运算抽象6.11-20各数的认识认识，写法十个小棒一捆作一个十，数位7.认识钟表分针，时针，数字时钟单元内容重点数学思想8.20以内的进位加法9加几，8、7、6加几，5、4、3、2加几数的分解与凑十一年级下册1.认识图形（二）长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆画一画，拼一拼，七巧板2.20以内的退位减法十几减9，十几减8、7、6两种方法：一是小棒的抽象，10-9=1，1+5=6，二是利用加法抽象，推理3.分类和整理分类的标准自己尝试分类4.100以内数的认识数数、数的组成，数的顺序、比较大小，整十数加一位数及相应的减法借助小棒和计数器认识与比较，并总结经验5.认识人民币元、角、分、面值，简单换算与应用6.100以内的加法和减法整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数，两位数减一位数、整十数一个十加两个十，用小棒的分和模拟数的分解和加减过程7.找规律寻找规律并续写二年级上册1.长度单位厘米和米，线段矛盾引起思考，直观呈现线段抽象2.100以内的加、减法（二）不进位加，进位加，不退位减，退位减，连加、连减和加减混合将小棒的操作过程抽象成竖式运算，进位加减时关注一捆小棒的变化，从而总结竖式运算规律抽象3.角的初步认识角，直角，锐角、钝角直观展现4.表内乘法（一）乘法的初步认识，5的乘法口诀，2、3、4的乘法口诀，乘加、乘减，6的乘法口诀通过相同加数的加法引出乘法，通过连加得到乘法口诀，通过现实情境获得对乘加、乘减混合运算的认识归纳5.观察物体（一）从各个方位观察物体6.表内乘法（二）7、8、9的乘法口诀七巧板，列队，猫的跳跃归纳7.认识时间8.数学广角搭配（一）全部的可能情况列表以呈现所有情况归纳二年级下册1.数据收集整理统计结果，简单分析2.表内除法（一）平均分，除法，用2-6的乘法口诀求商认识平均分，学会平均分，以平均分引入除法，关注总数、份数、每份数的关系抽象，模型3.图形的运动（一）轴对称图形，平移，旋转，剪纸直观展现后通过剪纸认识轴对称是两边重合4.表内除法（二）用7-9的乘法口诀求商用乘法口诀求解简单的除法转化5.混合运算在现实情境中寻找、总结规律归纳6.有余数的除法引入，运算特点，竖式运算以平均分引入有余数除法，枚举以归纳有余数除法特点，引入除法竖式归纳7.万以内数的认识1000、10000以内数的认识，算盘记数，数的读写，近似，整百、整千数加减，估算数数，1、10、100、1000，数的组成，将大数转化成更小数的相加，引入数轴以认识近似数转化，模型8.克与千克9.数学广角推理逻辑推理用条件排除可能结果，关注思考的有序性推理三年级上册1.时、分、秒秒针与秒的认识2.万以内的加法和减法（一）两位数加减两位数，个位是0的三位数的加减将运算分解为已学过的两位数加减一位数、整十数，转化3.测量毫米、分米、千米、吨的认识内容重点数学思想单元4.万以内的加、减法（二）加、减法（三位数的加减）自行计算后总结需注意处，全竖式归纳5.倍的认识用例子直接引入倍的概念6.多位数乘一位数口算乘法，笔算乘法，乘数是0的乘法，有0乘数的乘法通过小棒的运动逐步抽象出乘法的竖式计算抽象7.长方形和正方形四边形，长方形、正方形特点的认识，周长在长方形、正方形的周长计算中呈现多种方法，以满足不同层次学生需要归纳8.分数的初步认识几分之一，几分之几，同分母分数的计算平均分与几分之一，比较大小抽象9.数学广角集合用集合表示公共部分集合三年级下册1.位置与方向（一）东、南、西、北2.除数是一位数的除法口算除法，笔算除法，利用具体物品口算，将小棒的分配抽象成竖式除法抽象3.统计统计图表统计4.两位数乘两位数口算乘法，笔算乘法，在现实情境后引出竖式计算5.面积面积和面积单位，长方形、正方形面积的计算，面积单位间的进率面的大小比较引出面积，用边长1厘米的小正方形拼成大长方形转化，归纳6.年、月、日关系，每月天数，平闰年，24时计时法7.小数的初步认识认识小数，小数的写法，简单的小数加减法借助分数进行单位换算，结果用小数表示8.数学广角搭配（二）全部的可能结果按顺序表述结果，用符号代表衣服，上装固定，下装变化，符号化，变与不变四年级上册1.大数的认识亿以内数的认识、读写，比较大小，简写，数的产生，十进制计数法，亿以上数的认识，四舍五入，计数工具的认识十进制计数，计数单位，数位，自然数，2.公顷与平方千米3.角的度量线段、直线、射线，角的度量、分类，画角统一的角单位4.三位数乘三位数因数变化，积也变化；几种数量关系：单价*数量=总价，速度*时间=路程函数，模型5.平行四边形和梯形平行和垂直，平行四边形和梯形动手作图，理解相交、平行、垂直，平行四边形的特性6.除数是两位数的除法口算除法，笔算除法，商的变化规律及其应用竖式中商的写法，试商，试除转化7.条形统计图条形图的优势与特点8.数学广角优化节省时间，获胜策略优化四年级下册1.四则运算加减法、乘除法的意义和各部分间的关系，括号用加法的因子定义了减法，用乘法的因子定义除法，2.观察物体（二）三视图3.运算定律加法、乘法运算定律归纳4.小数的意义和性质小数意义、读写、性质、大小比较，小数点移动，小数与单位换算，小数的近似数用测量的精确来理解小数的意义，重点数学思想单元内容5.三角形三角形的特征、分类、内角和实验法体会三角形的稳定性，用集合表示分类结果与关系，四边形内角和集合，分类6.小数的加法和减法小数加减法与混合运算，整数加法运算定律推广到小数直接呈现类比7.图形的运动（二）轴对称，平移，在小方格中运动8.统计平均数，复式条形统计图具体情境中理解平均数的使用意义9.数学广角鸡兔同笼列举法，假设法，转化五年级上册1.小数乘法小数乘整数、小数，积的近似数，运算定律利用元与角的关系化成整数运算，扩大倍数化成整数，之后总结规律转化，归纳，类比2.位置用数对表示位置3.小数除法除数是整数的小数除法，一个数除以小数，商的近似数，循环小数，直接展现，将除数扩大成整数，同时扩大被除数转化，归纳4.可能性感受结果的不确定性，随机5.简易方程用字母表示数，方程的意义，等式的性质，解方程用字母表示变化着的数，表示运算定律，含未知数的式子，字母参与运算，含有未知数的等式就是方程，通过天平理解等式，用等式性质解方程，利用方程建立实际问题中各量的关系符号化，方程，抽象，模型6.多边形的面积平行四边形、梯形、组合图形的面积，数方格求面积，并与长方形面积比较，转化成长方形类比，转化7.数学广角植树问题棵树，间隔数，两端都要载，两端都不栽，圆形与一一对应模型，函数五年级下册1.观察物体（三）2.因数和倍数因数和倍数，2、5、3的倍数的特征，质数和合数，分类以发现特点、寻找规律，用集合表示所有的因数，举例后总结归纳特点，按是否能被2整除分为偶数和奇数，按因数的个数分为质数和合数，分类，集合，归纳，有限与无限，3.长方体和正方体长方体和正方体的认识、表面积、体积，体积单位间的进率，容积及其单位将长方体剪开成平面研究性质，找出长方体的表面积公式以应用实际，实验，切割以转化成小正方体的集合，排水法转化，模型，归纳4.分数的意义和性质分数的产生、意义，分数与除法，真分数和假分数，分数的基本性质，最大公因数，约分，最小公倍数，通分，分数和小数的互化，单位“1”，分数单位的概念，平均分，用字母表示分数与除法的关系，根据分数与除法的关系化简分数，直线上表示，集合表示，符号化，推理，转化，模型集合5.图形的运动（三）旋转与旋转角度作图实验法，拼图问题解决呈现细致思维过程归纳6.分数的加法和减法同分母、异分母分数加减法与混合运算相同的分数单位可以直接相加减，分数单位不同通过通分化成相同单位转化，类比7.统计折线统计图，复式折线统计图通过对话呈现思考过程8.数学广角找次品用卡片代表钙片，做实验并记录结果，呈现表格提示关注每次每边的个数和分成的份数抽象，推理六年级上册1.分数乘法分数乘整数，一个数乘分数，分数乘分数，小数乘分数，借助加法分析乘法，以推理获得运算法则，以图示呈现分数乘分数的意义推理，转化，数形结合数学思想单元内容重点2.位置与方向3.分数除法倒数的认识，分数除以整数，整数除以分数，计算观察发现规律，引出倒数，借助部分纸张的平均分推理分数除法运算，借助线段图进行推理，利用方程建立等式关系解决问题推理，数形结合，方程4.比比的意义和基本性质用比表示数量间的关系、表示路程和时间的关系类比5.圆圆的认识、周长、面积，扇形圆规与圆，动手发现，实验推理，分割至无限推理，极限6.百分数（一）百分数的认识与计算7.扇形统计图用扇形统计图表示各部分占总体的百分比8.数学广角数形展现数形结合的美六年级下册1.负数表示相反意义的量2.百分数（二）折扣，成数，税率，利率，3.圆柱与圆锥圆柱、圆锥的认识、表面积、体积圆柱的展开图，切割与拼合，猜想与实验探究转化与极限4.比例比例的意义和基本性质，解比例，正比例及其图像，反比例，比例尺，图形列式发现比相等，总价随着数量的增多而增加，而比值不变，即单价一定，比值一定与乘积一定变与不变，函数5.数学广角抽屉原理呈现所有情况与逻辑推理，举特例后归纳发现，摸球与抽屉原理推理，归纳本研究在整理知识内容后初步总结了所用到的数学思想：抽象，归纳，模型，转化，推理，集合，统计，符号化，变与不变，函数，优化，分类，类比，随机，方程，有限与无限，数形结合，极限等思想。其中经常使用的是抽象、归纳、转化、推理、模型、分类等思想。而集合、符号化更多的是用在结果的表示上，如角的分类用集合表示，搭配中用符号代替衣服参与推理等；变与不变、类比、有限与无限、数形结合、极限等思想，有限次地用于推理过程中，如搭配中上装不变，变化下装，整数加法运算定律通过类比推广到小数等等。而对于经常使用的数学思想方法，也有其特点。具体有：抽象思想更多的是用在第一学段的学习中，之后的学习更少使用，如教材在进行数的认识、加减法运算时借助小棒展开了抽象；归纳是教材使用最多、最广的一种思想方法首先，表内乘法就是通过对加法运算的归纳总结出来的，其次，教材中很多内容是经过举例、实验等方法发现规律得出结论；用推理获得法则、公式，在第二学段经常用到；在推理过程中经常用到转化；模型思想作为一种很重要的思想方法，教材着重渗透在几种数量关系和公式的推导应用中，展现了建立模型和模型应用的过程；分类是为了更好地发现规律与有序思考，而或隐或显地，分类思想贯穿整个小学数学的学习。4. 对教材知识呈现中数学思想表达的局部分析由之前对知识呈现的内涵分析可知，知识的引入有三种形式展现知识形成过程、介绍、内蕴于问题之中。由此，本研究在此选取部分知识内容详细呈现这三种形式的知识引入。（1）倍的认识“倍的认识”是三年级上册第五单元，处于“万以内数的加法和减法（二）”和“多位数乘一位数”之间，学习难度较小。倍的认识是对二年级下册除法学习的运用，倍的运算需要用到除法的定义。教材第一页首先呈现了一个兔子吃白萝卜、红萝卜、胡萝卜的情景图。之后用图式展示了归类后顺序表示的2根胡萝卜、3个2根红萝卜。根据这样的呈现，教材随后叙述“我们说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍”。到此，完成“倍的认识”知识的引入。看得出来，倍的认识这个知识点的引入教材处理得较简单。这个单元其余部分则是对“倍”的应用。深度解析这个知识点的引入，可以发现教材只是用了图示与文字描述表达了“胡萝卜2根，红萝卜3个2根，这样的形式说明红萝卜的根数是胡萝卜的3倍”的意思。如果将具体物象去掉，我们可以这样描述这个知识点，“A有1个a，B