地震纵波和横波传播的动力学特点.doc

1.3地震纵波和横波传播的动力学特点序：在无限均匀的、各向同性的、理想的弹性介质中，只存在纵波和横波。1 讨论这种介质中波传播的动力学特点(A、f、的变化)2 讨论这种介质中波场的定量计算3 讨论粘弹介质的情况一、 地震波的球面扩散1波动方程 (6.1-8)其中 、是拉梅常数， 是密度 是位移向量 是外力向量 是拉普拉斯算子 是体变系数 是体变系数的梯度2复习场论的几点内容胀缩力，产生固体、气体、液体的 剪切力、产生固体的转体积大小变化，形成纵波是无旋场 动，形成横波，是无散场。3纵波的波动方程（1）方程 如果外力是胀缩力、无剪切力，则外力矢量是无旋场，位移矢量就是无旋的。即，则表明介质中的各小部分只有体积的胀缩，而没有转动，介质中就只有纵波而没有横波。对（6.1-8）求散度(div)得纵波方程：或 (6.1-9)（2） 物理意义 如果对介质作用胀缩外力div的话，产生由体变系数决定的介质体积相对胀缩的扰动，这就是纵波，纵波的传播速度为 (6.1-11)4横波的波动方程（1） 方程 如果外力是剪切力无胀缩力，则外力矢量是无散的。位移矢量就是无散的。即 ，则表示介质各小部分只有转动而没有体积的胀缩，介质中就只有横波而无纵波。对（6.1-8）式求旋度（rot）得横波方程或 （6.1-10）其中 （2）物理意义： 如果对介质作用旋转外力rot的话，产生由向量决定的角度转动的扰动，这就是横波，横波的传播速度为 (6.1-11) 大家知道气体和液体中不可能有横波，为什么呢？因为无法对气体和液体施加旋转力或剪切力。5 用位移位表示纵、横波的波动方程 就象重力场可用重力位、电场可用电位来描述一样，地震波场也可用质点位移的位移位描述。根据涡流电场的理论：任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋度，则任何一个矢量场=该矢量场的标量位的梯度+该矢量场的矢量位的旋度则位移矢量场=位移矢量场的标量位的梯度+位移矢量场的矢量位的旋度，即 (6.1-12)其中位移场的标量位位移场的矢量位标量力位矢量力位将（6.1-12）代入（6.1-9）和(6.1-10)，得用位移位表示的纵波波动方程： (6.1-13)用位移位表示的横波波动方程： (6.1-14)6 求解波动方程（1） 求解齐次波动方程齐次方程要研究波的动力学特点，则要求解其波动方程。求解波动方程要知道初始条件。地震勘探中一般用炸药震源，激发出的脉冲波的延续时间为t，可写成： (6.1-15) (6.1-15)式中，当tt时，的物理意义是震源力作用已结束，波动在弹性介质中传播，标量力位=0，矢量力位=0，此时波动方程（6.1-13）和（6.1-14）变为齐次方程： (6.1-16) (6.1-17)齐次方程的解 齐次方程的解只研究波与介质性质的关系，而不考虑震源力的作用，这类问题属于波的传播问题。 但波的性质首先决定于震源的性质，则必须将波动与震源联系起来，这就要求解非齐次方程，这类问题属于波的激发问题。 因此研究波动方程的解时，思想方法是：先求解齐次方程，这样数学上容易处理，只研究波同介质的关系，不涉及震源，使问题单一化。然后再研究激发问题，把波同震源联系起来。 纵波和横波的波动方程（6.1-16）和（6.1-17）形式完全一样，求解的数学过程完全相同，下面以纵波为例。用图6.1-4所示的球腔震源模拟实际炸药震源，半径为a的球腔具有球形对称性，均匀作用在球腔壁上的力是单位正压力P0 。a P0 P8 图6.1-4考虑到球形对称性，将（6.1-16）用球坐标（r，,）表示，因为球形对称性，方程与、无关，于是（6.1-16）成为： （6.1-18）可见方程只与传播距离r有关，三维波动方程变成一维波动方程。如果令 ， 上式成为 （6.1-19） 上式为弦方程，可用达朗贝尔法解，得 （6.1-20）a是震源球腔半径r是传播距离Vp纵波速度表示随时间增加，波动向远离震源的方向传播。表示随时间增加，波动由远处向震源传播。不符合物理意义，舍去。 f(x) C(t) 0 x 0 t f(x-vt) C(t-t) 0 x 0 t f(x+vt) C(t+t) 0 x 0 t 示意图 t0有波动，物理上不成立（6.1-20）变成： （6.1-21）或 （6.1-22）齐次方程解的物理意义从上述波传播问题的解中可看出，在震源作用结束之后，纵波是以速度Vp沿径向r方向远离震源传播。传播速度Vp只决定于介质的常数、。 (6.1-11)类似地可推知：横波以速度Vs沿径向r方向远离震源传播，其传播速度仅决定于介质参数、。 (6.1-11)（2）求解非齐次方程求解： 波的传播问题只描述了波动的某些特点，还不能明确地给出波动的任何具体状态，因为C1是一个任意的函数。要研究解的性质，就必须研究C1函数同震源的关系，这就是第二步要研究的波的激发问题。对球腔纵波震源来说，非齐次方程的位移解为（参考67）：(6.1-23) 第一项 第二项 第三项其中； ； 从（6.1-23）式可以看出，纵波质点位移解可分成三项。第一项为不随时间而变化的非振荡项；第二项和第三项均为与时间有关的振荡项。当波远离震源时满足ar时，第一项和第二项因含因子而衰减很快，可忽略，上式变成： (6.1-24)纵波非齐次方程解（6.1-24）式的物理意义a 指数衰减的正弦振动在球腔壁上作用单位正压力，即纵波激发时，弹性介质中产生纵波，其质点位移是随时间增加而指数衰减的正弦振动，衰减的快慢与系数有关。B球面扩散振动的强弱决定于系数 ，由于该系数中只有r为变量，说明振动的强度随波传播距离r的增大而减小，在地震勘探中称为球面扩散。C振动方向传播方向纵波的质点位移方向与波的传播方向是一致的。对横波震源的说明：如果在半径为 a的球腔壁上突然加上一剪切力，这时只产生横波。为使问题研究方便起见，我们限于研究某一平面内（例如水平面内）的偏振横波，这样在球坐标内横波的位移分量只有，(,因为横波在传播方向上不会有位移，另一方向上为简单起见而不研究）。令加在球腔壁上的切应力为单位切应力S0，则在远离震源处横波的质点位移表达式是： (6.1-25)S0 a P9 图6.1-5（6.1-25）式横波解的物理意义：a. 指数衰减的正弦振动在球腔壁上加上单位切应力S0后，横波的质点位移是衰减的正弦振动。衰减的快慢的决定于系数的大小。b. 球面扩散横波的振幅也随传播距离的增大而减小，也就是横波也具有球面扩散。c. 振动方向传播方向横波在球坐标内有位移 ，与r是