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第一章n阶行列式教案讲稿【哈工大版】 教学单元教案格式线性代数课程教案授课题目第一章n阶行列式教学时数8学时教学目的及要求1.理解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。 2.熟练掌握阶行列式的性质及按行、列展开定理并计算行列式。 3.掌握解线性方程组的克莱姆法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。 授课类型理论课实践课教学重点行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。 教学难点行列式的定义，行列式的性质及行列式按行(列)展开定理，一些特殊n阶行列式的计算。 教学方法和手段课程综合课堂的讲授、习题、讨论及课外资料的查询、分析等方法来传授知识。 教学手段主要利用多媒体开展，课外资料查询、分析利用网络、图书馆进行。 选用教材和参考书目教材郑宝东主编.线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，xx。 参考书目1同济大学数学教研室编.线性代数(第六版).高等教育出版社.xx年2赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向21世纪课程教材).高等教育出版社3居余马等.线性代数.清华大学出版社4赵树原主编，线性代数（第三版），中国人民大学出版社1998年6月；5徐仲主编，线性代数典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社2000年8月；6陈文灯，黄先开编，线性代数复习指导思路、方法、技巧，世界图书出版公司1998年10月。 线性代数课程教案教学内容及过程教学引入线性代数与空间解析几何是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。 旁批正式学习行列式知识前需要大家复习高中排列的知识引入逆序数概念教学内容与教学设计第一章行列式（8学时）1.1阶行列式的定义1.2行列式的性质1.3行列式按行(列)展开1.4克拉默法则排列及其逆序数1排列n个依次排列的元素例如,自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种1234,1342,1423,1432,1324,12432134,2341,2413,2431,2314,21433124,3241,3412,3421,3214,31424123,4231,4312,4321,4213,4132例1互异元素p1,p2,?,p n构成的不同排列有n!种解在n个元素中选取1个n种取法在剩余n?1个元素中选取1个n?1种取法在剩余n?2个元素中选取1个n?2种取法?在剩余2个元素中选取1个2种取法在剩余1个元素中选取1个1种取法-总共n!种取法2标准排列n个不同的自然数从小到大构成的排列n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列3逆序数 (1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）之间有1个逆序 (2)排列p1p2?p n中逆序的总和称为排列的逆序数,记作?(p1p2?p n)算法固定i(?2,?,n),当j?i时,满足那么p j?p i的“p j”的个数记作?i（称为p i的逆序数）,?(p1p2?p n)?2?n例2排列6372451中,?2?7?1?0?3?2?2?6?14例3排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42,求逆序数解记作p1p2?p np n?1p n?2?p2n?1p2n?2?0,?,?n?1?0?n?2?2?2?1,?n?3?4?2?2,?,?2n?2?(n?1)?21?2?(n?1)?n(n?1)4奇偶性排列p1p2?p n?(p1p2?p n)?奇数时,称为奇排列；?(p1p2?p n)?偶数时,称为偶排列p1?p ip i?1?p n?p1?p i?1p i?p n5对换相邻对换一般对换p1?p i?p j?p n?p1?p j?p i?p n(i?j)定理1排列经过1次对换,其奇偶性改变证先证相邻对换 (1) (2)a1?a labb1?b ma1?a lbab1?b m?a?b对换后a增加1,b不变,故t2?t1?1；?a?b对换后a不变,?b减少1,故t2?t1?1所以t2与t1的奇偶性相反再证一般对换 (1) (2) (3)a1?a lab1?b m bc1?c n a1?a lb1?b mabc1?c n a1?a lbb1?b mac1?c n (1)? (2)经过m次相邻对换 (2)? (3)经过m?1次相邻对换 (1)? (3)经过2m?1次相邻对换,所以t3与t1的奇偶性相反推论奇排列?标准排列,对换次数为奇数偶排列?标准排列,对换次数为偶数1.1行列式定义1二阶行列式的定义用消元法解二元线性方程组?a11x1?a12x2?b1?a21x1?a22x2?b2 (1)为消去数x2,以a22与a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减得,类似地消去x1,得?a11a22?a12a21?x1?b1a22?a12b2?a11a22?a12a21?x2?a11b2?b1a21当a11a22?a12a21?0时,求得方程组 （1）的解为b a?a12b2a b?b ax1?122,x2?112121a11a22?a12a21a11a22?a12a21 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11a22?a12a21是由方程组 （1）的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组 （1）中的位置,排成二行二列（横排称行，竖排称列）的数表a11a12 (3)a21a22表达式a11a22?a12a21称为数表 (3)所确定的二阶行列式,并记作a11a12 (4)a21a22数a ij称为行列式 (4)的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标,表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式 (4)的(i,j)元.利用二阶行列式的概念， (2)式中x1,x2的分子也可写成二阶行列式，即b1a22?a12b2?b1b2a12a22，a11b2?b1a21?a11b1a21b22.三阶行列式a11a12a11b1D2?若记，D?,a21a22a21b2D1D2x?,x?那末 (2)式可写成.12D D?3x1?2x2?12?例1求解二元线性方程组?2x1?x2?1a11a12a13a a22a23定义设有9个数排成3行3列的数表 （5）21a31a32a33记a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31= (6)称 (6)式为数表 (5)所确定的三阶行列式。 12?4D?221例2计算三阶行列式?34?211123x?0例3求解方程49x23.n阶行列式的定义a11a12?a11a22?a12a211二阶a21a22a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a322三阶a31a32a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a313.n阶由二阶行列式和三阶行列式的形式，我们可以得到n阶行列式的形式由n行n列（共n2个元素）组成，形如a11a12?a1n a a22?a2n D?21?a n1a n2?a nn称 （1）式为n阶行列式。 问题n阶行列式的值又等于多少呢？余子式和代数余子式在n阶行列式中，把元素a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n?1阶行列式叫做元素a ij的余子式，记作M ij.a11?M ij?a1j?1?a1j?1?a1n?a i?1,1?a i?1,j?1a i?1,j?1?a i?1,na i?1,1?a i?1,j?1a i?1,j?1?a i?1,n?a n1?a n,j?1a n,j?1?a nn记A ij=(-1)i+j M ij称A ij为元a ij的代数余子式(i,j=1,2,n).a11a12a13a14例如a21a22a23a24A?a31a32a33a34a41a42a43a442?1A21?（?1）M21?M21?我们可以归纳的定义n阶行列式的值定义D?a11?当n?1时a A?a A?a A?a A2121i1i1n1n1?1111当n?1时我们称上式为D依第一列的展开式。 n阶行列式是一个数。 由定义我们知道化高阶行列式的计算为低阶行列式的计算，反复使用降阶表示法，将n阶行列式用三阶或二阶行列式表示最后算得行列式的值。 ?计算行列式的中心思想是降阶例4计算,.a11a12?a1nD1?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线下方的元素全为零形式的行列式为上三角形行列式.问题n阶行列式的定义中是按第一列展开的，是否可以依其他列展开呢？定理1.1行列式的值等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,也即D=a1j A1j+a2j A2j+a nj A njn ni?1i?1a22?a2n(j=1,2,n).其中?a ij A ij?(?1)i?ja ij M ij余子式M ij?a ij A ij?a ij代数余子式历年期末考题(0607期末）已知四阶行列式D中第三列元素分别是1，2，0，1，它们的余子式分别是5，3，7，4，求D.(D=-15)例5计算n阶行列式a11a21D?a31?a n10a22a32?a n200a33?a n3?000?a ii?0,i?1,2,?n?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线上方的元素全为零形式的行列式为下三角形行列式.例6计算n阶行列式a1100a2200?00a ii?0,i?1,2,?n D?00a33?0?000?a nn?a11a22?a nn我们称上述主对角线外的元素全为零形式的行列式为对角形行列式.例7 (1) (2)?1?2?(?1)?a1,n?1?a2,n?1n(n?1)2?1?2?n?na11a12a22a1n0n(n?1)2a21a1n a2,n?1?a n1)D?(D?(?1)a n?1,1a n?1,2?00a n10?00这类行列式称作反上三角行列式.结论以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积,并冠以符号(?1)思考题00?0100?20D n?n?10?0000?00(n?1)(n?2)D n（答案(?1)2!）n?n(n?1)200?0n作业习题一1，2，4，5题1.2行列式的性质a1n a11?a n1?D?a nn,a1n?a nn性质1行列式和其转置行列式的值相等,即D?D141?2?11例如?11?2343说明由性质1知行列式的行与列地位相等，也即行列式的行具有的性质，它的列也定义将行列式D即D T或D?a11?D?a n1?的行列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为具有同样的性质。 推论行列式D亦可以按行展开，即D=a i1A i1+a i2A i2+a inA in(i=1,2,n),n?a ij A ijj?1性质2交换行列式的两行或两列,行列式的值反号.即?a i1?a ina j1?a jnD?D1?a j1?a jna i1?a in?,?,则D1?D思考题a11?a1n已知?D a n1?a nn?na11a1n?a1,n?1?1)n?2D问D1?(_a n1a nn?a n,n?1?推论1如果行列式有两行（或两列）的对应元素相同，则行列式的值为零。 证因为对调此两行(列)后,D的形式不变所以D?D?D?0123a bc?0例如,对于任意的a,b,c,都有123推论2行列式任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零。 (证明需说明）由定理1.1及推论2可得定理1.2n行列式D任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和等于D，某一行的（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即a i1A k1?a i2A k2?a inA kn?D,若k?i,?若k?i;?0,D,若l?j,a1jA1l?a2jA2l?a njA nl?若l?j;?0,性质3用一个数k乘以行列式等于将行列式的某一行(列)的元素都乘以k，即a11?a1n?a11?ka1j?a1n?kD?a nnka i1?ka in?kD?a n1?a nn,a n1?ka nj也即如果行列式某行(或某列)的所有元素有公因子,则可以将公因子提到行列式外面.证略。 a11a12?a1n ka11ka12?ka1n?k a i1a i2?a in?ka i1ka i2?ka in?易犯错误a n1a n2?a nnka n1ka n2?ka nn推论1D中某行(列)元素全为0?D?0推论2D中某两行(列)元素成比例?D?0性质4若对某个i,有a ij?b ij?c ij(j?1,2,?,n),则a11?a1n?a i1?a in?a11?a1na11?a1n?b i1?b in?c i1?c in?a n1?a nna n1?a nna n1?a nn注性质4对于列的情形也成立a11?b11a12?b12a13?b13a11a12a13b11b12a21?b22a22?b22a23?b23?a21a22a23?b21b22易犯错误a31?b32a32?b32a33?b33a31a32a33b31b32历年期末考题（0607期末）a11a12a134a11D?a21a22a23?1,D1?4a21a31a32a334a31如果2a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13b13b23b33a23,a33那么()。 (A)8(B)12(C)24(D)24性质5将行列式第j行（列）元素的k倍加到第i行的对应元素上，行列式的值不变。 即a11?a i1?a j1?a12?a1n?a i2?a in?a j2?a jn?a11?a j1?a12?a j2?a n2?a1n?a jn?a nna i1?ka j1a i2?ka j2?a in?ka jna n1a n1a n2?a nn注性质5对于列的情形也成立1?53?3201?1D?31?12413?1.例8计算1?53?31?53?31?53?3010?5502?110111D?5?(?5)016?101100?2300?23021?911011102?11解1?53?31?53?301110111?(?5)00?23?(?5)00?2311000?00?3?12?55x a?aa x?aD n?a a?x(行列式的每行（列）元素之和为常数)例9计算11?1r1?(r2?r n)a x?aD n?x?(n?1)a?aa?x解11?10x?a?0?x?(n?1)a?00?x?a n?1?x?(n?1)a(x?a)行列式的形状形如的行列式123?n210?0D n?301?0?n00?1例10计算tD nc1?jc jj?2,?,n23?n?010?0001?0?1?(22?n2)?000?1解?0?0?00例11计算D?0?0n?000?由于每行（列）仅有两个非零元素，故可由第1行展开?000?0D n?000?0?(?1)1?n?00?n?1000?n?1n?1?n?1?n11122D n?103?3?0n?100?n?1n?1例12计算100?n?1D?nD?(?1)(n?1)!n n?1解(n?1)?1n?1?n(n?1)D?(?1)(n?1?1)!?(?1)(n?1)!n?2n!n!?n(n?1)D n?2?(?1)n?(?1)n?1n?1n?n!n!n!?n(n?1)?3?D2?(?1)4?(?1)n?(?1)n?13n?1n11D2?2?1?(?1)2?2?(?1)3?112?(?1)2(?1)3(?1)4(?1)n?1?D n?(n!)?123n?例13210?0121?0?D n?012?012?0001可由第1列展开得D n?22100?(?1)2?1?1110201?0012?0?10xx2n?1?0012?0?000?2112n?112?0?2D n?1?10012n?2?2D n?1?D n?2即D n?2D n?D n?2因而有D n?D nD n?1?n?2D?1?1?由此递推得D n?D n?1?D n?1?D n?2?D n?2?D n?3?D2?D1?3?2?1故有D n?D n1再递推得?1?D n?D n?1?1?(D n?2?1)?1?D1?(n?1)?2?(n?1)?n?1从此例可以看出如果原行列式可以表示成若干个与原行列式结构相同的低阶行列式的线性表达式时，即递推关系时，可以用递推法。 课后作业习题一3，6，7，8，9题1.3行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，将元素a ij所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的n?1阶行列式，称为元素a ij的余子式，记作M ij代数余子式元素a ij的代数余子式A ij?(?1)i?jMija11a21定理3D?a n1a12a22?a1n?a2n?a n2?a nn?a i1A i1?a i2A i2?a inA in(i?1,2,?,n)?a1jA1j?a2jA2j?a njA nj(j?1,2,?,n)证证明第一式,分以下3步a11第1步M nn?a1,n?1?(?1)?(p1?p n?1)a1p1?a n?1,p n?1a n?1,1?a n?1,n?1(1?p i?n?1)a11?a1,n?1?a1n?a n?1,na nn?0?a n?1,1?a n?1,n?10?(?1)?(p1?p n?1p n)a1p1?a n?1,p n?1a n,p n?p n?n?(?1)?(p1?p n?1p n)a1p1?a n?1,p n?1a n,p n+a1p1?a n?1,p n?1a n,p na1p1?a n?1,p n?1?(p1?p n?1n)?(p1?p n?1)p n?n?(?1)?(p1?p n?1p n)?a nn?(?1)?(p1?p n?1n)?a nn M nn?a nn(?1)n?nMnn?a nnA nna1jD1第2步D(i,j)?0?a i?1,j0a ija i?1,j?a nj0D2?D40?D3a1jD1?(?1)(n?i)?(n?j)D2?a i?1,ja i?1,j?a nj0a ijD30?(?1)?(i?j)D400?a ijMij?a ijA ij第3步D?D(i,1)?D(i,2)?D(i,n)?a i1A i1?a i2A i2?a inA in1?53?3201?1例8计算D?31?12413?1162解D?31?(?1)0?2716?2701?1?(?1)3?221?11?1214?304?3xx?7052?21?1?(?1)(?1)1205?71?55aa?例9计算D2n?b?b?a bcd?c?dd00?(?1)1?2nb(2n?1)c解D2n?(?1)1?1a0D2(n?1)?00d?0c0D2(n?1)?0(2n?1)?(?1)(2n?1)?(2n?1)ad?D2(n?1)?(?1)(?1)(2n?1)?1bc?D2(n?1)n?1?(ad?bc)D2(n?1)?(ad?bc)D2?D2a b?ad?bc cdn D2n?(ad?bc)11122例10计算D n?103?3?0n?100?n?1n?1100?解D n?nD n?1?(?1)n?1(n?1)!?n(n?1)D n?2?(?1)(n?1)?1(n?1?1)!?(?1)n?1(n?1)!?n(n?1)D n?2?(?1)?n(n?1)?3?D2?(?1)D2?4n?n!n!?(?1)n?1n?1nn!n!n!?(?1)n?(?1)n?13n?1n11?2?1?(?1)2?2?(?1)3?112?(?1)2(?1)3(?1)4(?1)n?1?D n?(n!)?123n?1x12例11证明D n?x1?x1n?11证D n(i)?x n(i?1)i?n,?,21x22x2?11x n2x n?(x i?x j).1?j?i?n?n?1x n?x n?12?x n?1?1n?1n?1x2?x n?1?1(x n?1?x n)x n?1(x n?1?x n)?100?(x1?x n)x1(x1?x n)?(x2?x n)x2(x2?x n)?n?2n?2x1n?2(x1?x n)x2(x2?x n)?x n0?1(x n?1?x n)?(?1)1?n(x1?x n)(x2?x n)?(x n?1?x n)D n?1?(x n?x n?1)(x n?x n?2)?(x n?x1)D n?1D k?(x k?x k?1)(x k?x k?2)?(x k?x1)D k?1(k?n,n?1,?,3)1D2?x11?x2?x1x2D n?(xn?xn?1)(x n?xn?2)?(x n?x2)(x n?x1)?(x n?1?xn?2)?(x n?1?x2)(x n?1?x1)?(x3?x2)(x3?x1)?(x2?x1)a11?例12证明D?a1m?0?0?a m1?a mm?0?0b11?b1n?b n1?b nna11?a1mb11?b1n?a m1?a mmb n1?b nna11证D1?a1m行倍加p1?p1?p mp m?a m1?a mmb11?b1n?D2?列倍加q1?q1?q n?q nb n1?b nn?p1?D前m行行倍加后n列列倍加0?p m?0?0?(p1?p m)(q1?q n)?D1D2?0?q1?q n?a i1A j1?a i2A j2?a inA jn?0定理4设i?j,则?a1iA1j?a2i A2j?a ni A nj?0证只证第一式.i?j时,有?a i1?a inD?a j1A j1?a j2A j2?a jnA jna j1?a jn?a i1?a in0?a i1A j1?a i2A j2?a inA jna i1?a in?注结合定理3与定理4可得?Da i1A j1?a i2A j2?a inA jn?0?Da1i A1j?a2iA2j?a niA nj?0(i?j)(i?j)(i?j)(i?j)12342431例13D?,求A11?A21?A31?A41413214321234解法1因为D1?1431?011321432D1与D的第1列元素的代数余子式相同所以将D1按第1列展开可得A11?A21?A31?A41?0解法2因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式相乘求和为0,即3A11?3A21?3A31?3A41?0所以A11?A21?A31?A41?0课后作业习题一10，11，12，13题1.4Cramer法则考虑线性方程组?a11x1?a12x2?a1n x n?b1?a x?ax?a x?b?2112222n n2D?a x?a n2x2?a nn x n?b n?n11b1b2?a12a22?a1n?a2n?a11a21?a11a21?a n1b1b2?a12a22?a1n?a2n?a n2?a nna13?a1na23?a2n?D (1)D (2)b na n2?a nn,a n1b na n3?a nn,?定理1.3（克莱姆法则）若方程组系数行列式D?0,则方程组存在唯一解D(j)x j?(j?1,2,?,n)D证存在性.b iai1?a ij?a in?r1b1a11?a1j?a1n?D?b i?ai1?a ij?a in?r i?1?a nn?0(?r1?r i?1)a1,j?1?b1?a1,j?1?b n?a n1?a njb1第1行中元素a ij的代数余子式为A ij?(?1)1?(j?1)?a11?a1,j?1?a n1?a n,j?1a11?a1,j?1?(?1)j?2(?1)j?1?a1n?b na n,j?1?a nna n1?a n,j?1b na n