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让左右脑协调发展 数学院黄晓学 1 生理学基础 胼胝体 人类的大脑分为左半球和右半球 两个半球由一根叫做 胼胝体 corpuscallosum 的神经纤维相连 2 所谓割裂脑实验就是将大脑左 右两个半球之间的胼胝体割断 外界信息传至大脑半球皮层的某一部分后 不能同时又将此信息通过横向胼胝体纤维传至对侧皮层相对应的部分 每个半球各自独立地进行活动 彼此不能知道对侧半球的活动情况 美国心理生物学家斯佩里博士 RogerWolcottSperry 1913 8 20 1994 4 17 通过著名的割裂脑实验 证实了大脑不对称性的 左右脑分工理论 因此荣获1981年诺贝尔生理学或医学奖 3 她是逆时针还是顺时针旋转 左右脑旋转图 4 如果你看见这个舞女是顺时针转 说明你用的是右脑 如果是逆时针转 说明你用的左脑 耶鲁大学耗时5年的研究成果 据说 14 的美国人可以两个方向都能看见 逆时针转动的 突然变成顺时针的话 IQ是160以上 5 看在静 不看则动 6 1 裂脑实验的结论2 数学左脑思维的功能与局限3 数学右脑思维的功能与局限4 让左右脑协调发展 7 1 裂脑实验的结论 左脑主要从事逻辑思维 右脑主要从事形象思维 是创造力的源泉 8 9 理解数学和语言的脑细胞集中在左半球 发挥情感 欣赏艺术的脑细胞集中在右半球 无论是左脑开发 还是右脑开发 最终目的是促进左右脑的均衡和协调发展 从整体上开发大脑 10 2 数学左脑思维的功能与局限 数学的抽象 符号化 形式化 公理化等思维活动都属于左脑思维的范围 数学左脑思维的共同特征 确定性 严格性 能行性 机械性 抽象4阶段 现象问题 属性分析 确定本质 不断纯化 形式化 从符号中得到的东西比输入的多 适者生存 抽象物载体 公理化 抽象物的内在骨架 11 数学中的抽象 排除 抽取 对象 方法 在数学的分析 证明和推广中 抽象思维是不可缺少的 抽象并无绝对含义 依赖于心理状态 知识水平和和数学材料的性质 抽象4阶段 现象问题 从特殊到一般属性分析 排除非本质特征 抽取本质特征确定本质 连接已知与未知的纽带不断纯化 内涵深化和外延扩张 教学中抽象思维能力的发展 关键在于来自具体而不被具体局限 依赖于规律探讨 培养方法 1 构造抽象思维的思想基础2 自觉实现抽象和具体的转化 生动训练 抽象物原型 层次结构 抽象难度的分析 12 哥尼斯堡七桥问题 遍历问题 一笔画问题 13 数学左脑思维的限度 在抽象领域畅行无阻 但无法处理形象领域里的问题 在逻辑领域畅行无阻 但无法处理非逻辑领域里的问题 在数学符号语言所及的领域畅行无阻 但无法处理尚不能用符号语言表达而只能依靠直觉处理的问题 14 数学抽象形式思维的不完全性原理 局部特征分离法得到数学理论体系 忽略了数学理论体系的某些整体特征 左脑思维的无节制发展会导致思维结果脱离实际 这正是悖论产生的原因 解决方法 与右脑思维配合 15 数学工作者的左脑思维是高度发达的 但并不表明数学工作者只借助左脑思维从事数学研究和教学 而是使左右脑共同发挥作用 数学思维的真实过程 先猜测后证明 16 3 数学右脑思维的功能与局限 猜测反驳 形象思维 数学想象 数学直觉都属于右脑思维的范围 数学右脑思维的共同特征 形象性 非逻辑性 默会性 默会性 无法用符号语言明确表达出来 17 画中能看到几个人 18 折纸与美丽的包络1 围成椭圆 19 折纸与美丽的包络2 围成双曲线 20 折纸与美丽的包络3 围成抛物线 21 数学猜测的5种方法1 类比2 归纳3 强化或弱化定理条件4 想象和直觉5 逆向思维 22 数学中形象思维的4个层次 1 几何思维 以几何图形为研究对象的思维 2 类几何思维 如高维空间关系 3 数觉 如关于自然数序列的形象化感觉 4 数学观念的直觉 对数学观念的性质 相互关系和重新组合的形象化感觉 23 数学想象的要素1 必要的知识基础 支撑点要厚实 成熟并且有跨度 2 较强的形象思维能力 非欧几何创立需要类几何思维能力 3 适合的心理状态 沉思 讨论 4 自由想象的思维习惯 要有相当高的艺术欣赏力 25 6个正数a b c A B C 满足a A b B c C k 求证 aB bC cA k2 26 图解法1 27 图解法2 28 代数法 29 求和 图解法 30 数学直觉的类型1 辨识直觉 解决一个新新想法是否有价值2 关联直觉 解决不同知识领域之间是否有内在联系3 审美直觉 解决一个新想法是否符合数学美的要求 31 已知AB为半圆O的直径 C为直径上一点 CD AB 圆G切半圆于E 切CD于F 切AB于H 求证BD BH 直觉 E F B共线 32 捕捉数学直觉的方法1 不要在疲劳度时候做需要全神贯注的工作2 获得直觉前思想必须达到饱和状态3 获得直觉需要外部刺激4 直觉出现必须及时记下 33 布尔罕桥 BurhamBridge i2 j2 k2 ijk 1 在记事簿上他写的公式是 i2 j2 k2 1ij k jk i ki jji k kj i ik j 1843年10月16日 威廉罗旺 哈密尔顿爵士发现四元数的基本乘法公式并刻在石桥上 34 晚上回去后 他开始计算 a bi cj dk i i k a b c d a b c d i a b c d j a b c d k而且也发现右式的1 i j k前的系数平方的和恰好等于 a2 b2 c2 d2 2 2 2 2 因此这四元数真的是满足 模法则 二元数 四元数 八元数 35 数学右脑思维的限度 右脑思维尽管从事创造性劳动 但毕竟只能贡献出半成品 而无法提供严格 精确的数学理论成果 限度 只提供不严格 不确切 不可靠的思想种子 能否开过花结果需要左脑思维的配合 36 4 让左右脑协调发展 数学研究是一种探索性活动 立足于已知的数学知识领域 探求未知领域的数学对象 方法及其规律性 数学研究室从具体问题开始的 有了问题后 做好必要的准备 包括对有关资料的搜集 对问题的历史和研究现状的了解 等等 协调发展的作用 37 正式研究之前 首先要做的是对问题进行全面 系统的逻辑分析 把问题的核心部分 未知概念 方法 联系 突出地表现出来 核心部分不同 采用的思维方法不同 抽象 符号化或形式化 公理化 逻辑猜测或想象猜测或直觉猜测 左右脑配合开始 38 让左右脑协调发展的方法1 培养自己的猜测想象直觉思维能力2 探寻产生数学成果的脚手架3 自觉学习数学方法论4 学习辩证思维5 勇于实践 39 一个小发现的故事 高斯 问题 把1 2 3 一直到20加起来 问题的目的和本质的要点 我们清楚明白地看到了真理 任何问题必有一个未知量也必有已知的或给定的量及二者联系的条件 40 推广 从刚刚解决过的问题出发 以一般的正整数n代替20这个特殊值 我们得到这么个问题 求前n个正整数的和s 我们把这个和写两次 第二次把原来的次序颠倒一下S 1 2 3 n 2 n 1 nS n n 1 n 2 3 2 1 按照前面的解法互相配对成的项 把这两个等式加起来得到 41 拓展问题 探寻新的方法 问题 把1 2 3 一直到n的平方和加起来 S 1 4 9 16 25 n2 并非轻而易举 人类的本性提醒我们去重复在类似情况下获得成功的方法 于是回想前节方法 然而 没有得到期望的结果 倒序相加受阻 42 联想与转换从特殊情况出发 寻找发现的源泉 43 从一个众所周知公式的特殊情况出发 n 13 n3 3n2 3n 1 n 1 3 n3 3n2 3n 1列出特殊情况23 13 3 12 3 1 133 23 3 22 3 2 1 n 1 3 n3 3